TERM1 (1117971), страница 37
Текст из файла (страница 37)
згпражноние 13.1 Докалеате, что набор касательных еектороо .[е,) дей- стеттельяо образует базис е 7рМ. з[адим наконец третье определение касательного вектора. Если некоторая гладкая функция, определенная в окрестности точки Р, и 7 произвольная гладкая кривая, такая что ",10) = Р и зь(0) = е, то можно определить производную функции 1 вдоль кривой 7 (в точке Р) так: ен (7Ю) й1 Эта операция линсйна и удовлетворяет правилу Лейбница: е(а7+ Зд) = ог® + Зг(д), е(7 д) = о(Д д1Р) + )1Р) п(д), где 7 и д лве гла якие функции, определенныс в окрестности точки Р, а а и,д веществешпяе чис.и. 175 Кагатг.льяое пространгтво к многообрлзиго. Операция Ьь, сопоставляюпьая каждой функции, определенной в окрестности точки Р, число ьь(/), удовлетворяющая свойству линейности н правилу .Чейбница называется диффсрснуироегпплсн, е тпочкс Р.
Если уз и Ы два дифференцирования в точке Р, то определена их линейная комбинация с всшсствснными коэффициентами и и д: уп:о+,ЗУУ)(/) = оР(/) +,'6,'. (/), где / произвольная гладкая функция. Ясно, что эта линейная комбинация тоясе является дифференцированием в точке Р, поэтому множество всех диффергнпирований в точке Р образует векторное пространство. Пусть (л,...,:с ) локальные координаты в окрестности точки Р б ЛХ. Каждая частная производная д/дл' задает нскоторос дифференцирование функций /, определенных в окрестности точки Р, по формуле / ьч д//дл'(Р).
Поэтому, как уже было отмечено, для любых чисел и' линейная комбинация ~ ', и' д/дл' задает нгкоторог дифференцирование. '1ретье определение касательного вектора таково: когатгльныж вскторож ь точке Р называется произвольное дифференцирование в этой точке, имеющее в некоторых координатах лз вид ~, лрд/дя,, гдг и" набор чисел. Как выглядит дифференцирование лдг%лл, в других локальных коордллнатах? Имеем: ю и т Таким образом, мы видим, что во всех локальных системах координат дифференцирование ~; и'д/дл; является линейной комбинацией частных производных, причем коэффициенты»той линейной комбинации это координаты касательного вектора в смысле первого определения, который по отношению к локальным координатам л' имеет координаты и'.
Тгм самым, ставя в соответствие каждому касательному вектору ~ = (и',..., ип) в смысле первого определения дифференцирование ~ л г" д/длл (это соотвстствие устанавливается в каждой локальной системе координат я'), мы получаем корректно определенное взалльшо одиозна"шое соответствие ме кду касательными векторами в смысле первого и третьего определений. '1'с л самым, мы показали эквивалентность первого и третьего определений касательного вектора. Итак, доказана теорема.
Теорема 13.1 '!ри приагдснныс антс опрсдсагнпл касательного вектора экеиьолснтньь 176 1!ясятельноы пространство к многообряэиго. Замечанио. Можно показаз ь (цопробу1!те это сделать), что это векторное пространство всех дифференцирований в точке Р, а нс только дифференцирований рассмотренного выше специального инда, изоморфно оррМ. Замечание. Интерпретация касательных векторов в точке Р как дифференцирований в этой точке позволяет ввести для базисных векторов с; каноничегкого базиса касательного пространгтва 7РМ (по отнон!ецию к локальным координатам н') обозначение †, нлн кратко д,.
Пространство всех дифференцирований. Начнем с не~колько про< тейпы л с вайса в операции диффер~ нпировання. ючоторам опорочил оифферекиировачил в точке Р Утверждение 13.2 Нус~пь 'О мчо; ообразич М. 7оеда 1) результат приленским о»|орасио й к постоя той фучкиии равен нулю; д) сели 1 и д гладкиь фуккиии ча лловоообразии, обратающивсм в куль в»ло те Р, то Р(~'д) = О. Доказательство. Длл доказательства первого утверокдешая, заметим, что в силу пра- вила Лейбница можно записать: Г(1) = Г(! !) = ! Р)!) Л-! 0(1) = 2 0(1)., откупа 'Р(1) = О. Поскольку лкбаа постоянная с представляется в виде с 1, первое узкерксдение вытекает теперь из лттйнь сти дифференцирования.
Второе узвероко!ение заки немедленно высекает из фор пулы Лейбница: Р(фй) = д(Р)Р1;) 1- ДР)Р)д) = о. Утверждение доказано. Ясно, что операция взятия произволной по направлению касательного вектора является операциеи дифференцирования в смысяе только что данного определения. Оказывается, что верно и обратное, а именно, имеет место следуюпьий результат. Предложение 13.1 Пуспьь М влидкое лковообразие, Р Е Л1 чвко»лорал точна из 31, и Р операция йифферттироаачил в»»и чке Р. 11 вд~ суи!»стоу»»л сдикствсккый касат*лькый вектор !' к.ичовообразию Лй в то ьке Р, »палой ото Р!1') = 1'!1')!Р) длл любой влаокой функции 1" ка Лй. Доказательство.
Доказатсльсгво продложсыия проведем в локальных координатах. Нам понадобится еле !укппсе удобное прслставлснис произвольной гладкой функпии 1. Лемма 13.1 Пусть (а~,..., яп) лочильчом система коордичопь ча лиовообразии М в окрестности и очки Г = (яв,...,т ). Волкам сладком фуккиил 1 ка М,кажет быьт ь редставлска» карте (»',...,л") виде Дл, ' ) Д )Ь~ ,'. „~РРа ь=ь т ~~' !'лр!»: » )1л ло))а' ко) вдс ЛВ чехо»воры» .аадкие фуикиии ча .ччовообразии М, определанные в карте (л,...,.
"). Еагатриьтуоуз пространство и мууороой!»азиуп. !77 Доказательство. Воспользуемся следующимутандаргным гожууеутвуум //хд"" "*) = //1') ф / д .'(хо ф У/хд — хо)"" хо -у- 1/х" — хо)) дУ о и выполним диффу ру нцир »ванне под знаком иптегрв.уа. Получим: Л.',...,х") = ДР) й 1 й / ~ †. .. !хо ф Р г — хо): " 'о' Д- 1/хж — хо'))/х — хо) « = дхк ! 1=1 — ЛР) ! ~ ~дк/х ....,х )/»с —.»о), Ь=1 гду ЬЛ /»,..., хо) зго гладкие функции вида ,1 1 д/ у, Г „, „,хп „)„ / дх»» о Отметим, что Ль/Р) и / „/Р) дум -„!Р).
/и д/ д/ о Применим теперь полученное тояько что разложение к функциям йл. Получим: йь/ ' " ")=!М1')т~ ~/' — 3)йл /' " х") // ') +~~' /хь — Ь я=у /1~ ) ! ~/х хо)йу(Р) ф //х, дг ) т ~ Ух хо)Ух хо)!'11 ух х ) = у,у =1 //Р) +''1 „/1Н "—,") д/ ~ /х хо)/х — хо)!»л~ !х х ) К.р=у что и требовалось. Лемма доказана.
Вернемся к дууказагелы тву предлолсения. Воспользуемся леммой 1д 1 длн вы глсления В//). В <.илу у войств операциул дифференцирования п лучнм: у»!/) — »»(//Р)) + ~ /Р)х (/х — * )) + Ь=1 П(/х хю)/х хо)!Вр/»1 * х )). К.р=у 1=1 гду !улр/х,... »» и) снова ну кууторые гладки * функгпи. Окончательно, для функции .1 / можно записать: 178 Х(асатгльное пространство к мпогообризило. Однак Ь первое и и н:ле 1и Поз тому у. илу утверждении 1Зпп .У.. 1 Ь=1 евреи<лам ка(ательный вектор 1, и ьзсокив го компонеизы (е,...,ьп) в к ~ординазих (х~,...,х "] равными се = ЮПи~ — л~)).
1огда, очевидно, 13.2 Касательное расслоение В заключение данного раздела мы приведем сгпг один важный при лср многообрнмля касателаное расслоение. Пусть М произвольное гладкое многообразие. Как мы уже знаем, касательное пространство ТрМ к многообразию М в произвольной точке Р Е М представляет собой линейное пространство. Рассмотрим множество 1(М) всех касательных пространств к многообразию ЛХ: 'ХХ,.ЛХ) = и„, Т М, и превратим зто множеспло в гладкое мнолообразие. Отметим, что злементы множества Т(ЛХ) зто все касательные вектора во всех точках многообразия Л1. Определим отображение х: Т(.Ъ1) — з Л1. сопоставив каждому вектору Р из Т(ЛХ) ту единственную точку Р Е М, лля которой выполнено 1У Е 'Хр,ЪГ. Пусть теперь (л',...,ин) локальные координаты, определеннь1е на области П мнолообразня ЛХ.
Рассмотрим множество ТП = 11 (11), и определим отобразкение Ф: 7'à — 1 У '" так: ф 1, 1Х1 Ло 1,о) й Зо где Р злемент из ТрМ, а (л',..., л") и (о~,..., о") координаты точки Р и компоненты касательного вектора Г в координатах (х,..., хн) соответственно. Поскольку касательный вектор однозначно определяется своими компонентами, отобралкение Ф взаимно однозначно с образом. Введем на Т(М) топологию так, чтобы для каждой карты Г на ЛХ соответствулоп1ее отображение Ф было бы гомеохлорфизмоы. Для з1ого, очевидно, достаточно потребовать, чтобы прообраз любого открытоло подмножества И' пз )кзн при отображении был бы открыт в Т(М). /1ругими словами, подьгножгство Х открыто в Т(ЛХ ), если и только если Ф-образ пересечения Таким образом, ь~ы устшюшиил существование искомого касалельного вектора 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
