TERM1 (1117971), страница 8
Текст из файла (страница 8)
, = (О: 1,!я): и, значит, матрица метрики имеет внд: У. !„1+ У,," зе. дяз = 11 + у,') дхз + 2у !'„дх 1 у + (! -1- з' ) дул. Упражнение 3.3 Вычислить иьрьую квадратичную форту вооьрхносеои. заданной кок график гладкой функции,ь" = Д1х',..., хо ). Упражнение 3.4 Вычислить первую кьадратичную форму ноьсрхнььти, заданной как,янозкестео ре|иений ураенения г'(х~,..., х~) = О, дР ф О.
х 2 „з Л соя д соз р, Лсоз дею Лзш д. Поверхности. Пл рная фундаментальная форма. Пример. Вычислим угол между меридианом и параллелью на стандартной сфере 52 радиуса К. Кале и вылив львраметрнзуем сферу координатами (д. (э). Пусть 21 зто парад:|ель, координатные функции которой иьлеют вид д(1) = де, (о(1) = 1, и Т2 зто мерилишл г координатными функциями дЯ = 1, 1э(1) = (эе.
Они пересекаются в точке Р = (да, 1эе) Еасательныс векторы имеют вил: чл = (О, 1) и -12 = (1, .0). Далее, первая квадратичная форма сферы, как мы уже знаем, в этих координатах записывается так: дя = 11 (дд)~+Васоев д(д(о)2, поэтому ()1, уз) = О, откуда косинус угла между ними толке равен пулю, и ул ол равен я)'л. Локсодрома.
Найдем на стандартной,лвумерной сфере кривую, пересекающую все мери,лианы под одним и тем же углом о (обладаюшая этим свойством кривая назьлвастся локссбрсмсб). Пусть снова нл сфере выбраны ко лрдин*ты (С, т), н меридианы имеют вид б = 1, д = лес. 1[аж л, пусть юксодрома парам чризована так: и = а( с), д Тогда касатозьныо векторы к меридиану н локсодромс имеют, соотвотственно, вид (1, 0) и (д, 1), поэтому опрсде лепно локсодромы заллисываотся в виде = сова. Получаем на бОО следующее диффсренпнаяьнос уравнение: д = соьбсосо (мы воспотьзоваяись тем, что и Е ( — гл'2,гл'2), н предположили, что соло > О). Решая это ураний нищ получаем вид локсодрозлы: лапе 11-(юпух ,р= 1о,(' ) +~, 2 1 — юпб На рис. 7 изображена локсодрома для о = Онбг (т.о.
близкого к ялз). 1'ис. 7: Локсодрокла; н = 0.45я Первая квадратичная форма и объем. 1срез первую квадратзлчную форму такэкс естественно записывается 1 мерный объем поверхности. Пусть за,лана регулярная парамелрнческая пов~ рхно~ть г: Й Л к', Й С И, (и,...,к ) коорднназы на Ш и Р с Й произвольная точка. Обозначим через П(Р) параллелепипед, натянутый на вект лры Повсрхчгостн. Н~ рвал фундалгонтальугая форма.
)3„,) канонического репера, а через )П(Р) его й-мерный объем. Тогда 1-лпсрньпзп объемли или, прн счо, бъелпплп пара истричссппй ппсерпнпсгли г нлзывлечсв следующая величина: тгйь(ДХ) = / )П(Р))дич дпф. Напомнилч, как оцределяочся и вы чи лш гся 1 мерный объ*м пар плслспнпела. Двумерный объем (площадь) параллелограмма, как известно, может быть вычислен как произведение одномерного объема (длиньч) его основания на высоту. Это подводит к следующему инчуктивному определению площади парлллелешлпеда: й-мерньпй объем парлллшгпппеда, натянутого на векторы ап,..., ип, а, Е Р.", равен произведению ( — 1)- мерного обьсма параллелепипеда, натянутого на векторы ап,..., аь ч, ('игющадь основашш' ) на "высоту', т.е.
на .инну ортогональной проекшпч вечсгора ал на ортогональное дополнение к ап,..., ая ч. Напомним следующий резулыат из линейной ап обры. Утверждение 3.1 Ест пар*допить объем Ь-мсргпплп параппелсгпип ди пп индукции, нах прппзосденис пбъслпа ссп пснасанпл (й — 1)-мсрнпгп парпллс.псппчпеда, нп сыспту, то пп.пуисннпс пасла мажет быть пы пислеппп пп форму.пе ъгйе1С, еде С = АчА .катрина Грамма системы пснтпрпь ап,..., аь, на нппппрые натлиупч пара.иглслилга.
Доказательство. Пусть сначала й = 2. Тогда, очевп,пно, бсу(С) ач ()а )) — (ач, аз) ач а()ач()г(1 — со\а Р) = ач ()ач()ззш где т угоя между векторами ач и а . В итоге получаем, что . Йсцу(С) = ()ач 1(()ач((*шр), т.е. определенная нами плаща,чь равна алине вектора а,ч длине основания, умноженной на длину проекции вектора аз на нормаль к ач, провсленную в плоскости (ач, аз). Таким обрлзом, и случае й = а утверждение нмееп м~ счх . Рассмотрим т<перь общий случай.
Разложим веитор аь в сумму его проекции Т на пчоскость Пг ч, натянутую на векторы ач,...,аь ч, и нормальной составляющей Х. Во*пользовавшись равен*твом (ах,а,) = (Т,а,) -'; (чи,а,) и почилнпспносчью определителя как функции строк и стоябцов, пояучим, что йсу(АгА) равен бег(АтА), где матрица А получена из А заменой столбца ая на столбец РТ Осталось заметить, что п~н ледняя птрока и счолбец матрицы А 1 иыеюч ровно один и~ пуп~ вой з.чеменг пот слечпний, кочорый равен ((Х З, чпхпчому пмеег мсочо рлвеночв и бе1( 4т.4) — б 1(Аг Ал )()ГУ()2 где Ал и матрица, <о гавлениаа из первых й 1 в ьчора ап, ....
аь и. Но, по предположению индукции, -и пот опрегчелитель равен квадрату пл пщади параллелепипеда, натлнутого на зги векторы, т.е. квадрату площади основания, а длин норма чьной составляющей рп зго и ость длина высоты. утверждение доказано. Такичч образом, возвращаясь к определению Вмерного об ьсма поверхнос пи, Вморный обьсм П(Р)( параллелепипеда П(Р), натянуточ о на век поры к шони ч*сього р п*р ч, может быть вычислен как корень из определителя матрипы Грамма канонического репера, т.с. мач рицы первой квадрати юной формы: ичп1п(М) = )П(Р) ди и!и = игдес(С) ди ° ди Лч Лч Следующее предложение немедленно вытекает из теоремы о замене переменных в кратном интеграче и из прсгчложения 3.3.
Поверхности. Перпля фундаментальная форма,. Предложение 3.4 Опрсдсленкыб аал»и к-мерный ьбьеи псьер»»»асти нс ип»летая при заисне параисггризаипи. Так»си» образом, имеет смысл говорить о Ь мсрньи абьел»с пь ерзнасти, понимая и»д пеи об ьеч произвольного прс дставителя этой поверхности. Пример. Вычислим площадь стандартной сферы и радиуса Л. Для этого вспомним, что первая квадра»ичиая форма сфоры может быть записана в виде дз = Лэсдд)э ф Лл соьл д(дт)~.
Поэтому площадь полусфсрьс вычисляется так: 2 г 12 (/ Л соэд ддД»ьр = згн, , о а откуда пяоша,ль сферы равна, как и положено, дгЛ . упражнение 3.3 Выписана фарл»р.»ы для ьычисленил а»аиьади еипьрпаььрзнасжи, »а диннаб ь аиде рафика фанкони. згпражиеиие з.б Вы» асами фьрл»улы А»я ьычисыния пльщад»» зиперпсьсртнссти, за- данньа неясна. 3.5 Изометрии поверхностей 11усть задано две й-мерных поверхности: ЛХ,, 1 = 1, 2, причем, как обы шо, будем предподщ ать, что парамстрнзующие отображения гс: Ис — ь взаимно-одиозна |ны с образом па своих областях определения.
Будем говорить, что поверхности ЛХ1 н ЛХл азолгетранньс, если стулпествуе:1 гладкое, взаимно-однозначное, рсгулярнос отображение ф ХХ1 — > Хгэ )чсе. замена параметрпзацни), сохраняю1цее длины всех переходящих друг в друга кривых. Последнее означает, что если ус . Х вЂ” > И1 произвольная гладкая кривая па поверхности ЛХ1, и уэ = р о -и соответствукппая кривая на поверхности ЛХл, то длина кривой р1, вычисленная очно»11гген,но первой квадратичной формы сбл поверхности ЛХ1, совпадает с длиной кривои уз, вьгднсленной относительно первой квд»1раплчной формы йэз поверхности ЛХ . Имеет место следующее важное предложение.
Предложение З.б Х»»адкос азаимно-однозначное регу.тупое отображение к: 1Х1 — > Из заг)ает азо.петрам ресулярпьм поеердэ1остей ЛХ,, задаптяя ОП»абражепаяяи Г;: ХХ1 — д Жп, 1' = 1, 2, геди и тОЛЬКО Сеян Оасабражеиие ф асотраыяет перс»ук» каадратн»1»ую форму' е слгдуютг.и г. иыслгз с1 = ХтХХэд, где с»1 ма»г»раца первой коадрап»анной у»ормы посс»аяносп»и ЛХ;, а,Х .матраца ХХкоба отображения »у: И1 — у Гэ.
Доказательство. Пусть сначала отображение сд сохраняет первую квадратичную форму. Рассмотрим произвольнук» гладкую кривую у на поверхности А11. Фиксируем на Л11 нскоторыс координаты (1»,..., а '), а 1 Поверхности. Первая фундаментальная форма. на ВХэ координаты (с~,..., и~).
Пусть и'(1) координатные функции кривой;. Если с" ~и',...,п") координатные функции, задающие отображение 6, то образ крнвон; при отображении й имеет впд лур,) = с'(ил(1)..., и" (1)). Обозначим через дб элементы матришл Сл(и) первой квадратичной формы поверхности Мл, а через п,л алементы матрицы Г (е) первой квадратичной формы поверхности Мз. Тогда, по опредсленило длины кривой, длина кривой б па йХл вычисляется так: С другой стороны, для длины криивой и о у па М имеем: Меняя порядок суммирования, получаем: 1ф с;)= ( сЛЛ = / ~ д иаиз гЛХ = Х(у) и что и требовалось.
Докажем теперь справедливость обратноло утверждения. Пусть у некоторое регулярное взаимно-одиозна шое отображение из Г~ в Гз, сохраняющее длины всех кривых. Это означает, что для произвольной кривой у, в сделанных выше обозначениях, справедливо следующее равенство: Замечание. Легко проверить, что множество всех изоълстрий данной поверхности относительно композиции обрсюует группу зррнпу изожешрий поеерхносши.
Действительно, композиция длзух пзометрий очевидно, изометрия. Тождественное преобразование, которое, конечно же, является изометрисй это нейтральный элемент группы. Обратное отображение, существующее в силу взаимной однозначности, тоже является изометрией (проверьте). Из произвольности кривой 1 вытекает совпадение подинтсгральных выражений вдоль каждой кривой, а из произвольности касательнол о вектора к кривой у. т.е. чисел (и~,..., и~) совпадение, фхнкпглйл дее и ~ Бы (де'/Оие) (дел /ди~) в каждой точке поверхности й|л. Последнее, по определению, означает, что отображение р сохраняет первую квадратичную форму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
