TERM1 (1117971), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Центр этой окружности называетсл централ! криоизкы кривон 1 в точке Р. Упражнение 1.10 Расс.мотрим кс то,чько окружкосгаи. а, ьообизс, осс криоью ьторооо порядка, просодличис через то !ку рщуллриой красой. Показать, что греба и!акис крисых каидсг;. з одна, иорздок касакил которой кс .мскьичс 4. Упражнение 1.11 Определить тип и параметры криьой отарово порядка из аредыдуи!его уоражкскал о терминах криоизкы исходим! криоой. Дополнение 2. Звони!ты и эвольвенты. М. Рассмотримслсдующуюизвестнуюзадачу. Пустьз регулярнаякриваянаплоскостн,и — й Л нскоторос число.
Построим новую кривую з, зам! ннв каждую точку З(з) точкой, в злученной из ~(з) смещением на иекччр си (з), те. з 1з) = з(з) й си 1з). Эча кривая называгчси с .кьидистактк«и криоой з. 11сно, что "!, при мжчых по прежн*муввзлег«л рыулирной кривой. Однако, когда с воэрасгаеч, у эквнди«! ьнч мочу! поев.чячьса чо чки нср*гу.щрности. Опишем зтн точки.
Пусть кривая з параметризована натуральным параметром о. Тогда вектор скорости е-экви дистанты, в силу формул Еррен, имеет вид: у,(ь) = у 1з) -)- с!о„1з) = (1 — се 1з))т(з), откуда вы!екает, что с-эквидн«! он!* име*ч о обенносчь в чо зк* !З(ь), если и только если й„(з) = 1ч! . Гели последнее условие выполнено, то, очевидно, соответствующая точка эквиднстанты имеет вил зЦз) = чрз) й ! О ич(з] н, в силу утвержлсння 1.1, ! совпадает с венгром кривизны кривой ! в чо !ке З(о). Итак, нмсст место «ледукппее утвари денис.
Предложение 1.5 Вокчаор скорогти с окьидис«алка!ы обр!ацас«ася о куль, ссаи и талька если ь сою!«!стетаую!цсй и!очке ориситироьаккаа криоизка исходной кри«ой роска 1,чс. Мкожсстьо особь!х !почек, коиди таит ото о точности,мкохсссчпьо цсктроо криоизкы исходной крчюой. Определение, чдножсство пентров крпнпзны регулярной кривои-! назьчвается каусти- кой ичн зьо.!юо!ой крннои !. Из пр! л.чожеппл 1.б вытекает ! л! лующий изв ! тный разу.чьтаг. Следствие 1.1 Оьо.!юта зто,миозссстьо оссх особых то !ск зкоидистакт. Пример. Найлем зволюту цик.!оидь!, т.е. плоской кривой ч(зо).
заданной так: хйр) = Лр — Л ь!ар, у(!р) = Л вЂ” Л совр. Параметр х не являстсл натуральным, поэтому для вычисление кривизны воспользуемся упражнением 1.9. И леем 7~р) = (Л вЂ” Л сокр, Л ып р), (р) = (Л 3!и р, Л совр), Р! !)="Ф~ -"!=1")"' 2 Ц|р) Х Яр) = Л (соззо — 1) = — 2Л ып з 2 !1 ривып на плоскости.
17 оч куза — 2Л вш- Ь' 2.Ь) = 8Л' ~в!чч П~ 4Л в?п аа Нзп//ьчним, ччо векчор орпепгированпои гчавной и /рмали и позучаетсл повар/чом на к//2 норьччированного вок гора скорости, поэтому 1 и 12) = ( — Леша/, Л вЂ” Лсовуо), 2 2Л юпь отку/ча эволюта пнклон яы может быть записана в следующем видо/ 1Льо — Л вши, Л вЂ” Л совы) — 4Л ~ юп — ~ ( — Л юпяд Л вЂ” Л совр) = р/ 1 2Л ~в!п = /Лы — и ып р, Л вЂ” Л сов:р) — 21 — и вшсо, и — Л сов,о) = = ?Лиф и я!пи, Л сов/о — Л]. Осталось заметить, что полуЧенная эволюта это снова Пиклоида, только смещенная, см. рнс.
5. Итак, мы доказали с /одующее утверждение. Утверждение 1.2 Зв люп/а пико/о//ды, то снова ииьлоида. * л '/ 1/ Рис. гэ: )1иклоида и ес эволюта Упражнение 1.12 Опигапь ./квидистапп ы /лл яиклоидь/. Упражнение 1.13 Постяоип/ь эквидисшаншы и эьолвппу олл:ли/пса. Рассмотрим теп/ рь следуяппую обрагнуя/ задачу. Н/И чь нз пчо/кости задана регу.чярнал кривая Е. Луше/-чвуеч ли крпвап "/, для которой Б пвляется эвона/он? Ирелположим, по "//з) это иском,ш кривая, пзрзметрнзованнщ нзгурааьнын параметроьч. Тогда, по о/чреде//ешь/о эволюты, имоем: 21в) и п?в) 4- г ?я) й (з) Нр//дифференцировав это равенство по з, получлем в силу формул /Ррене: бй / о„' ой' ой„ вЂ” = -/ -?- —"— /?з 1 да аз '1аким образом, доказана следующая лемма. )(рпвыг на плоскости.
!8 Лемма 1.1 Нар.ааль л рслуляриаи кривай, аравеавииал в озачке Р, леллыисл ьтзсазззв,зь иай к эвалютс этой криаай в сааээзвстствузащвй зиачке Р -'; — зэ . Друаи.ии слааали, Ьл рсеуллриал кривая овроеиаииуэзлриа лаэкдай калитве иай сз аеи з валюизы. Пусть з еперь ч(в) регулярная кривая, параметризованная нлтуральпыы парамеч ром.
Выпуз тим из «аж козл ее точки каст ельную прямую, и пронедем из нвк э горой начальной точки кривую Б, перпендикулярную всем касательным. Эта крива» Б может быть записана в видо Б)в) = ~)в) й т(в)Дв), где Т(в) нокоторая гладкая функцил. Условие перпендикулярности даст следующее уравнение на эзйч): (7!в) фа(в)Т)в) тт1в)Т(в),т(в)) = О, то.
7(в) = — 1. По зчому э" йз) = С вЂ” в, и окончательно, Бэ1в) = "э(в) 4- ч(в)(С вЂ” в). д Р Опредолоние. Кривая Б, иерпендикулв!эз !э Таким образом, каждая эвольвснта натурально параметризованной кривои э1в) моэкет бьыь записана в виде Б(в) = ч(в) 4-ч1з) (С' — в). Эво чьвенте з оо з вечз твуот следующая мехаш|чоская модоль. Пролсчавим сабо, что на кривой ч(в) приклеена норасзяжимая нить, начальный отрезок длины С которой свисает в точке, (О). Натянем нить, и будем сматывать се с кривой так, чтс бы она в каждый момент времени оставаяась натянутой по соответствующей касатсльнои.
Конец нити в этом случае опишет эвольвенту с парамезром С. Слодсч вне. 1.2 !Ы .а р р р эв злю таз. арой эаалввеизпай сваси Доказательство. Эчсэ немедленно ззытелает нэ леммы !.1. Упражнение 1.14 Найзаи .эвальвсизпы акрулсиасзпи и з1иклзэзздьз. х1!) = Н114--, Д-ып!), у(!) = Й вЂ” Нсоьй ! Е ) — г,г). Зависимость периода Т от угла ы размаха колебаний кругового маятника такова: зу' ( ! 1в)' члип,з маягника, и у уз корвине з.вободного падении. Дополненио 3.
Маятник Гюйгенса. В !657 гаду Гюйген~ (Нззубепв) и:юбрел и изготовил осзэсо точные )длзз гого времзни) тсыз за что получил огромную ден экную промшо, а принцппи зльны с:*м з.ззих з ов з зла.змблемой ХУП вока. Таков внимание к часам в эпоху гоографичоских открытий, бурноз о развил па ло юний, морс пллв шия и гп. обьязнизь лыко хорошо изв*сзно, зго за шыс ысы необходимы для вычисления географической долготы. Периодические свойства маятников были уже давно известны во времена Гюйгснса.
однако пробяема состояла в томз что период колебаний, скажем, кругового маятника йз зка Ззвиэкетсл по луге окру кззоз гн) м»велся при з ззухлнии, зло «!эай»е затрудняет измерение ззремени с помощыс часзэвз в оз нове кочорых лежит чалой мвятник.э !тобы прео,чолсть эту неприятность, нужно чтобы маятник двигался нс по окружности, а по какой-нибудь другой кривой. Подходящая кривая пиклоидаз была найдена Гюйгснсом. Он показал, что период колебания пиклоидального маятника куте циклоиды. Удивительно, что, как иыщ пилось через 1би .ъ:т, кривая, обладающая таким свойством, е ршственна. Этот факт был усзановлен в 1823 году Х. АЬеГеьз, который для злого рошил одно из первых в истории инчегральных уравнений.
Однако тоорема Абеля лежит за рамками данного кУРса. У1ьз то.чько пРовеРнмз слеДУЯ ГюйгенсУ, что пиклои,ча лействительно ойзладаст искомым свойством. Ра эсмотрим дугу Пиклоиды, выпуклую вниз и заданную парамезрически гак: 1(рлгвлдс в трехмерном пространстве.
.Ч! гко сосчитать, что сли ныбра у лку О циклоллды, т.с. точку ! = О, ло натуральный параметр з будет иметь слолующилй простой вид: з =,/81!у. Чтобы пай ли уравнение движения маятника, запишем закон сохранения эноргпи: -';-гаду = сапе! 2 пюч льлзз если КО ло иллальн,ля выгога гочки, и начальная корость ранна нулю, то имосм: из = вд(до — у), откуда, учитывая, что при дви кенни от начальной точки расстояние л до точки О убывает, по гучаем слодующес диффсрепцнальное уравненио: дл,гд! = — Од!до — у). Но у = — ', поэтому имеем окончательно: зн' —,цсло л ). 1!игегркнэуи лто дллфференцивльное уравнение с !лаздел удим, что л = ло сое(.
-й-Ч), поэтому период ко.зеваний циьлондвльпого маятника равен г'у лн вг, что не зависит от на лальглого по юл ения точки на пиьлоиде. 11 гак, мы доказали лп 'Ъ' ° ' следующег важное гной тво циклоидьл. Утверждение 1.3 Цик.ланда обладает слайсп аа.н таутахраннасгаи. Дру илли славами, арсмл даижснил ллатсраальнай а а* ки гю ииьлаидс к па.лажснию раанаегсил бгз канальной скорости нс .лали ит, ат начангнаеа палазссния точки.
Однако, мело бы ! ....ч .... Л оидвльного паны|ика. Ну кно было ещо рошнгь тохцичсскую проблему: а как заставить маитник колебалься вдоль цннлоиды.' Д гя этого Гюйгенс воспользовался тем уже нзвостным нам фактом, что среди эвольвент пнклоиды имеется се эволюта, которая, как мы знаем, ко нгруэнтна самой пиклои,ле. В итоге возникла конструкпия, изображенная на рис. О. Лвиженис ! о двумя пластинами, именпцпми форму Луг циклон.!. Поэтому маятник в свою очередь гам описывает цпклоиду и, значит, совсршаст таутохронньлс колебания. Рис.
!й Маитник Ркэйгенса Иь л ,. я д г тех пор, пока не бьлл изобретлп морской хрономл гр (в ХУ1Н веке, в Англии). 2 Кривые в трехмерном пространстве Рассмотрим теперь регулирныс кривыс в трехмерном свклидовом пространстве Рл. Напомним, что рсгулярпви кривая называется биргер,!яркой, сслп !(ривыс в трехмерном пространстве. ее кривизна всюду отлична от нуля. Мы начнем с построения авале~ а формул Фрсне.
Итак, пусть э(в) натурально параметризованная бирегулярная кривая в 'кв. Обозначим через т вектор скорости ~(в); через и нормированный вектор ускорения -)(в)/ ! )(в) [[, который также называется славной норжалаю к у в точке,(в): а юерез 3 векторное произвелепие !т, и], называемое бинор.валею к ", в точке у(в). Тройка (т, и,,д) образует ортонормальный репер, называемый репера.я Френа. Продиффсренпируем бинормаль,З. По формуле б!ейбнипа, имеем 3 = [т,и]' = [т,и] + [т, и] = [т,и], так как вектор т, равный у, колинеарен и, и, значит, [т, и] = О. '!ак как все векторы и единичные, и перпендикулярен и, поэтому он параллелен плоскости, натянутой па векторы т и 3.
Слечоватслы|о, векторное пронзав,ление [",и] перпендикулярно этой плоскости и, значит, коллинеарно с и. Вспоминая, ччо это векторное произведение равно 3, мы приходим к следующему закан>нению: векторы,д и и коллинеарны. Положим ж = — (3, и). Таким образом. 3 = — ки. Величина к называется кручение.я кривой ", в точас ч(в).
Ясно, что кру еенис эс янлястся гладкой функцией параметра .в. Теорема 2.1 (Формулы Френе) В сделанных предпололсениях, тисееп ,нссто следующая система уравнений: -= йи, и = — от+эх,З еде 6 и м обозначают состав~полпенни кривизну и кручение кривой у е точке (в). Доказательство. Первое и третье уравнения это фактически определения кривизгпя и кручения.
Осталось доказать второе уравнение. '!ак как вектор и перпендикулярен и, то его можно разложить по векторам т и 3. Положим и = а т+ 6 3. В силу ортонормальности репера Френс, имеем: а = (и, т) и 6 = (и,3). у!ы должны показать, что а = — й, а 6 = ж. '!ак как (гб т) = (и,,З) = О, то, дифференцируя зти равенства, заклвочаем, что О = (и, т) + (и, т) = а + 6, О = (и,,З) + (гб 3) = 6 — к, что и требовалось. Доказательство закончено.
Приведем теперь явные формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в произвольной параметризации. 21 1(ривыг в трехмерном прогтранствс. Тоорома 2.2 Пусть 7[1) бирегулярнал кривая. '1 веда [[- Ч [7с Д -) [[ [7: 7) [ вдс через [и, г, т) лы обозна ~или слттенног произведениг векторов и, и и и из кз. Доказательство. Пусть сначала 1 = в натуральный параметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
