TERM1 (1117971), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таз да, в силу непрерывности отображения Р, существует открытое в М мпо ксство Г С М, содержащее точку Р, такое что Х"(Г) С И'. При этом, очевидно, множество Г можно выбрать целиком лсжашим в некоторой карте мнет ообразия М. Итак, существует карта (Г, р) многоооразия М, такая что Р Е 7Х и Г(Г) С И'. Отображение Г порождает отображение Р = Х о Г о ~р заданное на области р(77) С 1Рст и переводящее се в область;,(Иг) С,'~ '. Обозначим через (х',..., хи') локалызые координаты на М, порожденные картой (77, ~р), а через (у,..., уи) локальныс координаты на Я, порожденные картон (И',7).
Отображение ХУ в этих координатах может быть записано в виде у' = Р'(х,..., х'"), ! = !,..., и. Ото отображение называется ноординалгны и иредся~аилениен отображениял Р а картах (Г, р) и (И", б) или координатны,,а предстаалсниеж отображения Р в локальных коорлинатах (х',..., х™) и (17~,..., у"). 1!ри этом мы часто, допуская некоторую вольность речи, будем отождествлять разные отооражениа Р и ХУ и записывать координатное представление Гу отображения Г просто в вндс Г'(х~,..., х~). 12.3 Гладкие многообразия !!усть М" тополог ическое многообразие, Х: Лфи — а Я непрерывная функция на ЛХ", и Р произвольная точка из ЛХ".
Как определить диффсреццируемость Х в точке Р? Естественно было бы воспользова гася координатным представленном функции Х в каких-нибудь локальных координатах в окрестности точки Р, которос, напомним, является обычной функцией на области в Ди и определить дифферепцируемость /' в Р Е ЛХ" как обычную диффсрснцирусмость сс координатного представления в точке р (Р). Собственно для этого и нужна карта т.с. локальные координаты. Однако как мы уже отмечали, точка Р может принадлежать нескольким картам, и, тем самым, в окрестности точки Р может быть определено несколько ЛХногообразня локальных координат. '1огла естественно требовать, чтобы определение днффсрснцирусмости функции в точке Р не зависело от выбора карты или, другиъси словами, чтобы все локальныс координаты на многообразии были бы равноправны.
Ясно, что это "равноправие" есть в то шости условие на функции перехода. Оно приводит к следусошехсу определению. Определение. Тополсн ичсское многообразие называется гладки.и, если вес отображения склейки гладкие. Замечание. Напомним, что в дифференциальной геометрии под словом "гладкии" обычно понимают непрерывную дифференцирусмость столько раз, сколысо нужно, хотя, конечно, можно определить,нноеообраэил класса С', О < г < зо (случаи г = О соответсавует топологпческим мне~ ообразиям), а также аещесосеенно аналитические,.нноеообраэия и,,лля четных и, ко.яи.и*кено аналит ичсскш многообразия. 11ижс, мы обычно будем иметь дело с бесконечно гладкими многообразиями (если противное пс будет оговорено специально). Замечапио.
Если структура топологического многообразия задана атласом, состоящим из одной карты, то оно автоматп соски является гладким. (Функции перехода нет вообще, гла,1кость проверссть пе у чего.) Замечапио. Существуют примеры топологических многообразий разме1ь ности и > 10, на которых нельзя ввести структуру гладкого мнос ообразия. Пусть на многообразии АХ заданы два атласа Л = ((11„,:ра)) я А' = ((Г',,о'„)), каждый из которых задает на М структуру гладкого много- образин.
Атласы Л иЛ' называются экаиаа сснсиныжи, сели их объединение А О А' также задает на многообразии М структуру гладкого многообразия (т.е. все функции перехода между всеми картами атласов Л и Л' являются гладкими). эпражпеписс 12.4 Хуелякпися .щ экяинтсентаы.ни следу)ощие деа атласа на ьсщсстаенной ирлжой; Л = ((П = Л (к), р(я) = г)), и А = ((Г = 1Рс(л) .с(, ),з)) а Пусть Л некоторый атлас, задаюший на М структуру гладкого многообразия. Обозначим через Ат, максимальный атлас на М, эквивалентный Л. Другими словами, если Ас произвольный эквивалентный Л атлас на М, то А' по определенисо содержится в Аа, „.
Ясно, что чва атласа на М эквивалентны, если и только если они содержатся в о.дном и том же максимальном атласе. ТЕаксимальныс атласы на многообразии М называют ладкилт иируктурожи многообрззпя АХ. В дальнейшем, говоря о гладко л мпсн ообразии мы будем всегда предполагать фикс:врованной некоторую его гладкую структуру. Заметим, что определение гладкости функции, даваемое ниже. зависит, вообще ~ оворя от гладкой структуры. ЛХногообразия лспражненне 12.ос Привести прил!яр различных гладки!! структур иа пря- ,но!! л!. 12.4 Первые примеры гладких многообразий Пример. Рассмотренные выше многообразия, т.е. область Рм график непрерывной функнии (нс обязательно гладкой) н сфера о'", являются сладкими.
Пример. Важным примером гладкого многообразия является нроективное пространство КР". Напомним, что проективным пространством .<Рп размерности п называется множество всех прямых в Ьа+', проходящих через начало координат. Введем на лри функцию расстояния р(Р, с/), равную у!ау между прямыми Р и Гч! )нровсрьтс, что функция р уловлетворяст всем ансис!лам расстояния). Функция расстояния р превращает !кр' в метрическое.
а, значит, и в тонологическое пространство. Зададим теперь на Ри карты следующим образом. Обозначим через Г!; множество всех проходя!них через начало координат прямых в .Ми+', не перпендикулярных с-ому координатному вектору. Иными словами, прямая 1 с направляющим вектоРом с = (с,..., са+ ) вхоДит в Рм если и только если з' ф О. ОтобРаженис р,: Г, — > .: "' определим так: (Проверьте, что р; гомеоморфизмы).
Выпишем в явном виде отображения склейки. Рассмотрим две карты Я, !р!) и (Г//, !р ), и и!сть;рс: !с;Я! Г! Г/у) — + р!.(Е/! Г! Г ) отображение склейки. Если е = ~г',..., сп~ ) нанравлясоший вектор прямой / Е !/, П бс! то /. ! ,~ — ! ге! ,,п-~-! ', ( ! „, с;.!.! .е!) л! ' ' !с! ' !с! ' ':с! / ! „у — ! з+! с -!-! (4 — — — (В! йи ! уи 1 зп с!) л! ' л! ',с! са! нозтому 1 б = н = прийми!, и,У= н/ а! '1'аким образом, отображения склейки действительно явшиотся гладкими, и, значит, РР' гладкое и-мерное многообразие.
Пример. Приведем пример непрерывного, но не гладкого многоооразия. Рассмотрим на прямой Р, атлас, состоящий из двух карт: ! к, !р: я «-!:с) и Я, !р: г. ~ — ~ я! ). Так как р и с!З очевидно, гомеоморфизмы, мы задали на ЛХногообразия Ль« структуру топологпчсского многообразия. Однако это мпогооораэие не является гладким, так как отображение склейки «до й ': я «-ь:гщз не гладкое в О. упражнение 12.6 Модифииироеать предыдущий притер так, чтобы по- пу ~плесь жногообразис класса Сз, но нс Сз.
Уиражноние 12.7 ХХокаэитщ что колтлекснне проекпгиепое пространссиео "«Р яьлястся комплексно аналтпичсскиж многообразием комплексной размерности и. Пример. Пусть ЛХ1 и ЛХз лва гладких многообразия. Рассмотрим прямое произведение М1 х М > топологнчсских пространств М~ и Мю и введем на нем структуру гладкого многообразия. А именно, пусть ((ХХи, уь )) и ((1'и, фь)) атласы на многообразиях ЛХь и ЛХз соответственно. 'Тогда пары ((П, х хд, у я х фг) ) задают на ЛХ1 х ЛХз гладкий атлас (проверьте!).
12.5 Задание структуры гладкого многообразия на множестве По определению, структура гладкого пинос ообразия задается на некотором хаусдорфовом топологическом пространстве. Прсдполозсим теперь, что у нас есть произвольное множество Л (без какой-бы то ни было топологии), и фиксирована не болсс чем счетная система его подмножеств 1П ), такая Г; что ° подмножества Г покрывают Х; ° для каждого множества 1lь фиксировано взаимно однозначное отобРажение:Р„: Ги — Ь 'йп1 ° если функции перехода, т.с.
композиции вида Хи о рр определена, то она является гладкой. Тогда на множестве Х можно ввести структуру хаусдорфова топологпческого пространства, и относительно этой структуры Х будет гладким многообразием. Действительно. достаточно объявить открытыми в Л тс и только тс подмножества, образы пересечений которых с любым из Пи открыты в 1Р".
гпражнение 12з8 ХХроигриь, что е регулы итс дгйстеитсльно пояучптся некоторая тополе «ия на Х. ХХоказать, ~то Л таусдорфоео. ХХокагать. что селсгистео ((1Х«о~ри)) задает на Х структуру гладкого многообразия. 164 ЛХногообразня Замечание. Отметим, что сели проделать описаннуго только что про11едуру для гладкого мне! ообразпя Л1, чо в результате мы получим на ЛХ топологию, эквивалентную исходной.
В этом смысле. гладкая структура многообразия определяет его топологию (как, скажем, метрика определяет тополое ию метрическое о пространства) . 12.6 Гладкие функции, гладкие отображения, диффеоморфизмы Пусть ЛХ гладкое многообразие, и Х: .И вЂ” у й~ непрерывная функция на ЛХ.
Определение. Функция Х' называется гладкой а точке Р Е ЛХ, если для некоторой карты (1,', д), такой что Р Е Хl, координатное представление функции 1 является гладким в точке уо(Р). Функция 1 называется гладкой но жногооорозии,И, если она гладкая во всех точках многообразия Л1. Дглюс, пусть ЛХ и Лг два гладких многообразия, и Р: ЛХ вЂ” > ХУ непрерывное отображение из М в Ху. Определение. Отображение Г называется гладки.я о точке Р Е ЛХ, если для некоторых карт (Ь', 1о) па Л1 и (И", Д на Я, таких что Хз Е 11 и Р(ХХ) С 11г 1напомним, что такие карты существуют для любой гочки Р Е ЛХ), соответствующее коо1здинатнос представление отображения Р является гладким в точке 1о(Р).
Отображение 1 называется гзадкиж, если оно является гладким в каждой точке Р Е М. Очевидно, что гладкая функция это просто частный случай гладкого отображения многообрази1н многообразие ЛХ отображается в мноу ообразие х со стандартной гладкой структурой. Отметим, что определения гладкой функции и гладкого отображения зависят только от гладкой структуры многообразия н не зависит от выбора локальных координат (в фиксированной гладкой структуре).
Х1сйствнтельно, если (1Х, уо) я (11',.р') две карты на М. содержащие точку Р, и Х непрерывная функция на ЛХ, то координатные представления Хо1о и Хс (р') ' функции 1 в этих разных картах одновременно явля1отся гладкими в точках уо1Р) и 1о'(Р) соотвстствснно, поскольку отличаются друг от друга на гла,якую функцию перехода д' о 1о Замечание. Аналогично можно определить функции и отображения класса С", а также вещественно аналитические и комплексно аналитические функции (отображения).
Отметим, что класс гладкости многообразия должен быть нс ниже определяемого класса гладкости отображения. ЛХногообразня Пусть Р: ЛР" — 5 Х" гладкое отображение гладких многообразий, Р произвольная точка нз ЛХ, и Сл = Р[Р). Рассмотрим координатное представление функции Р в локальных координатах [г,..., яп') в окрестности Р б ЛХ и [у',..., у") в окрестности Гд, которое запишем в виде у'=Г[л,...,г™), 1=1,...,п. '1огда латрипа Якоби зтого координатного представления, т.е. матрица (,",, (е)) называется лщприией Якоби отобриисенил Г е точке Р в координатах [л,..., лп') и [у1,..., уп). Отмсти л, что при замене локальных координат матрица Якоби изменяется как матрица линейного отображения, где в качестве матриц перехода выступают матрицы Якоби соответствующих функций перехода. Пример.
Пусть ЛХ гладкое многообразно. Гладкой кривой на многообразии ЛХ называется гладкое отображение отрезка [а, 6] [со стандартной гладкой структурой) в многообразие ЛГ. Если точка Р нз М лежит в образе отображения у, т.е. Р е у[[а,6]), то будем говорить, тто кривая 5 протодит крез точку Р. 51сно, что если О [а,6] а М гладкая кривая ва М, и г: [с, д] а [а, 6] взаимно однозначное гладкое в обе стороны отображение отрезка [с, д] в отрезок [а,6], то отображение ~ = ., с г: [с, д] -+ М снова гладкая кривая. Будем говорить, что кривая "~ получена из кривой;: вяленой пиражетризациш С точностью до параметризации всегда можно считать, что кривая парамстризована, скалссм, отрезком [ — 1, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
