TERM1 (1117971), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Обозначим через С множество всех векторов из ь' неотрицательной длины. Легко видеть, что зто множество не пусто и ограничено пересечением плоскости Е с изотропным конусом, поэтому само является невыро>кденным конусом с центром в начале координат. Рассмотрим произвольную прямую лп', лежащую в С, и пусть Е' плоскость, проходящая через Р и пл'.
Так как Е й ь' = т', и прямая пл' не пересекает А' (Л), то соответствующая плоскости Е' прямая Р на Лз(??), проходящая, очевидно, через Р, не пересекает прямой».'. Из построения видно, что существует бесконечно много лаких прямых Р )талл как имеется бесконечно много прямых т' из конуса С), что и требовалось. 115 Гсомстрия Со Обачсвског. Для того, чтобы представить себе геометрию,Лобачевского более наглядно, удобно воспользоваться другими координатами на А (Л), а именно, координатами стсрсографической проекции (хсы пх обсуждали в предыдущем разделе). 9.1.3 Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского Как мы уже знаем, стереографическая проекция переводит плоскость „'1обачсвскос о Ег ф) во внутренность круга Р~ (Л) радиуса Л, причем центр этого круга находится в начале координат координатной плоскости П.
Окружность, ограничивающая диск Р~~Л), называется абсолюта.н. Обозначи л через (и, и) координаты на П, а через (и, у, г) координаты в дг причем бу,1ем предполагать, что псевдоскалярное произведение в,йз, задано 3 так: двз = диз + с1у — с1г~. Тогда стереографическая проекция записывается так (см. лемму 7.1): т Л 2Лзи 2Лзп Л~+ и + пз') или, в полярных координатах 1р, р) (и = р сов сп, и = ргйп р) так: с 2Лзрсовр 2йзрейп р Йз+ рз Л2 рз ' ' Л2 рз ' Лз 2 Метрика на плоскости Лобачевского в этих координатах, квк мы ужс* сосчитали в предыдущем разделе, имеет вид двз: .„((ди) + (дп) ) (Лз — из — гз) з или 4Лл (~д )'+ з1д )') (Лз — рз) ' Отметим, что полученные метрики конформно эквивалентны евклидовой мстриксь Следствие 9.1 Углы мсскду кривыми на плоскости Лобачевского в .надели Пуанкаре совпада~всп с гак лпдовьсни разами, т.с.
углсьсспь из нсренными в евклидовой метрике. Кроме того, если в (;~ фиксировать цилиндрические координаты (г, р, г), т.е. и = гсов р, у = с вш р, г = -, то Отметим важное свойство стсреографичсской проекции: Геометрия Лаба ювского. Теорема 9.1 Сгпсреогродпгческая проекция а: ?,з?Е?) -о П переводит каждую прямую Лобачевского о дугу окружности, псрпсндикуллуную абсолюту, или а диалстр диска 1У (Я). Доказательство.
Пусть 1 прямая на плоскости Лобачевсксло, полученная пересечением плоскости Лобачевского 1.~(Я) с плоскостеяо С, проходяшсй через начало координат. Если Е проходит через северный полюс У = ~О, О, Я), то южный полюс Я и все прямые, соединя|ощие,5' и точки из 1, лежат в плоскости С, поэтому стереосрафический образ прямой 1 есть диаметр диска 1И Я), полученный псрессчением плоскости С и В (Я), проходеппеи через центр кру! а 11-!Я). Пусть тспсрь 1 не проходит через северный полюс ?у.
Пусть плоскость Е за,чается уравнением от+ 6у+ ел = О. Из сделанных выше предположений вьггекает, что с ф О. Подставляя в это уравнение выражение лля л, у и л через стсреографические координаты и и с, получаем 2 1?зи яз+ Р+ ог+6у+с =а,, +6, о з+сЯ 1?з — из — оз Яз — из — оз Яо из,из 2 2 2 2айзи+ 26Язо+ с??(1?з + из + оз) Яз 2,л откуда, разделив на сЯ ф О, аЯ 61? и+2 ~ +(Яз+из+из) — О с с и+ + о+ =Я" !! оследнсс уравнение задает некоторую окрулсность Я в плоскости П. Легко р Н Г к~ .. У, р 6 Н Н /Ь' Х ЕГН вЂ” 1 рр ;,. з', о ...г;...
л~огеуР... „.;,...„„%.;,.1 з'. У образуют Пифагорову тройку, т.е. сумма квадратов радиусов равна квадрату расстояния между центрами. Поэтому рассматриваемые окружности ортогонаяьны, что и требовалось. !еперь невыполнимость аксиомы параллельных становится еще более наглядной, см. рнс. ??. Кроме модели Пуанкаре плоскости, !обачевского, сушествуют и дру1 ие модели, для понимания которых нам понадобится ввести так называемые дробно-линейные преобразования плоскости. 9.2 Дробно линейные преобразования плоскости Напомним, что каждую точку плоскости а, на которой введены стандартные декартовы координаты (и, и), можно рассматривать как комплексное 117 Гсомстрия Ло ба чевского.
Рис. 13: Пятый постулат на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. число г = и+ма Если (г, ~р) полярные координаты на,Жз, то комплексное число з равно те'г. Напомним, что комплексное число у = и — гь называется сопряаисаным к = и +1ь. Преобразование, ставящее в соответствие каждом числу число я, является осевой симметрией относительно оси и. Рассмотрим преобразования плоскости, связанныс с арифметическими операцпямп над комплексными числами. Пусть с = с1+1сз некоторое комплексное число. Рассмотрим преобразование плоскости, ставящее каждой точке точку + с.
В явном виде, з = и+ гь ~ — > л + с = (и+ с1) + 1(ь + сз), поэтому такое преобразование является сдвигом на вектор с. далее,пусть а = г,еси некоторое ненулевое комплексное число. Тогда преобразование, ставящее в соответствие каждому числу з = ге'и число аз выглядит так: = геев еч аз = гг„едг+г" 1, иными словами, полярный радиус точки " увеличивается в г, раз (это растяжение в г, раз), а полярный усол д увеличивается на д, (это поворот па р, вокруг вача ~а координат). '!'аким образом, рассмотреьщое преобразование есть композиция растяжения и поворота.
Рассмотрим теперь преобразование, ставящее каждой точке з точку 1/с. В явном виде, 1 - = ге'~ ~ — > — е г поэтому полярный радиус г меняется на 1/г (зто инверсия относительно стандартной единичной окружности с центром в нуле), а полярный уз од меняется с г на — д (это осевая симметрия относительно оси и). Замечание. Отметим, что инверсия опрсделсна на всей плоскости, кроме центра инверсии (центр инверсии переходит в бесконечность). Чтобы определить инверсию на всей плоскости, обычно рассматривают пополненную ила ращииреяг да алоскосгаь, добавляя к плоскости 1ка = С бссконечпост1 Геометрия Лобачевского. 118 оо. Пополненная плоскость в действительно является двумерной сферой (подробности будут рассказашя в курсе теории функций комплексного переменного).
Чтобы зто продемонстрировать, рассмотрим стереосрафическую проекцию сферы В из северного полюса Ж. Эта проекция отсь ждсствляст Вз '1 (Дс) с плоскостью «з, при этом бесконечности соответствует северный полюс Я. Инверсия порождает естественное взаимно- однозначное отображение сфсры Вз на себя, при котором центр инверсии и северный полюс Л' меняются мостами (центр инверсии отображается в бесконечность, а бесконечность в центр инверсии).
Пусть теперь а, Ь, с и д комплексные числа. Определим дробнолинсйное преобразование так: аз+ 6 я в-у се+ д, Каждому дробно-линейному преобразовангпо поставим в соответствие мв/ а 6'1 трицу . Легко проверяется, что»то отображение есть отображес / а Ь ние в точку если и только если матрица ~ ~ вырождена 1это в гочс ности условие то~ о, что пары комплексных чисел (а,6) и (с, 6) пропорпиональны с некоторым комплексным коэффициентом, поэтому отношение числителя к знаменателю дробно-линейного отображения равно константе).
Так как нас интересуют преобразования (расширенной) плоскости, всюду / а ниже будем предполагать, что матрица ~ „) невырозидена. с Представим дробно-линейное преобразование в виде компо»ицпи преобрвзований, рассмотренных выше. Д именно, возможно два разных случая: с = О и с ф О. В первом слу еае Н ф О (матрица преобразования невырождена), поэтому ил+6 а 6 = — з+ — = зуя+ В, ся+ сl тю. дробно-линейное преобразование есть композиция поворота, растяже- ния и сдвига. Во втором случае имеем аз+ 6 а1 + 4/с) + 6 — ад/с А +б се+ Н с1л+ д/с) л+ В поэтому рассматриваемое преобразование сеть композиция сдвига, инверсии, осевой симметрии, поворота, растяжения и сдвига. Итак, имеет место следующее предложение.
Предложение 9.1 Казидос дробно-линейное преобразование представило в одноля из Эвуя видов: А : ~-у Ая+ В или з ~ — у + С, я+В Геометрия Лаба ювского. 119 где А, В, С и Е) некоторые лоянтексньт числа. Поятолсу каждое дробно-линейное иреобразоьанис етпь или композиция поворота, рстпьяжсиия и сдвига 1в первом случас6 или композиция сдвига., инверслпб отвей си,.ммекприей повороти, растяжения и сдвига 1во втирал~ случае)'. Отметим, что все преобразования, из которых слагается дробно-линейное преобразование как в первом, так и во втором случаях, переводят окружности в окружности н прямые, .а прямые также в окружности и прямые.
Для дальнейшего нам будем удобно рассклатривать прямую как окруясность бесконечного радиуса. После сделанного соглашения, мы можем сформулировать только что доказанный результат так. Предложение 9.2 гйаждое дробно-лтмйное преобразование переводит ок- ружности в окружности. Рассмотрим композицию р о и двух дробно-линейных преобразований а'з+ 6' н о: "1ь с з+ д аз+ 6 р: сз+ д 1!меем а'з+ 6' с~э, ср 6аа'+ Ьс')1з+ и6'+ 6й' аде + Ь' '1са' + йсг1з + с6' + с1сР с +д с' +д' т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
