TERM1 (1117971), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ь»р = 'Ь Е ) 1, полу чим: ,а>„: л',/Р,: а' соеЬ | Л ) Лз Лз лл*г*в — улув — ( ел, св > Лз Лз Геометрия Лоба ювского. 129 где через (ел,ев) обозначено псевдоскалярное произведение векторов ел п ев. Поэтому окончательно: !.4В!г. = Лагссов1>( ',' ). ПУсть И, В и С пРоизвольныс точки на половинке Вгз(л» О) псевдосферы, и ел, ев и ес соответствующие векторы из 1й<(. Из только что полученной формулы вытекает, что неравенство треугольника эквивалентно следугошему соотпошсниго: агсг>ое1> ( ', ) + агссояу> (,', ) > агссгжу> ( Отметим, что все попарпыс скалярные произведения вре аениподобных векторов ел, ев и ес отрицательны, поэтомх, применяя к последнему неравенству функцию совЬ, и воспользовавшись формулой гиперболического косинуса суммы, мы получим еле,<ующее эквивалентное неравенство: которое естественно переписать в виде Возводя обе части в квадрат, имеем: (сл, е'и) (ее>.
сс) — Л (сл, св) — Л (св, сс) + Л Л4(ел, ес)з + (е>ы е )з(е, с г)з + 2Лз(сл, е;)(ел,ев)(г., с г), или, приводя подобные, перенося все в одну- сторону, и сокращая на Л, 2 0 > — Ле+ 2(ел, е<г)(ел, ев)(ев, ес) + Л" (еа, ес)'+ Л'(ел, .ев)'+ Л'(ев, ес)'. Осталось заметить, что последнее вь>ражение совпадает с определителем матрицы Грамма системы векторов (ел, ев, ес).
Знак этого определителя не меняется при заменах координат, поэтому он отрипателен. '!ем самым, неравенство треугольника доказано. Доказательство. Показать, что длина прямолинейного отрезка, соединяющего две любые фиксированные точки на плоскости Лобачевского, меньше длины любой другой кривой, соединяюгпей зти точки. Следующее утвсргкденис, как несложно проверить, эквивалентно наличию бесконечного числа прямых проходящих через фиксированную точку и параллельшлх данной. Геометрия Лобачевского. Предложение 9.13 Сулла углоа ссуоигьольного иьрсугольнико .4ВС на ологкоскис Добочеаского сспрого,яеньаис чг и Доказательство.
Доказательство этого факта проще всего провести в модели !!уанкаре на круге. Действительно, сначала сов лести и с помощью движения плоскости Лобачевского одну иэ вершин треугольника с центром круга. Ясно, что сумма углов при этом не изменится. С другой стороны, теперь очевидно, см. рис. 14, что сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше чем сумма углов соответствующего евклидова треугольника (мы воспользовались конформностью хсетрики д!обачсвского!. Докаэательс гво закончено.
Рис. 14: Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского Окскэь вается, на плоскости Лобачевскос о существует связь между суммой углов треугольника и сс о площадью. А именно, имеет место следующее предлоькение. Продложение 9.14 Пусть ЯВС нроиэеольньт' сореугольшт на плоскости Лобачсьского Вз(Л), и о, 3 и ", его углы а огутинаи А, В и С. уогда, если В оиндадь треугольника АВС, то В = Ля~ я — о —,3 —;).
Доказательство. Воспользуемся теперь моделью на верхней полуплоскости. Напомним, что плопидь области в римановой метрике это интеграл по этой области от корня иг определителя матрицы метрики. На всрхней полуплоскости определитель метрики равен Лч/у", поэтому следует интегрировать функцию Л, ссу4. Докажем спасала требуемое равенство для треугольника с углами о, к/2 н О.
При этом движением плоскости Лобачевского переведем параллсльныс стороны рассматриваемого треугольника в параллельные оси ординат лучи, причем будем предполагать, что один из этих лучей лежит на самой осн ординат, см. рис. !5. Обозначив через г евклидов радиус окружности и заметив, что угол между радиусом этой окружности, приходящим Геометрия эуо ба чевского. в вершину Л и осью ординат равен а, полу сиьн Лг з В= сся р с сяе сс ~ саесе = Л / * = Л агссйп — = Л" я1п(сова) г —:о г г г о = Л ( —, — а) = Лг (я — —, — Π— а), что и требовалось.
Рис. 15: Треугольник с углами а, я/2 и О. Пусть теперь углы треугольника ЛВС суть а, В и О. Без ограсшчспия общности можно предполагать, что стороны этого треуголт ника параллельны оси ординат. Пусть, для определенности, параллельные стороны ЛС и ВС треугольника ЛВС лежат по разные стороны от всртикальнос о луча, перпендикулярного соответствующей стороне х1В окружности, см. рпс. 16. (13торой случай разбирается аналогично.) Площадь этого треугольника складывается из площадей двух треугольников, углы которых равны соответственно а, я)2, О и,д, я)2, О. Поэтому для площади гакого треугольника имееък В = Л, 1н — я~2 — а) + Лг(я — я~2 — 3) = Лг(я — а —,В) что и требовалось.
Отметим, что вершина треугольника с пулевым углом может лежать и на вещественной оси. ~[ействительно, треугольник г вершиной на вешественной оси в точке я переводится в треугольник с вершиной па бесконечности изометрисй плоскости суобачевского вида ш1г) = — 1С1г — а) (проверьте, что это изометрия). Пусть, пакопеп, мы имеем треугольник общего ви,ш, т.е. все его вершины лежат в верхней полуплоскости у ) О.
Продолжим одну из сторон треугольника, ока>кем ЛВ за точку В до пересечения с абсолютом в точке В, и проведем луч Схг. Тогда треугольники ЛС11 и СВХ) имеют нулевой Гсометрия г1обачсвского. !зис. 16: '1)ьеугольник с углами о, гу и О угол в точке В. Обозначим угол СВО через б, а угол ВСВ через с. Искома площадь В треугольника ЛВС ьгозкет быть найдена как разность плошадей треугольника АСВ и треугольника СВВЬ Получим: В = Лз(к — о — !9 + г)) — Лз!к — г — Б) = 11 (к — о — (к — б) — 7) = Й (к — о — !5 — у). "1'аким образом, п1ьедложсггие полностью доказано. Ниже в виде задач приведены аналоги теоремы Пифаг ора, георемы косинусов и теоремы синусов для плоскости,.'1обачевского.
! 1устгч как и вылив ЛВС произвольный треугольник на плоскости Лобачевского, а, гд и "г углы в вершинах А, В и С, а а, 6 и с длины сторон, противолежащих вершинам А, В и С соответственно, Ъ'пражнение 9.7 Доказать теорелу Пифагора для геометрии Добачсвского: еслгг угол 9 щ~лмой, то и,неет место следуюгдес соотноиггтгьг совЬ с = сояЬ а соьЬ 6. огпражнение 9л8 Доказать тсоре ну синусов для геомсгприи,7обачсоскогог яшЬа яшЬ6 гйпЬс вш,д огпражнение 9.9 Докозапгь пгсорсму косинусов для ггомспгрии гуобачевского: совЬ 6 совЬ с — совЬ а соьп = сйпЬ 6гйпЬ с огпражнение 9.10 Доказать слсдующеь рггоснство, нс имеющее аналогов в еаллидооой геометрии, и выразкоюигсе сторону треугольника гсрсз его 1/гльг: сов а + сов г5 сов 7 сов1г а = сйп;Зв!и Г ХХз этой формулы вытекает, а чоспгности, признак конгрузнтносаги треугольников на плосьосгпи ьробгшевского "по гарси угла.и".
13;5 Элеклеллты общей топологии. На этом кратком обзоре г еометрии,,!обачевского клы заканчиваем знакомство с классической дифференциальной геометрией. 10 Элементы общей топологии В данном разделе мы познакомимся с общей топодол исй частью математики, которая изучает наиболее общие свойства гсохлетричсских объектов, пе меняющиеся пря 'попре!зывязях дефорклаллиях". 1!з математического анализа известны такие важныс понятия как непрерывность н сходимость.
!5 основе их леллзлт, на самом деле, некое понятие близости между точками некоторого множества. На абстрактном мнозкестве понятие близости, вообще говоря, не определено. Общая топология изучает множества, па которых введена дополнительная структура структура топологического пространства. позволяющая определить понятие б.шзости точек лакого множества наиболсс обшикл образом. Множество близких точек называется в топологии 'окрестностью'.
Для пас понятие топологичсского пространства послу-жит основой для определения центрального объекта современной дифференциальной геометрии гладкого ьлногообразлля. Выше мы подробно изучили кривыс и поверхности, однако построенная нами теория носила локальный характер. Говоря неформально, многообразие зто объект 'склеенный' из кусочков, каждый из которых представляет собой поверхность. Чтобы определить законы такого склеивания вам и понадобится язык топологии. 10.1 Метрические и топологические пространства В данном разделе мы определяем огповныс объекты. изучаемые в общей топологии метрллческлле и топологические пространства, а также непрерывные отображения таких пространств.
Мы начнем с более привычного объекта с метрического пространства, возможно, уже знакомого и:з курса математи зескол о авали:за. 10.1.1 Метрические пространства В качестве "меры близости" в мотрических пространствах выступает обладающая специальными свойствами функция расстояния между точками. В терминах этой функции можно легко определить понятие окрестности точки. пусть Х щзоизвольное множество. Ыеллзрикой или ГГ)ункдисй расьтолнп.я на множестве Х называется неотрицательная вещественная функция р, определенная на декартовом произведении Х х Х и обладающая слсдующи ли свойствами: 1) невырождевпосчь: р(я, у) = 0 если и только если я = у, Элементы общей топологии. 2) симметри гностик р(х, у) = р(у, х) для любых х и у из Л, 3) неравенство треугольника: р(х, у) + р(у, з) ) р(х, з) для любых точек у и з иэ Х. Опредеяонно.
й!пожество Л вместе г введенной на нем метрикой р называется летричьски,н пространствол и обозначается через (Х, р). Впрочем мы довольно часто для краткости будем обозначать метряческое пространство (Х, р) просто через Л. Элементы мегри ~еского пространства называются пючкггли. Значение р(х, у) метрики р на паре точек х и у называется расстояггпел згезкг!у ньо гкаягь Пример. Пусть Х = й". Расстояние между точками х = (хы..., х„) и у = (уы..., у,) из г<а может быть определено многими способамн. Л!гл приведем следующие три: рз(х, у) = г=1 (х, — у,)з евклидова расстояние: Е ° р, (х, у) = гпах([хг — у,]); рг(х, у) = ~ ~х„— уг] .,иаахеттвнское раж тояоте Упражнение 10.1 Покгиать, что функции ры рз и р, яв явится .летрикали на 2". Таким образом, кажтая из пар (.й",р1), (.1",рз) и (й",р ) являются метрическими пространстваълп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
