TERM1 (1117971), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1очка Хя' = (1ХаО,...,0) называется сееерньгм полюсом сгсеыдосг[эеры, а точка 5 = ( — 1[я О,...,О) южным сгоэгнэсол. Определим сгггерсозрабэическую проекцию а половинки псевдосферы Я~, однозначно определенной неравенством г. > О, в координатную плоскость и = 0 тзк. Произвольную точку Р из сэ~" соединим с южным полюсом отрезком б'Р. Этот отрезок, очевидно, пересекает плоскостг л = 0 Римапова и пссвдоримапова метрики.
101 в некоторой точке, которую мы обозначим через а(Р). Определим отображение а, положив и: Р ь» а(Р). Если мы обозначим через (и,..., и") стандартные координаты в плоскости х~ = О (для точек плоскости х~ = О но определе»ппо поло»ким х' = и" ', ! = 2,..., п+ 1). !! этих координатах стсрсографическая проекция псевдосферы выглядит так. Лемма 7.1 Н сделанных выпье обозначениях, если (и',..., и") н»очки а(Р), то координаты (хз,..., хп+ь) точки Р сяоеут бьппь еычисспны п»ак: Лз + 2 ',(и')з Лз — 2 ',(н')з ' 2йли' Лз — 2 „(и')з »ьь1,п и' Л ! = 1,..., п.
х~ь» Л+ х» ' Г!одставляя их в уравнение для псевдосферы, см. выше, и пользуясь предпололсенисм х ) О, находим: Ли+2 „(и')з ' =Л Лз — 2 ',(и')з !Годстаиляя это соотношение в предыдущие, получаем: 2Лзи' Лз 2 (и~)з ' ь = 1,...,»ь, что и требовалось. Рис. 12: Стсреографическая проекция псевдосферы Доказательство. Действительно, поскольку трсуь ольники Яя(Р)0 и ЯРО' подобны, см. рис. 12 имеют место следу»ошис равенства: Реодезичсгкис и кривизна. 102 Регулярные координаты )иг,..., ип) на псевдосфере Вг"' называются коиудинагегалги сгггеуеигуа17гичсской проекции.
Очевидно, координатное отобРажение а взаимно оцнозначно отобРажает полУсфеРУ Вгг'(х ) О) нв открытый шар ралиуса У! в плоскости х' = О. Из леммы 7.1 легко получается следующее утверждение. ,ггтверждегнио 7.2 Пггевдос1)1еуа чисти .ишь ного радиуса гВ с цтгтром ь начале координат ь ггуитпуанспше гиинкоьегкого гг лввлетсл простуан—,,пег ственио пидибтай пивеухностгми. Индгуг1ироваггнал на ггеи перьая квадратичная гроума ь кооудинагпах сгггегуеигуау)пьеской проекции 1ггиитаегпствугаи!ал уи ионова метрика в шаре радиуса Я) имеет вид: '-(В-К( )з)з Ниже мы воспользуемся псевдоевклидовой метрикой и псевдосферой для построения метрик постоянной отрицательной кривизны и для изучения замечательной геометрии таких метрпк, обнаруженной Лобачевским.
8 Геодезические и кривизна !3 данном разделе мы применим разработанную нами технику для изучения поверхностей погтоянной кривизшл. Ъ!ы начнем с опредсленил удобных координат на поверхностях. 8.1 Нормальные координаты С ггомгощью геодезических мы определим на поверхности так называемые ноумальгале координаты, которые оказываются удобными для многих выгислепии. Итак, пусть й! регулярная гггперповерхносггь заданная в параметрическом виде так: г: П вЂ” э г", пусть Р некоторая точка на М, и Тр,Ъ| касательное пространство к поверхности ги в точке Р.
Пусть !' произвольный касательный вектор из ТрМ. Тогда, в силу следствия 5.3, существует и единственна геодезп геская дгг (в), удовлгтворяющал начальным условиям гг (О) = Р, и !гг (О) = И !здесь точкой обозначено дифферепцировщпге по,г). Пусть а произвольное вещественное число. Тогда для вектора ар тоже существует геодезическая !;,г (в).
Оказывается геодезические сгг (в) и б,г-(в) отличаются на перспарамстризацию. Лемма 8.1 В сделанньгх выше обозначеничх, !,и (в) = йк )ав) ь обшей ибласпги определения. Геодезические и кришнана. 1ОЗ Доказательство. Действительно, касательный вектор геодезической ~<с(ая) в точке Р = с«(О) имеет вид с, <О)о а1, сЬ поэтому < содсзическая б<<1аг) удовлетворяет тем же начальным условиям. жго и < еодезнческе.я й,~ (я).
Теперь утверждение леммы вь<текает из следствия <ьЗ. Определим экспонснциальнос отобраэксние схрр некоторой окрестности нулевого вектора в касательном пространстве ТрМ в поверхность М так: ехрр. 1' 5 Ь.(1). 51спо, что отооражение ехри гладкое в области определения (в силу теоремы о гладкой зависимости рсшсния задачи Коши от начальных условий). Оказывается, отображение ехрр является также регулярным в некоторой окрестности нуля. Предложение 8.1 Пусть Р проис<гос<ьная точка неособой пооерхнос<пи М. Тогда шпобралссние ехрр задаст уегуллрныс координснпы е нскоторой окун стнос<пи точки Р.
Други.ни сновали, отображение схр, гладко и стаи.нт< одноэнично отобраакасип некоторую окрестность ну<я иэ ТрМ на окрегпсносс<гь точки Р е М, причал< матрица Якоби этого отображения нсьырождсно. Доказательство. Для доказательства предложения достаточно показат<ь что яатрица Якоби отображения ехрр невырождена в точке О е ТрМ. Действительно, если это так, то матрица Якоби невырождена и в некоторой окрестности нуля, и тогда утверждение предложения вытекает из теорех<ы об обратной функции.
Итак, по определен<по, ехрр1И) = й< 1<1). Фиксируем на М какие-нибудь координаты (и,..., и ), и пусть и<1я, 1с) координатные функции геодезической ~г (э). Если мы фиксируем какой-нибудь базис в 7гМ, и в этом базисе 1< = 1и~,..., ип '), то координатные функции отобраькепия ехри в координатах (и,..., ип ) на ТрМ и (и,..., и" ) на ЛХ имеет, очевидно, вид и' = и'11, 1:) = и" 11, и,..., ип ). Пусть 1 произвольное число. Наскол<,ку, в силу леммы 8.1, б<ь 1г) = ~«(г), в координатах имеем и 1Я,11'):и, <сэс, с')< !1родиффсрснцирусм соотношение 1я) по 1 и положим 1 = О. Дифференпируя левую част<о получим: ди'(.,И') ~ д" (я,гИ), ~ ди<1г О) э с< Реодеэичсгкис и критюнв.
104 С другои стороны, дифферештируя правую часть соотношения (*), имеем: дтт'(л1, 1') дтт'(к1, 1') дтт'(0,1~) т=п Приравняв полученные выражения и положив в них з = 1, получим окон- чателт но: дтт' (1, 0) дит т зч'тт,ет т для произвольного вектора 1г. Поэтому матрица Якоби тт — ',- Хт отображения ехрн в точке 1' = 0 равна единичной матрице и, в частное ти, невырождсна.
Предложение доказано. В силу только- тто доказанного предложения 8.1, следующее определение корректно. Определенно. Пусть в касате.тном пространстве ТрМ фиксирован цроизвольный ортонормированный базис тст), и (тэ,..., ип ) декартовы координаты в Ут М, порожденные этим базисом. Регулярные координаты, порожденные отображением И = (и,..., и" ) т — т схрт,®, переводящим некоторую окрестность точки 0 Е ТиЛХ на некоторую окрестность точки Р в ЛХ, называются нормальными координата.ии с цснптрол ь то те Р, порождснны,ии базисол (гт). Сама окрестность точки Р, в которой заданы нормальные координаты, а тактке соответствующая окрестность точки 0 в ТрМ называется нормальной окрестносптью. испражнении 8.1 Построить норма,тьные координаты иа гтанг1артной деуиернои' сфере.
Лбах устроена максимальная нор.иал иая окрестность ото чки сферы у Пусть в некоторой нормальной окрестности точки Р фиксированы нормальные координаты. Рассмотрим в касательном пространстве Тр М сферу Бп (г) радиуса г, целиком лежащую в нормальной окрестногти точки 0 Е ТиЛХ. Образ ехрп1Бп (г)) сферы Бп '1г) при экспонецциальпом отображении называется геодезической сферой с ценптром и точке Р и радиуса г. Имеет место глсдуюшгс интересное утверждение.
Предложение 8.2 1тЛемма Гаусса) ХХусить (') ттроизаольнал точка гсодсзи теской сферы Е с центро,и е то ткс Хт. Тогдгл цсликол .тсжатцая а нормальной окресптноспт точки Р геодезттческал, соединяющая точки Р и 1,1, сдинстиснна. Более того, эта геодезическая ттуилодит на геодезическую сферу Е под пря,иьти углол. Пог.теднгс означает, что гсодгзичегкая перпендикулярна любой регулярнои' криеой, ттроходящсй через О и лежащей е Е. 105 ! е<эдезтлчсгкие и ьриштэнэ. Доказательство. Первое утверждение предложения вытекает из предложения 8.1, т.с. из взаимной однозначности отображения схрг в норма.тьной окрестности. Докажем второе утверждение.
Пусть Т(!) геодезическая, соединятошая точки Р и (,т и лежащая в нормальной окрестности точки Р, и пусть н(т)< г Е ( — гз, тв], произвольная регулярная кривая па геодезической сфере Х, такая что о (0) = (1. Рассмотрим семейство гсоделлчсских Т,(!), целиком лежащих в нормальной окрестности точки Р и соединяющих Р с точкой в(г) Е В. В силу перво< о утверждения предложения, каждая т-еодезическая Т,(1) однозначно определена. Ясно, что семейство геодезических Т„(1) определяет вариацию Ф(г, !) = Т,(!) геодезической Т(1) = Тв(!). При этом, по определению, одна концевая кривая р(г) вариации Ф состоит из одной точки Р, а другая <1(т) совпадает с кривой в(г). Воспользуемся формулой первой вариации длины, см. следствие 5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
