TERM1 (1117971), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Доказательство закончено. 40 Поверхности. Пз рван фундяьзгнтальная форма. Изометрии евклидовой метрики. Найдем асс нзоыстрии евклидовой метрики даг = К, ') ,з '2 (Лх'~ просзранства Из". Отиетны, что в линейной алгебре было получено описание всех лака йкых отображоний пространства Л в себя, сохраняющих евклидова скалярное произведение )т е. свк шдову метрику).
Ини олазались зль называ лзыс орзозоназь ные преобразования. Нлпоинии, что линейное пгзеобразонание называется арзааяаяаль А 1 1ь Г .. облалазт ззвойслвои АА = Е. Однако, вообще говори, из результатов линейной алгебры ва вызекает, по не сущзствусг какого-нибудь нелннсйного регулярного отображениями на себя, сохраняющего иезрику. Пусть И: И" — з В изоыетрияЖ". Выберем в кажлоы из зкзеиляров 2 лекартовы кооР,Яннаты, котоРые обозначим чеРез хз,...,х" и Уз,... з У соответственно.
ТогДа отображениефизшотбыть запзлсанон видер' = р')аЗ,...,ха). В плупредложении13 3, в каждой ч очке Иа вып ишз по равенззтво: Е ду' дуз з дха Охя где Е я символы Кронсксра. Просуииируоы по 1 в левой части: Продифференпировав последнее ранено ге з и з з:"'з получим для произвольиоп з ранки з, 3, з: ) дуз др др дул = О. (дт дхз дхзз дт сгхгздх') !тобы выразить с гсюда зззорые производные функций рз, вьзчзеи из зчогзз уравнение точно такое жа для тройки 3, з, а, а затеы, прибави л ещз одно для тройки ч, о, 3.
Имеем: Е. Огра дуз д з дгуз дгрз (дх дх" дха дх дхедхз' дхздх дхз дрз дгрз дгрз дуз дрз дгуз дхв дт Ох дхздхл дх Ох ' дх, дхл) Приводя подобныз. шсныз заключаем, чзо 'Ер дг рз дзгз г =о. дхяд з д, Итак, ыы получили однородную лиаейную систему уравнений на неизвестные да уз гдх Ядт ', = 1,..., я, где 3, " произвольная фиксированная пара индексов.
Матрица атого уравнения по построению нсвырождсна, откуда вытекает, что имеется единственное тривиальное решенно д" рз = О. дх1здх з Пзззтззиу все функции рз )хз,..., ха) лин нны. От, д 1 пр кзтршзсчва Ка евклидоззой из з рикой суть линеиньп орз атональные прз образкования и сдвиги. ПРИМЕР. !3 Каясет ВЕ СЛЕ11УКЗЦ1Е1О ЦРИМЕРаз РаССМОтРИМ В ПРОСтРаНСтВЕ ))тз с декартовыми координатами )х, х, г: ) примой цилиндр над регулярной 41 Поверхности. Вторая фундал»снтяяьняя форма. плоской кривой. А именно, пусть»(я) = (л~(я), лз(я)), я е (О, А] регулярная плоская кривая, параметризованная натурально и лежащая в координатной плоскости Ои»из.
Прляыя цилиндроя над 0 назовем поверхность ЛХ в 4.з, заданную как отобра»кение полосы (О, й] х ( — оо, +оо) в дз в виде: г (и,,и ) = и (и ), и (и , и ) = л (и ), т. (и ,и ) = и . Вычислим псрвую квадратичнук» форму поверхности ЛХ. Ясно, что канонический базис, соответствующий координатам (и, и ) на ЛХ, имеет вид: з ди = (й',.йз,О), д„' = (0,.0.,1). 3 Поэтому первая квадратичная форма пилиндра ЛХ в координатах (и».
и ) имеет вид: сЬз = ((й»)з + (й )з) (ди )з + (сй» )з = (ди )з + (диз)з. Отсюда легко получается следующее утверждение. э'творжд»»ни»» 3.2 Праной цилиндр над п1юизеольиой регулярной плоской кривой изол»сп»ричсн»»олосс ни ськлидоеой плоскости. Доказательство. Действительно, если (у', уз) декартовы координаты на плоскости, то изометрию»й между плоскостью и нилин,аром можно задать явно так: »Л: (у»,уз)» — > (и , .из), где (и, из) координаты яа пилиндрс. описанные выше.
Доказательство закончено. Замечание. та»сим образом, в пространстве. 1Р'» ъ»ы построили полое семеиство поверхностей, которые очень не похожи друг яа друта, но все они изометричны между собой. Ото говорит о том, что первой квадратичной формы недостаточно для того, чтобы описать расположение поверхности в Р". Поэтому нужны еще какис-то инварианты.
Именно с этой полью в следуюшеь» разделе строится вторая квадратичная форма поверхности. 4 Поверхности. Вторая фундаментальная форма В данном разделе мы ограничимся рассмотрением» ипсрповерхностсй в Р". Общий случай будет кратко разобран в дополнении к этому параграфу. 4.1 Определение второй квадратичной формы регулярной поверхности Пу» ть ЛХ регулярная гипсрповерхность в евклидовом пространстве»к'. Как обычно, обозначим через (и»,..., лп) стандартные координаты Р.'", а через (и,..., ии ) коорди»»аты на поверхности. Как мы улсс знаем, в Повсрхногтп. Вторая фундвлсснтальнвя форма. каэкдой точке Р на М определен капоническии базис (д„, ).
Поэтому в каждой точке Р поверхности однозначно определен единичный вектор ээс )Р), ортогональный всем векторам ди., и дополняющий систему векторов (ди*) до положит«:энного оазиса в Я". Д1эус ими словамн, век"со1э ЛХ)Р) однозначно определяется из соотношений (д... Ж)Еэ)) = О, (Ж)Хэ), Ж(Р)) = 1, и, наконец, с1ес)дис..... д„,.—,!Л'(Р)) > О. Векторы д„, гладко зависят от точки, поэтому и вектор Хэ' )Р) тоже гладко зависит от точки. Векторы эээ')Р) образуют )ориснпэссровоннос) поле норяаэсвй на повс1эхности М, соответствующее координатам (и,..., и" с).
Имеет место слгчуаэшес несложное утверждение. Ъстверэкдение 4.1 Пусть нв пов«ргности М заданы дв«системы координат. (иэ,ип — 1) и (вс ип — 1) усуи ~«и ис вс(иэ ип — 1) То«до вскпсоры ориентированных нор налей в свояке Р, гооэпгэепэгэпвуищие координатаа (сл') и (ис), от.тчиютсл на знак «э«сред«лиса«ля .иитрслуы ХХкоби )дис/диэ) зия«ны координоис. Доказательство. Зто очевидно, так как направление вектора У(Р) в точке Р однозначно определяется касательным пространством Трй| и нс завигит от выбора базиса в нем.
Вторая часть утверлсдсния вытекает из пргдлолссния 3.2. Доказательство закончено. Следствие 4.1 ||а регулярной поверхности ЛХ существу«ссэ ровно два ори«нтированных по,.ья норлсолей, копгорыс в квгкдой точк«поверхности противоэсвправлессьс. Замечание. Пусть (и,..., ип ) координаты па поверхности М.
Ясно, что все замены и' = о')сс',..., ип ') координат ва ЛХ можно разделить на два непересекающихся класса в зависимости от знака определителя матрнпы Якоби. Замена координат внутри каждого из классов имеет, очевидно, положительныи якобиан. 1!з сказанного выше вытекает, что ээыбор одного из дсэух полей нормалей раээносилеп выбору одного из классов замен координат.
Такой выбор часто называют выбором ори«нсээаиии поверхности М. Отметим, что в дальнейшем аналогично будет введено понятие ориентации гладкого мнос ообразия. Пусть ЛХ регулярная гиперповерхносгь в 1а'.", и Р Е ЛХ некоторая ее точка. Оосеначим через ч одно из двух полей нормалей к поверхности Л|. Пусть (1) произвольная кривая, лежщцая на М, такая что у(0) = Р, и с вектор скорости ф)0) кривой Т в точке Р. Обозначим через д(с) величину (у, Х). Пусть с)иэ,..., ип ') параметрическое задание поверхности М, и пусть кривая э задается в координатах (и,..., и" ) так: ис = ис)с), с = Иовсрхкостп. Вторая фундзл»витальная форма. 1,..., и — 1. Тогда ьь — '!и',..., ип ), и ; = (~Г„, й ) = ~~ Гь,ь» й»Р + ~Гь,77', пОзтОму ДЮ = 1-'7ч Ч = ~ 1 -"-л») 'и' ».7 ИОсколькУ 1га, 77 ): 17. Таким образом, величина 71® зависит не от конкретного вида кривой "7, а лишь от компонент вектора скорости С и величия д» 7 (Р) = (г„.ь, 11»), Я(1з)).
Изучим, как меняется матрица !»1„) при замене параметризации поверхности. 1!усть и' = 77'!77',...,и" ') регулярная замена координат. Вычислим, как сьзязаны векторы вторых частн7зх производнь7х от г. Имеем: дг ~ дг ди ' д77 диь ди» а поэтому дзг д дг д»:ь ( дзг ди" ди" дг дзиа + ди'див ди7 (д77" ди' ~ д»7»" д7777 д777 ди' ди ди'диз ь а В Умножая теперь левую и праву7о части пре,чыдушего равенства скалярно па вектор нормали Л и заметив, что вектор —,. это просто вектор д» г, ° = дь из канонического репера, и поэтому он перпендикулярен нормали 7У, полю»им: (,7 ) =~-(, дзг ' у» гдзг ' див диа ди'дм7 ' / ~-~( дулгд7»Д ' / Оиз ди" ' ь»7 Обозначим матрицу 1»1» ) в координатах (и',..., ип ) через ь»177), а матрицу Якоби !Сд77ь,7д77') через 1.
'!огда последнее соотношение переписывается в виде »В»!и) =,17 бь7!7:®),1. Итак, доказано следующее предложение. Предложение 4.! Ооотноимние 71ф = (77П 7ь»'), С б ТрМ, коррскг»ьно о77редгляст в про»маольиой то 7кс Р гчтсрповервности М нскоторр»а квадратичную форму д на касательно.и пространстьс ТПМ. Ес.»и 7и,..., и" ) кооРдинаты 77а Л1, та .матРииа, квадРатт7ной фаР мы 71 в базигг !дв,) имеет, вид а, = (г„,„», л»). Определение. !бвадратичная форма д па касательном пространстве 77 М наз7лвается второи фрндиментальнои' формой или второй «вадратичноа' фор.иой гипсрповерхности ЛХ в точке Р (по отношению к нормали »У). 44 Поверхности. Вторая фундвльснтальнвя форма.
Отметим, что соли заменить Я на — Ж, то вторая фундаментальная форма изменит знак. Замечание. В отличие от псрвой квадратичной формы поверхности, вторая квадратичная форма, вообще говоря, нс обязана быть ни нсвырождснпой, ни положительно определенной. Замечание.
Вторую квадратичную форму также часто записывают в диф- фсрснпиальном виде так: ду' = , ''д„д3д Ы. 11ривсдсм при лоры вычисления второй фуп,чамснтальной формы. Пусть двумерная гипсрповсрхность задана в виде графика - = ай[лбу). 'Тогда соотвстствуюшсс парамстричсскос прсдставлснис имеет вид ь = [х, у, з [х, у)), хч = [1, О, [~), г„= [О, 1, зч). хчт = [О, О, Рч,), 3ч„= [О, О, Зл ). хч = [О, О, Р ч), [гк, ~ „] [-Зю -Зю 1) 33ч* "333 чч+л+л' и, значит, матрица второй фундаментальной формы в координатах [х, у) выглядит так: 1 ( 1'чч У,„Ч] 1+д+г' 3ч У Ь. з3' Упражнение 4.1 Вычислить визирую къадротичную узорну гинсрновсрх- ности, заданной в видо "рафика гладкой функции х" = 1"[х',..., хч ').
'Упражнение. 4.2 Вычислить вторую ьтвдрвяпи ~ную форау гинсрповгрхности, заданной нсявно в виде Р[х',..., и") = О, др ф О, в окрссптости любой сс точки. Итак, в каждой точке поверхности ЛХ определены две квадратичные формы: первая квадратичная форма ч1, которая, напомним, нсвырождсна п положительно определена, и вторая квадратичная форма ц. Чтобть выяснить геометрический смысл второи квадратичной формы, пам потребуется рассмотреть на поверхности кривые специального вида. 4.2 Геометрический смысл второй формы — кривизны плоских сечений Чтобы выяснить, какой ь сомстрнчсский смысл имеет вторая фундамен- тальная форма, дадим несколько предварительных определений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
