TERM1 (1117971), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Но тогда Х = 1Л) О 1 1В), причем множества Г (А) и Г 1В) нс пусты, открыттт и не пересекаются, т.е. Х несвязно. Полученное противоречие и завершает доказательство. ;Элементы общей топологии. Следствие. 10.3 Связность топалова:иткого пространства топояоги гескиа инвариант, сп.е. сохранятпся при ео.нео.иорфиз.каг. Следствие 10.4 Лспугрыь ноя функция, »аданная на связном топояогиче- ско.и пространспще Х принимает все про,.игзкуточньш зна гыгия. Доказательство.
Действительно, если, скажем, значение ув нс принимается непрерывной функцией 1: Х вЂ” » а, но прини лаются некоторые значения болыпе и меньше чем усг, то образ )'1Х) распадается в объединение двух открытых нспустых непересекающихся множеств ! !Л) й (ув, +эо) и Э(Х) СЭ ( — со, усг) Последнее противоречит предло»кению 1Отм Следе»»з»»е доказано. Часто удобно пользоваться другим, более сильным понятием связности. Тос»ог»с»» ическое пространство Л называется линеино связнььи, если любые две точки из Х можно соединить непрерывной кривой, т.с. для любых х и у из Х сушесп»уст непрерывное отображение у: [О, !] — » Х.
такое что »П!) = х и 31с1) = у. Ясно, что в силу предложения 10.8 каждое линейно связное пространство является связным. Обратное, вообщс говоря, неверно. Упражнс»нис» 10.28 Рассмотрим замыкание Х в плоскости графика функции у = в1п(!сгх). Ясно, что Х состоит, из графика функции у = в1п1ггсх) и вертикального отрезки, соедшгтагцего тоски (О, — Ц и (0,1). Ясггпгс»агпгь чта пу»острансггшо Х !ггпосго.»огня индуцироаана из < ) связно, но нс линейно связно. 10.3.2 Аксиомы отделимости Две различных точки топологического пространства Х пазыва»отса огп; дс.ги.яьг.ки, если у них существуют непересекающиеся окрестности.
Более общо, два произвольных подмножества з1» и Дз топологического простра»»- ства называются отделимьгми, если существу»от непересекающиеся открытыс мноясества П» и Пз, такие что Л» С П», г = 1, 2. '!аналогическое пространство Х называется»аусдорфовым, если,побыв его две различных точки отделимы. Ясно, что нс любое топологическос пространство является хаусдорфовы л. Примор. Рассмотрим множество Л, состоящее из двух элементов х и у, и задалим на Х топологию, положив т = (й, Л, (х)).
Очевидно, точки х и у нз Х неотделимы, так как точка у обладает единственной окрестностью Х. Пример. Приведем еще один важный пример нсхаусдорфова пространства. Пусть Х произвольное бссконечпос множество. Задади»» па Х топало» ню, объявив замкнутыми все возможные конечныс подмножества из Х. ;Элементы общей топологии. 109 Упражнение 10.29 ДуаверЬтее, что так определенная систельа за.якндьпых мновюеетв задает на Х топологию. Докажите, что полученное типологическое пространство не является тиусдорфовын. Полученная топология называется топологией Зарисского. Пример. '1опологн ьсскос пространство Х, наделенное дискретной топо- логией, хауслорфово.
Хаусдорфовы пространства обладают рядом полезных свойств. Предложение 10.10 Каждая точка хаусдорфова просьпранства являгтхя его ганкндтьоя под.нноакеспьво,я. Доказатольство. Пусть Х хаусдорфово топологическое пространство, и х произвольная точка из Х. Так как любая точка у Е Х 1, Эьх) отделима от Х, множество Х 1 1х) открьгго в Х. Поэтому 1х) замкнуто. Доказательство закопчено. Упражнение 10.30 Пусть Х и У хадсдорфовы топологическте пространства. Показать, ° ~то тогда их декартово произведение, несвязная сумма и букет таквке являются хаусдорфовььчи.
Упражнение 10.31 Являеьпся ли хаугдорфовость тополагичсския пнга- риангпому Определение. Топологическое пространство называется нормальным, если оно хаусдорфово, и, более того, любые его два непересекающихся замкнутых подмножества отделимы. Класс нормальных пространств достаточно широк. Предложение 10.11 Кааидос льгтри ~ескос пространство нормально.
Доказательство. Пусть 1Х, р) метрическое пространство, и Л~ и Лз два произвольных непересекающихся замкнутых подмножества в Х. Для каждой точки х нз множества я1ь опредс.п|м число г(х) > 0 так: г1х) = 11/3)р(х,Л ). Аналогично, для каждой точки у из Лз определим число г'(у) = (!/3)д(у.
=1ь). Построим открытыс множества Пь и 1Ую положив Пь = О,ел,Ол1, )(х), Пз = 0иел,0,1„)(у). Очевн,1но, Г, ~ А„ь = 1,2. Покажем, что 1Д и Гз не пересекаются. Действительно, пусть существует г Е Гь (Э [ х. Тогда имеются такнс х Е Ль и у Е Аз, что г Е ОН,.1(х) и г Е О, 1и1(у). Но тогда р(г, х) < 11/3)р(х, Лз) < 11/3)р1х,д), и р1',у) < 11/3)р1у,А~) < 11Яр1д,х). Складьпзая последние два неравенства, получаем р(у, г) + р1г, х) < 12/3) р(у, х), что противоречит неравенству треуголышка. Предложение доказано. Элемеэсты общей топологии. 130 ,эспражненисэ 10.32 51влятлсл ли нормам ность топосэогээчесэсим ттари- анспом у В топологии часто бывает удобным язык покрытии (см.
также следующий раздел). Система открытых множеств (Г,,) топологического пространства Х называется открытым покрытием пространства Х, если ь)„75 = Х. Открытое покрытие (Г ) называется эффсктивныи, если из него нельзя выбросить нн одноэо элемента Г так, чтобы в результате снова получилось открытое покрытие. Пусть задано два открьгэых покрытия Г = -,'Го) н Р = (1о) пространства Х. Говорят, что покрытие 1с излэельчаеэээ покрьллис 75 или описано ь покрытие Г, если каэкдос множество 7Сэ лежит в некотором мпоэкестве 71„. В дальнейшем нам понадобится следующее важное свойство нормальных пространств. Предложение 10.12 11усть Х норлэальнос прострстство, и Г = (Г,), 1 = 1,..., Ю, некоторое ьсо конечное открытое.
покрытие. Тогс1а существует вписанное в Г покрытие 1с = (1(), э = 1>..., Л', причем ээ С 71, длл калсдо; о г. Доказательство. Если сй = 1, то можно взять )э = 75. Пусть теперь 1у > 2. Предположи л сначала, что покрытие Г эффективно. Рассмотрим замкнутые множества Х Э, Гэ и Х 'э 1,'У Ге 13 силу эффективности покрытия Г, оба эти множссэва не пусты. Кроме того, они, очевидно, замкнуты и нс пересекаются.
Поэтокэу, в силу нормальности пространства Х, существует открьпое множество 15э, такое что Х эЭ О ',Гй С 17 С 1' С Г . Система множеств (1ээ, Гз,..., Гк ) снова образует эффективное покрытие пространства Х, поеному к ней можно применить аналогичную процедуру, построив множество Ъ' С 1сз С 7)з, такое что (Ъсэ, 1сз,..., 1ээу) .эффективное покрытие. Продолжи л эту процедуру до тех пор, пока нс построим требуемое измельчение 15 покрытия Г. Для эффективных покрьпий предложение доказано. Если же покрытие Г не эффективно, то, очевидно еэ о можно представэлть в виде объединения конечного числа эффективных покрытий, для каждого из которых можно построить покрытие 1'.
Объединение соответствующих покрытий 1' и даст искомое покрытие. Предложение доказано. 10.3.3 Компактность Хаусдорфово топологнческое пространство Х называется комсэакспньэм, если всякое его открытое покрытие (71 ) содержит конечное покрытие (Г, ); пространства Х, Элементы общей топологии. 101 Пример.
Отрезок [а, 6] в топологии, янвуцирогганной из 'гг', компактен (докажитс), а интервал (а, г>) нет. Пример. Более общо, ка кдое замкнутое ограниченное подмножество ме- трического пространства =со компактно (теорсма Пороля). Приведем несколько полезных свойств компактных пространств. Предложение 10.13 Компактное топологнчссков пространство нормально. Доказательство. Для доказательства этого предложения нам понадобится следующая вюкпая лемма. Лемма 10.1 Зсглгкнгртос поднггоаввспгво компактноео пространства ком- пактно. Доказатвщьство.
Действительно, пусть (!'а) произвольное открытое покрытие замкнутого подмножества А компактного топологического пространства Л. Чогда каждое 1в это пересечение некоторого открытого в Х множества Г„с множеством А. Ясно, что набор открытых множеств (Г„) О (Х гг Л) образует открытое покрытие пространства Л, и иэ него можно выбрать конечное подпокрытие (Г„„) О (Х г, Л). Но тогда, о гсвидно, конечная система множеств (1',„) абра.густ конечное подпокрытис множества Л..'1емма доказана. Вернемся к доказательству предложения. Пусть Х компактное пространство, Л произвольное замкнутое подмножество в Х, и и точка из Х, нс лежыпая в Л.
Покажем, что (л) и Л отделимы в Х. Действительно, в силу хаусдорфовости пространства Х, для каждан точки а, Е А существует окрестность Г(а) точки а и окрестность Г(л, а) точки и (вообще говоря, зависящая от а) такие что !У(а) О 1'(:с,а) = (). Семейство Г(а) образует, очевидно, открытое покрытие множества Л, в котором, в силу леммы 10.1, ложно выбрать коне шое подпокрытие (Г(аь)),"' . ПоэтомУ окРестность О, >1г(л,ал) точки х опРеДелена и не пеРесекаетсЯ с содержащим А открытым множеством Ов >Г (аь).
М Рассмотрим теперь два произвольных непересекающихся замкнутых множества Лг и Лз в компактном пространстве Х, Как мы только что доказали, для любой точки а Е Лг существует открытая окрестность Г(а) точки а и содержащее множество Аз открьггос множество 1>в, такис что Г(а) О 1>, = 8. Семейство (Г(а) ) образует открытое покрытие замкнутого множества Лг, в котором, в силу лс ямы 10.1, можно выделить конечное подпокрытие (!У(аь))г~ . Поэтому определено открытое множество О~~ 1гвг,, содержащее множество Л и не пересекающееся с содержащим множество Аг открытым ъшожеством с>,"' >Г(ал). Пре,1ложение доказано.
в!емма 10.1 имеет слевуюшее обращение. ;Элементы общей топологии. 1 5'2 Предложенио 10.14 Пуспп А ьо,нпактное г>одг>рг>стринг>тво в хаусдорфовол просгиранствс Х. Тогди А за.нкнугпо. Доказатгшьство. Рассмотрим произвольную точку х из Х 1 А. Нам .!остаточно показать, что х нс является точкой прикосновения для А. В силу хаусдорфовости пространства Х, для каждой точки а из А существуют окрестность Г(а) точки гл и окрестность У(х, а) точки х, такие что Г(а) й 1'(х, а) = И. Семейство (Г(а)>! образует открытое покрытие ком- пакта А, поэтому в нем можно выделить коне шое подпокрытие (Г(аь))~ь >. Поэтому определена открытая окрестность й~~ 1г(х, ал) точки х, которая, очевидно, нг пересекается с множеством А, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
