TERM1 (1117971), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда 7=г, [[7с[[=1, 7=йи, [7,7)=1', .') =Йи+lс[ — йт+ягд), ["',777)=й и, позтому в этом случае теорема имеет место. Сделаем замену параметра. Оказывается, приведенные формулы при атом не изменятся. Действительно, обозначая начальный параметр через в, новый параметр через 1, дифференцирование по в через О, диффсрснпирование по 1 через [)', получаем ,о 2 т З,п ! '; =; 1, + 7 1ь „7 =; 1ь + 27 1в 1в » + 7 1ьь».
откуда [-),7) = [7',7") 1'„[77 7'., '7") = [,7",.7лн)1г', что мгновенно влечет [[[7 7ь)3 [[7'7")[ [-б--: 7) [7'7и 7'н) [[7[[' [7'[' ' [[;,.7,.) [з [[7,.7")[[з ' Доказательство закончено. Оказывается, кривизна и кручение полностью определяют форму бирегулярной кривой в трехмерном пространстве. Теорема 2.3 Пустив з" [в) и у[в) две гладкис функции на оньрсзкс [и, 6), причеи функция 1"[в) вгзде пололситсльнгь Тогда с точностью до двиькенил сугдегтвуепь едингтвеннал натурильно парса ивтризованная привал 7[в), такая что сг кривизна А[в) и кру тние зг[в) равны гоотвстственно 1[в) и д(в). Доказательство.
Формулы Фрспе, в которые вместо кривизны подставлена функция 1, а вместо кручения функция д, можно рассматривать как систему линейных дифференпиальных уравнений первого порядка на дева ьь неизвестных координаты векторов т, и и д. Оту систему будем обозначать символом [в). 11ам будем удобно записать се в матричном 1(р««выс в трехмерном пространстве. виде. Пусть т = (т', т-', тз), и = (и', из, из), «У = (3',Дз, 3«), тогда система (ь) имеет впд Матрицу из системы (*), строками которой являкх«ся координаты векторов т, и и,З, обозначим через «б а матрицу, содержащую )' и д через й.
Таким образом, .система (ь) имеет вид «) = й««. Отметим, что й кососимметричная матрица. Выберсьс в Ра нскоторь«й ортопормальный положительно ориснтированныи репер (ге, ие, Де). По теореме существования и единственности решения системы линейных дифференциальных уравнений, существуют и единственны вектор функции т(ь), и(л) и,.'3(а), удовлетворякнцие системе (ь) и начальным условиям т(0): те, и(а) = ие и З(а) = Де Положим -«(з) бе+ 1 т(«) М «а где -дз произвольный вектор, и покажем, что «бирегулярная кривая, ь натуральный параметр на «, кривизна А(л) кривои «равна З'(а), а кручение м(л) кривой «равно д(ь). Лемма 2.1 Прн калсдоя ь п«робка (т(ь), и(ь), Д(ь)) образует ортояоржаль- ««ь«««репер. Докжзатояьс«тво. Утверждение леммы равносильно тому, что матрица «1 ортогональна при казкдом ь, т.с.
ц «1 = Е, где Е единичная матрица. '1 ак как начальное условие представляет собой ортопормальный репер, то при ь = а матрица у ортогональна. Мы докажем, что матрица «1~«1 не зависит от «а откуда и будет следовать лсмъщ. Имеем («1~У) = '«)~«1+ «1|«1 == «1тйгц+ «1тйд = «1~(й~ + й)«1 = О, где последнее равенство имеет место в силу кососимметричпости матрицы й. Лемма доказана. '1ак как у)(ь) = т(л), то из леммы 2.1 вытекает, что; регулнрна, и ь натуральный параметр. Далее, так как ",(ь) = т(ь) = )(ь) и(ь), а и(ь) поле единичных векторов, закл«очаем, что З (ь) совпадает с кривизной, а и с главной нормщп,ю кривой у в точке у(л).
'1ак как З'(л) > 0 при любом «б то кРиваЯ ", биРсгУлЯРна. Далее, так как РепеР (те. ие, де) ортонормалсн и положителы«о ориснтиронан, а вектор — функции т(з), и(з) и Д(ь) «лалкис, каждый из ортонормальных рспсров (т(ь), и(ь),,3(ь)) такясс положительно ориентирован, поэтому Д(ь) совпадает с бинормалью Крггвыс в трехмерном пространстве. к,. 1!аконеп, условие 3 = — ди дает, что д совпадает с кручением кривой ",~.
Таким образом, мы доказали сушествование кривой 3. Докажем теперь единственность. Конечно же, зто ложно вывести из теоремы единственности решения системы обыкновеншях дифференпиальных уравнений, однако мы приведем другое, более симпати шое доказательство. !!усть имеются две натурально пара летризовапные параметром я кривые Лз и гз с одинаковыми кРивизпой й и кРУчением м. С помощью некоторого движения совместим нх началыпге точки и начальные реперы Френе. 1!олученные кривые вновь обозначим темп же буквами. 1!усть (т,(я), и„(я). 3,(я)) семейство реперов Френс,лля вновь полученной кривой Ом рассмотрим функцию Г(л! = ("1 (я), тг(я)) + (р1 (я), .пз(я)) + (Ж (я),, 3з(я)). Легко видстгь что максимальное значение функции Г равно 3 (так как Г равна сумме трех скалярных произвсдсгшй единичных векторов), причем зтот максимум достигается тогда и только тогда, когда т1 (а) = тз~(л), иг(я) рз(я) и Зг(я) 33з(я).
Оказывается, зта функпия не зависит от л. Действительно, из формул Френе вьггекает, что !' = Й(иы тз) + й(ты из)— — й(ты нз) + м(3ы из) — й(иы тз) + зг(ры Дз)— — м(гы 3з) — м(3ы рз) = О. Так как в начальный момент реперы Френс совпадают, то Г(а) = 3. Следовате.п,но, Г(л! = 3 д.и любого я и, значит, при каждом я кривые имеют равпыс скорости, главные нормали и бинормвли.
Однако кривая зд однозначно восстанавливается по семейству векторов т;(я) и начальной точке (см. вылив). "!'аким образом, кривые -3 совпадатот, что и заканчивает ,!оказате.п,ство теоремы. Определение. Если 1'(я) и д(я) две гладкие функции, такие что ((я) > О при всех я, то условия я(я) = 1(я), м(я) = д(л) на кривизну я и кручение м кривой з называются натдрпльныли уравнениями прост рансглвснной кривой.
Таким образом, мы показали, что натура.льныс уравнения вссг да имеют ретпение, единственное с точностью до движения пространства Р.'. ,з Дополнение. Линии откоса. Бирсгулярнвя кривая называется лвяься сшкссл, если вдоль нсс отношение кручения и кривизпьг нс меняется, г.с. К(л)/и!л) = сопвь. Опишем класс таких кривых.
24 Поверхности. нервах фундаментальная форма. Положим для удобства тл(з)т'м(в) = !хо, где о некоторый фиксированный угол. Т г ~а наше л,ос гношенлл~ молсно перепил ш ь в виде К(з) сов сл — м(ь) ып о = О. Умножив первое нэ уравнений Френе на сова, а последнее первого уравнения и слет!нее, получим: на ми о, и вычитая иэ т'(,л) сова — В'(л) ып о = ь(з) (тл(в) сова — м(з) мп о) = О.
Поэтому единичный вектор т = л(в) сов о — В(з) вш(а) но меннется вдоль кривой. С другой стороны, (ш, т (ь)) = сов о, поэтому угол между вектором ш и на* л г*льным в*ь гором к кривой ч постоянен и равен о. Проведем через каждую точку кривой прямую в направлении вектора ш. Получим цилиндрическую поверхность. Очевидно, наша кривая лежит на этой цилиндрической поверхности, причом при разворачивании поверхности в нлоскостьь кривая з превращается в прямую, поресекаюшуюся с образующей прлмои по,л угяом о. Оказывается, что верно н обратное утверждение. Утверждение 2.! Всякая линия ощьоса с п ь шакал линия на оодходяи!еа цилиндрическая поверхности, кощорая персходищ в прямую после разворачивания поверхности в плосьоспи. Ооратно, всякая ьриоав, обладающая указанным свойплльож, есмь линия откоса.
Доказательство. ~ам осталось д<плалагь лишь обратное утаержд|ни*. Пусль ш ! , образующих цилиндтялческую поверхность. !огда, по условию, (т,т(в)) = сова = сопле. Продиффсронцировав эло равонство по в, получим: (пь й(з)и(з)) = О. Поскольку наша кривая бирегулярна, ео кривизна не обращается в нуль. Поэтому (п.,и(л)) = О лля любого з, т.е. существуют такие функции х(з) и р(л), что т = х(в)т(в) -~- у(в)В(в).
По, напомним, (щ,т(в)) = соло. откуда, очевидно, х(з) = сопле = соь о, а у(з) = сопев = ьш о, т.е. т = г(з) соло -1- В(з) ып о. Пролнфференшлровав посол~ дне~ равенство, из формул Фр~ не получим, что тл(в) соь о и н(в) вша = О, л.е. н(в)Яз) = лопал. 1!так, "; ого.анния алкала. Утвер кдени~ доказано. )!онятис кривых естественным образом оообшастся на объекты большей размерности, которые называются поверхностями. Будем действовать в соответствие с планом построения теории кривых, реализованным на пре- дыдуших лекпнях. 3.1 Определение поверхностей Мы начнем с определения так называемых параметрических поверхностей, т.е. поверхностей, за,)анных с помощ!,ю подходяще! о отобраукення (срав- ните со слу лае л кривых).
Опродолонио. Лепрерыьнои паращетрниесной поберхностью размерности ь в тт-мерном свклидовом пространстве ч". и > )о, называется произволь- НОЕ НснрсрЫВНОЕ ОтсбраХСЕНИЕ т: Π— у йо НЗ НЕКОтОрОй ОбЛаетИ Л) С,й" В 3 Поверхности. Первая фундаментальная форма Поверхности. Перввя фундаментальная форма. Отметим, что каждое такое г задается набором из и координатных сууякь!ий л'(и',..., иь), ьде и' стандартные евклидовы координаты в Р л Й, а х,,..., х" стандартныс свклидовы координаты в Р".
При этом яепрерывность г равносильна непрерывности всех функций х'(и,..., и ). Координаты и' называются парамгпьра.ии для г или координата.ии на г. Опроделенно. Пепрерыщия параметрическая поверхность г: Й вЂ” ь .йп называется гладкои', если вес задающие ее координатные функции х'(и,..., и ) гладкие. 1! этом случае определены векторы г,, = (л„'„..., я",,,), называемые базисиымн касагпсльными аскторсоии для г в точкь г(и,..., и").
Здесь через х', лы обозначили частную производную функции хз по параметру и'. Отметим, что интуитивное прелставлешле о гладкости поверхности не вписывается в данное определение, что иллюстрируется следующим упражнением. эгпражненне 3.1 Доьазать, что конус и двуграииый угол ма ясно пред- стпаьипьь ясак образы гладких парсьиетричсских повсрхнвтпгй.
Легко видеть, что для поверхностей визломы' могут возникать лишь в тех точках, в которых базисные касательные векторы линейно зависимы. Запрещая такие точки, мы приходим к следующему определению. Определение. !'ладкая параметрическая поверхность называется регулярной, если ее базисные касательные векторы всюду линейно независимы. Это равносильно тому, что матрица Якоби (я'„! имеет во всех точках поверхности максимальный рань (равный, очевидно, К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
