TERM1 (1117971), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Следствие 15.1 Если сГппМ < сГ!ш1ч, тпо дтя любого г тадкого отобра- жения Е: Л1 — т ту множество 1т' ~, ЕГтЛ1) не птутсто. Доказательство следствия. Это очевидно, так как в условиях следствия множество ЕГМ) является множеством критических значений отображения Е, и поэтому является нуль-тощим. 13 частности, 1гГЛГ ) даже не имеет внутренних точек. Доказательство закончено. '!'еорема Сарда может быть выведена из следукнцет о предложения, которос в математическом анализе тоже часто называют теоремой Сарда. Предложение 15.1 Пусть Г: П вЂ” ~ <" гладкое отображение открытого мттожсства 11 С .х'" в пространство й", и пусть 11 С П произвттттьное компакптое подмножество множества критических точек отображения Г. Тогда множество ГГ1Ц имеет меру нуль.
Покажем, как теорема Сарда получается из предложения 15.1. Доказательство. Пусть О произвольное открытое подмножество мпогообрюия М. 'Гогла пересечение множества критических точек отображения Г с множеством О совпадает, очевидно, с множеством критических точек ограничения Г о отображения Г на множество О. Поэтому если тГГтстео Гоь)) произвольный атлас многообразия ЛХ, то множество СГЕ) критических значений отображения Г молсст быть представлено в виде С(1г) = Гз С(1'~гг„).
ПУсть (!ти, Ухт,„) такаЯ каРта на мнот ообРазпи 1т, что Г(Г я) С Гт Тогда множество СГтр)тт ) это образ при го лсоморфизмс тт мнотксства СГд ) критических значений сквозного отобразкепия Ут = Фа о 1' тт о Го,т: Ро!!'а) С Е Вложения многообразий в евклндово пространство С другой стороны, множество критических точек отображения д задается в,ри(!У ) С х"' набоРом УРавнений (Равенспзо нУлю соответствУкнцих миноров), поэтому, очевидно, является замкнутым.
Как и всякое замкнутое подмножество в Й"", множество критических точек отображения д представимо в виде не более чем счетного обьсдинсния компактных множеств. !!оэтому каждое множество С(К!сс„) = ь'„'(С(д )) является, в силу предложения 15.1, утверждения 15.1 и хаусдорфовости многообразия %, обьелинением не более чем счетного семейства замкнутых множеств меры нуль. Поэтому таким будет и все множество С(Г).
Итак, мы показали, что С(К) нуль-тощее множество. Если же мнос ообразис сИ компактно, то на нем можно выбрать конечный атлас., что позволяет представить множество всех критических точек отображения Г в виде конечного объединения компактных мнол,сств К; (по числу карт). Все ашожества К(К,) замкнуты и нуль-тощие, поэтому они нигде не плотны. Попому конечное обьединение С(К) этих множеств тоже нигде пе плотно. Доказательство закончено. Итак лля доказательства теоремы Сарда осталось доказать предложение 15.1. сиы этого делать не будем, сославшись на любой стандартный курс математического анализа. Однако, для целостности изложения мы разберем тут тривиальный случай пз < п.
Доказательство предложения 15.1 при т < и. Представим пространство й" в виде пряъсого произведения й" = Р~ х к", построим открытое множество !ух 1РЯ "' С й" и новое отображение Ф = Коя1. !У хР" "' ч !Г', где яс проекция на псрвый сомножитсль. Тогда, очевидно, лля каждосо компакта К С П его образ К(К) при отображении К совпадает с образом Ф(К х 0) множества К х 0 С Г х 2" '" при отображении Ф. По множество К х 0 имеет меру нуль в пространстве Р (его можно покрыть конечным множеством кубиков сколь угодно малой высоты).
Поэтому в силу утверждения !5.1 множество Г(К) = Ф(К х 0) тоже имест меру нуль, что и требовалось доказать. Отметим, что следствие 15.1 нами доказано аккуратно. Именно им мы воспользуемся в следующем подразделе при доказательстве теоремы Уитни. 15.3 Теорема Уитни Выше мы уже доказали, что каждое компактное многообразие ау может быть вложено в евклидово пространство подходящей размерности. Однако, размерность пространства .,Р, в которое мы вкладывали многообразие Вложения многообразий в евклидова простсранство ЛХ, была очень велика (она равнялась количеству карт, умнохсенному па с1нпМ + Ц.
Теорема Уитни, которую мы докажем в настоящем разделе, позволит нам сугцествснно понизить размерность объемлющего пространства Р.'и. Теорема 15.3 (Уитни) Пусть ЛХ гзадкос колпакпгнос .кногообразце раэ,керностп п. Тогда сусцсттнугт вложение Р: М вЂ” г П4з"г'. Доказательство. Воспользуемся теоремой 15.1 и построиы вложение Ф многообразия М в свклидово пространство я~. Рассмотрим произвольную проходящукь через начало координат прямую Л в пространстве .йн и обозначим через яс ортогональную проекцию пространства лм вдоль прямой Х па ортогональное подпрострапство размерности на единицу меньше: яс: к-и — к аа .
Попробуем понизить размерность тсн» рассмотрим композицию я; о Ф: М вЂ” ь зс' ' (этот способ носит название лсгпод проекций). зм — ~ Пах| необходимо понять: при каких условиях композиция яг о Ф по прежнему является вложением. Для этого достаточно проверить выполнение двух условии. 1) моноыорфнос'гь дифференциала; 2) взаимная однозначность с образом. Рассмотрим первое условие. Пусть Р произвольная точка нз М, и обозначим через Пр образ дФ('ХрМ) касательного пространства Тр ЛХ в точке Р к многообразию ЛХ под действием дифференциала дФ отображения Ф в точке Р.
Так как Ф вложение, Пр это п,-ысрное надпространство в,й " = Тец Хат. Для того, чтобы дифференциал отображения яс о Ф был мономорфизмом, необходимо и достаточно, чтобы прямая Х не приналлсжала бы подпространс гву Пр (напоксним что и прямая н надпространство проходят через нуль). Когда заведомо можно выбрать прямую Х так, чтобы указщпюс условие было выполнено'? Обозначим через И' многообразие размерности 2п, полученное из касателысого расслоения Т(ЛХ) к многообразию ЛХ выбрасыванием нулевого сечения Мг.
Построим гладкое отображение 6 мнос ообразия И' в проективное пространство .кР' ', ставя в соответствие ненулевому касательному вектору 1Р Е ТрМ проходящую через ноль пряыую в хм с направляющим вектором дФ р1И) Е гдн. '1тобы убеди"съся, что отображение Л гладкое, запишем его в локальных координатах. Пусть (и,..., яо) локальные координаты на ЛХ в окренгности Р, (я',..., и", сд,..., вн) соответствусосцие координаты на И' С Т(М) в окрестности !'. и !у,..., у- ) стзндартныс координаты в У.,', а (у: ...: у ) соответствующие однородные координаты в ЛР ,и — с Если у' = Ф'(лз,..., ян), 1 = 1,..., и, координатное представление влояссния Ф,то отображение 6 устроено так: 6: ~и ',...,а", ь ...., ьн) ~ — ~ ~~ ,' га: ...: ~ ~~ , гь) Е ЙР' дал Х1ль Вложенггя многообразий в евклидово пространство где все производные вьгшсляготся в точке 1э. Это отображение, очевидно, является гладким.
Ясно, что если образ 6(И') не покрывает всего про- Л-1 ж-г „ странства РР', то можно выбрать прямую 1 Е нР' так, чтобы она не принадлежала никакой плоскости Пв, и, следовательно, как мы видели выше, дифференциал отображения кг с Ф был мономорфизмом. Рассмотрим теперь второе условие. Отсутствие взаиашой однозначности композиции гглоФ эквивалентно сугвествовапик> в пространстве й прямой, параллельной1 и проходящей через две различныс точки Ф(Р) и Ф(11). Отметим, то так как Ф вложение, условие Ф(Р) ф Ф1с)) равносильно Р ф сх. Построим гладкое отображение 6 из 2гг-мерного многообразия Й' = 61 х М '1 сх, где через гз, как обычно, обозначена диагоналгм в про- М-1 ективнос пространство .Р', сопоставив каэкдой паре различных точек (Р,11) хгногообразия 61 прямую в."«.Р~ ', параллельную прямой Ф(Р)Ф(ф в.к «1тобы убедиться, что отображение 6 глазко, запишем его в локальных координатах. Обозначим через (л',...,л'), (л',..., л") локап,— ныс координаты в окрестности точек Р и О на многообразии Я1, порождающие локальные координаты в окрестности точки (Р, С2) Е Йг, и пусть 1у',...,1г' ) стандартные координаты в й'г, а (1г'; ...: у' ) ю-1 соответствующие однородные координаты в Р1Р' .
Тогда, если у' = Ф'(л',...,иа), г = 1,..., У, координатное представление отображения Ф, то отображение 6 выглядит так: 6: (Р,ф = (л'(Р),...,ла(Р),л'Я),..., г,'"( „1)) > (у'( 1Р)) - р' 1и Ю):: р" (в1Р)) - р" ( 1 з))) Поэтому отображение 6 гладкое. Ясно, что если образ 61Й) отображсния 6, пе покрынает всего просктивного пространства йр, то можно выорать прямую 1 Е .ЯРгг так, чтобы композиция ггг оФ была бы взаимно однозначной. Наконец, рассмотрим многообразие Х = И" Гз 1Ф", являющееся дизъюнктивным обьединением многообразий И' и Йг.
Ясно, что Х гладкое многообразие размерности 2п. Определим отображение Н из Х в '~1в положив ( 6 (л), л Е И'", Н(л) = ~ Уг1л), л Е И'. Очевидно, Н гладкое отображение. Очевидно, образ Н(Х) совпадает с объединением образов 61Иг) и 6(Й'). Поэтому из сказанного вьппе вытекает, что если П(Х) нс покрываст всего пространства ЛРг' ', то можно так выбрать прямую 1 в ч ч, что композиция яг о Ф будет вложением.
Однако, в силу следствия 15.1, это заведомо можно сделать если 2п = г11ггг Х < 2 яв — г с!ип.'кр' = Х вЂ” 1. Таким образохл, нами доказано следующее ключевое утверждение. 196 1 имвновы многообрвзия Лемма 15.2 Если Ф: Мп — у Ак в,шэи:ение, и Ху > 2п + 1, то мспшдом проекций иоэкно построинпь вложение многообразия М в евклидова просепранство на единицу меньшей разиерносгпи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
