TERM1 (1117971), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Тогда, если =1 = (а,..., а"') и В = 1о',..., У"') произвольные касательные векторы из ТрМ, заданные своими компонентами, а у' = у'1л,..., я'а) координатное представление вложения г, то (А, В)и = (д1(р(А), д1 р(Б))н: = ~ й„о(йг(А)) 1сЫ(В)) не=1 = ~ -з(~',-,"„")(~™',:, д) = и,,~=д я=1 д=~ — ( ~~'-', Ву дуд) г,д=д л=д Позтому, положив й ду" дуд для Вл;д ' щз=1 получим окончательно ~И (з1 В)м: )' урдо~Ь~. г,д=д Таким образом, доказан следующий результат.
Римаповы многообразия Предложение 16.2 Пусть с: ЛХ ь Иг вложснш .многообразия ЛХ ь риманоьо многообразие И". Хогда компонстпы у„, римановой метрики. тсдуцирова>шой на М вложением >, всяражоются через компоненты Ьав метрики на И' по слс>сзующсму прааилус ду" ду' ьл дхг дхз ' с — > где (ь>,..., х™) и (у',..., уи) своп>ветс»пвующс>е локальные координаты на ЛХ и И'. 'Упражнение 16.2 Пусть >: ЛХ вЂ” ь И' вложение многообразия М о риманоьо иногооброз>т И, и у: [а, Ь] — > ЛХ гладкая кривая на М. Показансь, ч>оо длина криьой Э, ьычис.сенная ь индуциуоьанной вложением з ,метрике на ЛХ, совпадает с данной кривой > о ц на И' (в рил>ановой .испсрикс но.
И'Э. 16.4 Изометрии Иа классе римановых многообразий естественно определяется более сильное отношение эквивалентности, чем просто диффсоморфность. Ото отношение зквивалснтностп "'уважает" риманову метрику. Пус и, М и >>с диффеоморфные римановы многообразия. Дпффеоморфизм Г: ЛХ вЂ” ь >>с называется изомесприсц если Г сохраняет длины всех глздкихкривых, те.
для произвольной>ладкой кривой ~ч [а, о] — > М имеем: Х(у) = Х(Г о у). Оказывается, как и в случае регулярных поверхностей, изометрии можно охарактеризовать в локальных терминах. Л именно, имеет место следующее предложение. Предложение 16.3,с[оффеоморфиз и Р: М вЂ” ь >У яв ляетгя изометригй, если и только если сппображение г "сохраняет ри,макову ме>арику" в следующс.к смысле. Пусть Р произвольная точка из ЛХ и Г(Р) = сз. Обозначим через (х,..., хь) и (у,..., уо) локалюсые координаты в окрсгтности Р и сь> соотвгтсипьснно, и пУс>пь УН компоненты Римоновои' мстРики „многообразия М в кооргЭинатах (х »... хм), а Ь»з ко,нпо>сенте> римановос> меп>рсзк>с лсногообразия >>> в координалсах (у',.... у").
Наконец, пусть у' = ус(хс,..., хо) координатное прсдтиаоленис оик>брожения Г. Тода ду ду сЭх' сЭх> Доказатоньство. Доказательство получается пославшим повторением до- казательства соответствующего предложения из теории поверхностей. Ориентируемосгь 203 17 Ориентируемость многообразия В данном разделе мы обсудим еще одну важную характеристику многообразий, аналога которой пам нс встречалось при изу !опии поверхностей. 17.1 Два определения ориентируемого многообразия В данном цолразделс мы приведем два эквивалентных определения ориентируемости.
Каждое из этих определений по своему удобно (см. примеры ниже). Определонио. Многообразие ЛХ с краем или без называется ории!тируежыя, если на нем существует атлас карт ((П, !р )), такой чсо якобианы всех функций перехода положительны. Если па ориентирусмом хсногообразии М фиксирован атлас карт А с указанным свойством, то будем говоритзь что на многообразии М задана ориентаиигь сам такой атлас А бу,сем называть ориентировании и атласом, а само многообразие орнснтироьаннылн Наконец, будем говорить, что два атласа А и А' задают одинаковую ориентацию на и, если их объединение А О А' само является ориептировавн! !и атс!асом.
Изучим простейшие свойства ориснтирусмых многообразий. Лемма 17.1 Пусть йХ ориентируе.нос .яноеообразие, и А = ((Г,, ы„)) произво;вныя атлас на йХ. Тоеда атлас А .нозюно преврапннпь в ориснтиуованньсй атлас путсн замены лснальныи координат в неконсорыл ка!впал. Доказательство. Действительно, пусть ((ХХд, !рд)) ориентированный атлас, существующий на М по опрсделеншо. Рассмотрим произвольную точку Р е Х;,, и пусть эта то ска принадлежит также карте Пв пз ориентированного атласа. Обозначим через (л,..., л") и (у,..., у~) локальныс координаты, порожденные в окрестности точки Р картой (!'со с'„) и (Псз, !рв) соответственно.
Тогда, если определитель с!еХ(дл'с'ду!) матрицы Якоби функции перехода пололсителен в точке Р, то сохрщсим локальные координаты (с',...,лн) в карте г',с, а есс!и это! определитель отрицателен, то тогда сделаем замену, взяв в качестве новых координат ( — л, л,..., л"). Очевидно. для этих новых координат якобиан матрицы перехода к координатам (у',.... ун) будет положительным в точке Р. '! аким образом, мы построили в карте И, локальныс координаты, такис что якобиан функции перехода к локальяым координатам одной из карт Пс! ориентированного атласа положителен в точке Р. Но тогда в Р положителен якобиан функции псрсхола к любой карте ориентированного атласа.
Наконеп, в силу связности карты !'а, эти якобианы положительны во всех точках карты !'ь (иначе найдется точка где якобиан раасн нулю, что невозможно). Лемма доказана. Ориентнруемость 204 Пусть (Х,', р) произвольная связная карта на мттогообразтттт ЛХ. В дальнейшем мы будем говорить, что карта (Г, тр) задает на ЛХ локстльную ориентацию. Если якобиан матрицы перехода от одной карты к другой положителен, то мы скажем что локальные ориентации, задаваемые;л ими картами на ЛХ, сов тасоваиы. Если на ъшогообразии М уже задана ориентация, то локальная ориентация, заданная связной картой (!Хдр) может быть или согласована, или не согласована с ориентацией ЛХ. В первом случае мы будем говорить что локальная ориентаттия, задатшая (Г, р), совпадает с ориентацией ЛХ, а во втором что локальная ориентация пропшвополохкна ориентации ЛХ.
Предложттние 17.1 ХХа свлзиозт ориентпируемом многообразии сусцеептвует ровно две разин тныс: орттснтатттттт..сЪобая карта на ориенптируемон,ниогообразии задает лохам ную оршнтацшо. стовттадаюттзую с одной из двух ьозможиых ориентпстций этого многообразия. Доказательство.
Пусть А = ((Г ... ух)) и Ас = ((~тт., рд)) два ориентированных атласа. Без ограничения общности будем предполагать, что все карты в этих атласах связны. Покажем, что если локальная ориентация, задаваемая какой-нибудь одной картой (Ив, ьтв) атласа А', совпадает с ориентацией, заданной атласом А, то атласы А и А' задают па ЛХ одипаковукт ориентацию. Действительно, обозначим через Ре произво.льную точку из карты 1",,т. Тогда для любой карты Га, содержшцей Рв, якобиан функции перехода от координат в ! в к координатам в !У„ттоттоткителетт. Пусть 1сз произвольная карта из А', пересекающаяся с !'в. Тогда локальная ориентация, заданная картой !тз тоже совпадает с ориентацией, заданной атласом А.
В самом деле, пусть Хьт точка из пересечения рай!хз. Тогда существует карта Г из атласа А, содержащая ьз. Представим функцию перехода Фт,т; от !т к Г как композипито функции перехода Фт;т; от )Хв к Ър и Фито от !'в к !Х. Якобиан Фтс и в точке бт положителен по предположению, а якобиап Фь;и в точке Я положителен в силу ориентированности атласа А'. Поэтому якобиан Фтйц в точке Я тоже положителен, так как равен произведению этих двух якобианов. Итак, мы доказали следуклцую полезнукт лемму. Лемма 17.2 Пусть на многообразии ЛХ задана орщнптацил аптласом А, и, кроме того, заданы дае пересекающиеся карты, задаюптие согтасоваиную тока,тьнуто орттентпацттю. Если ористпация первой карты совпадает с ориентпацттетт А, то ориентация вишрой карты тоже совпадает, с ориентпацисй А.
Рассмотрим теперь произвольную точку Р из ЛХ,и пусть 7: )0,1) — ~ ЛХ непрерывная кривая в ЛХ, соединяющая точки 14 и Р, сутцсствуюшая в силу связности многообразия ЛХ. Пта кривая покрывается конечным набором карт !'т = 1тв,..., !Хь атласа А'. Карта Ит необходимо пересекается 0!энея'Гнруемосгь 205 с какой-пиоудь из карт 1о ! = 2,..., к, поэтому, по лс лмс 17.2, якобианы функции перехода от карты 1; к картам атласа А положительны.,'[алев, обьсдннсние !'д и !4 нс покрывает кривой 7, поэтому пересекается с какой- нибудь другой картой г'. Повторяя этот пропесс и переходя от карты к карте, мы покажем, что якобианы всех функций перехода от карт 1', 1 = 1,..., Л.
к картам из А положительны. Поскольку 1э произвольная точка из,1Х, тем самым показано, атлас А О А' ориентируемый, что н требовалось. '!очно также можно доксзатгь чо если о,ша из карт атласа А' задает на М ориентацию, противоположную ориентации атласа А, то и все карты из атласа А' задают противоположную ориептацикь Предложение доказано. Ориентированность многообразия ЛХ ъчожно опрсделччть и по друч ому. Пусть '.:.," евклидово пространство. Если в 1%" фиксирован произвольный базис (см..., с„), то будем говорить, что в Р" засана ориентация. Два базиса пазовом одинаково орцснтирояанны.яп, если определи гель матрицы перехода положителен.
О ьевилгнь таким образом, гго в 'ч" можно задать ровно две различных ориентации. Замечание. Отметим, что если .й" рассматривать как гладкое многообразие с одной картой, то только что данное определение ориентации в с" в точности совпадает с данным выше определением для Р" как для многообразия.
Пусть Р некоторая точка многообразия ЛХ. Рассмотрим касательное пространство Хрук1, которос, напоъпшм, представляет собой линейное пространство 1к,'", и фиксируем в нем ориентацию. т.с. некоторый базис Е = ~еы..., са). Рассмотрим произвольную кривую э: ~0, Ц вЂ” ъ М, такую что 7(0) = Р, и построим непрерывное семейство Е(1) = (сч11),..., е„(1)) Е Т,,1М базисов в касательных пространствах в точках кривой 7. Другими словами, для каждого ! задано непрерывное отображение е„: !О, 1) — ъ Т)ЛХ), такое что я о е, = 7, где я стандартная проекция касательно! о расслоения Т(ЛХ) на М, причем векторы (е~ (Х),..., е„ф) линейно независимы в 7.,1,1ЛХ. Очевидно, если имеется два таких непрерывных семейства 12® и Е11), таких что 1' = Е(0) = Е(11), то, в силу непрерывности Е(1) и ЕЯ, базисы Е(1) и Еф задают в линейном пространстве Т.„,1М одинаковую ориентацию.
Ориентация, полученная таким оораэом в пространстве '1<~М, где Я =;(1), называется оеренесенноя из тают Р по крцяой Определение. Связное ъшогооорнзис ЛХ называется ориешпцрусиьья, если ориентация, перенесенная из точки Р в произвольную точку ъХ по кривой 7, нс зависит от выбора кривой э. Падать ориентацию на ЛХ означают в этой терминологии зачать ориентации всех касательных пространств ТрМ к многообразию М так, чтобы эти ориентации были согласованы с операцией перенесения ориентации вдоль кривых на ЛХ. Орнен тнруемость 206 Имеет место следукнцее предложение.
Предложение 17.2 Деа определения ориеитируеиости,ииагообразия энеи- еалейтиы. Доказательство. Пусть сначала на связном многообразии М задан ориентированный атлас А = ((1Уа, ~а,„) ) . Рассмотрим чве произвольных точки Р и Я многообразия М, и нусть у нроизвольпая кривая, соединяющая Р и ся'. Пусть П карта из А, содержащая точку Р. Зададим в касательном пространстве ТиМ базис Е, онрсдсляющпй в ТРАХ как в линейном пространстве 1Г' ту же ориентацикц что и канонический базис, соответствующий локальным координатам карты П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
