TERM1 (1117971), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Мы нс будем приводить аккуратного доказательства этого утверждения. Отметим только, что любые две триангуляции одного и того 'кс ълно~ ообразия молспо перевести друг в друга с помощью гомеоморфизма и нескольких операций измельчения. Назидая такая операция состоит в проведении диагонали в четырехугольнике, осбразованном двумя смежными по ребру треуе ольнпками трианс уляции. В результате одного такого измельчения коли зество треугольников увеличивается на 2, количество вершин на !, и количество ребер на 3. Поэтому Ойлерова характеристика не мсняс* гся. !!азовеъз Эйлероьой характеристикой дьйиерного льногообразия М эйлсрову характеристику любой его триангуляпии. Имеет место слслуюшсс очевидное утверждение.

утверждение 18.3 Эйлероьи характеристика яногообразая яьляептя его топологичс скит иньауиашпож, т.с. сели дьа многообразия гонсояорфны, то ил Эйлероьы яиракпььришпики соьпадаюпь Можно теперь вычислить Эйлеровы характсристтп и всех двумерных компактных связных замкнутых многообразий, построив подходящие триангуляции. Тогда, если мы получим разные числа, то, тем саъ~ыъц будет доказана пегомеоморфносчт соответствукяпих многообразий. Однако построение триангуляций дело сложное. Вместо этот о, мы сначала определим одну топологичсскую операцию на ъшогообразиях, а затем вьгпшлим Ойлеровы характеристики без триангуляций.

Пусть ЛХз и ЯХз два многообразия,н Р; точка на мноеообразии М,. Пусть !1, малая круговая окрестность точки 1', Выбросим иэ многообразия М; диск 1Хь В результате получится многообразие с краем окружность. Склеим два многообразия с краем окружность по этой окрузкности. 216 у[нумерные замьнутыс многообразия Полученное замкнутое многообразие назовем связной су„яиоб и обозначим через ЛХ~ ХгЛХз.

утверждение 18.4 Пусть Мн и ЛХз дауне!пине зажшн!дпые связные .нногообразил. Тогда «(ЛХ1 ХьЛХ2) = х'(ЛХ1) + х1мз) 2 Доказательство. Рассмотрим достаточно мелкие триангуляции многообразий М,. Тогда при построении их связной суммы в качестве дисков можно взять треугольники триангуляций. Отождествляя эти треугольники, мы склеим их по сторонам. В итоге мы сразу получим некоторую триангуляцию г связной суммы. Пусть 1'„Е, н Г, количества вершин, ребер н треугольников триангуляций многообразий ЛХ,, а 1', Е и Е соответствующие числа для триангуляции г.

Тогда, очевидно, 1г=~"~+1г — 3, Е=Е~+Ез — 3, Е=Хг~+Ез — 2, откуда н получаем требуемос соотношение. Вычислим теперь Ойлерову характеристику сферы У. Очевидно, что Ез4ЛЕз = Ез, поэтому, «1зз) = 2«1Ез) — 2, откуда с/паз) = 2. Перев,лем к тору Тг. Ясно, что тор можно получить из сферы так: выбросить два диска из сферы, и склеить друг с другом две окружности, из которых состоит край. Если сфера ужо была триангулирована, то мы полу шм некоторую триангуляцию т тора.

Рассуждая так же как прн доказательстве утверждения 18.4, получим 1' = 1« — 3, Е = Е~ — 3, Е = Хй — 2, где !'", Е и Е количества вершин, ребер и трсуголыников триангуляции г, а Г1, Ен и Гн соответствующие числа для исходной триангуляции сферы. Поэтому «1Т') = Т вЂ” Е+ 1г = !Г, — 2) — !Е, — 3) + (Г, — 3) = «!Ез) — 2 = !1.

Далее, если Мг это сфера с д ручками, то, очевн;1но, ЛХз = ТзХЛ Хан, поэтому д(ЛХз) = «~тз)+ +«(Тз)-2!д — !) =2 — 28. 217 „~[нумерные замьнутыс многообразия Перейдем, наконец, к нсориснтирусмому случаю. Для етого заметим, сначала, тто если Мя сфера с р пленками Мебиуса, то 2 Мз = 'йра др фЛР С другой стороны, яР ЯТз =:~Рз ~:вР вплбР, откуда >;(ДР ) +,1(Т ) — 2 = 31(ЬР~) — 4, т.е.,у(ЬР ) = 1. Позтому 1~.'1Х„',) = х(.йР )+ '''+1Г1Р ) 2Ь !) = 2 р.

Таким образом имеет место следующий результат. 'Утверждение 18.5 Эйлерова характеристика сферы с д ручкали равна 2 — 2д. Эйлерова характерисгпика сферы с р пленками Мебиуса равна 2 — р. Следствие 18.1 Сферы с д ру ~кани и сферы с р пленками Мебиуса по- парно не диффео.яорфны. Доказательство. Осталось заметпть. что диффсоморфизм сохраняст свойство ориентируемости, позтому никакая сфера с д ручками ие диффеоморфна сфере с р ) ! пленками Ъ!ебиуса. .

Характеристики

Список файлов лекций