TERM1 (1117971), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теорема 8.1 Пусто Мз и ЛХ дьумсрньсс поверхности поытолнной гауссовой кривизньз К, и пусть Р, произвольная пзо:зка на 111,. з = 1,2. Тогда у зпочек Р, на М„, 1 = 1,2, сущегппвуют сюомгтршчные озргстносгпи. Други.ясз с,говссми, повгрлноспзи Мз и Л~Ез локально изози тричны. Поверхности нулевой и положительной постоянной гауссовой кривизны нам уже встречались зто, соответствснн~э, плоскость и сфера.
Следствие 8.1 Двуззгзрззая поверлногть нуттой ггзуссовой кривизны локально изомеспрична гзлоскосзпи. у1вумгрная посс рхность полоаиигпельной гауз совой кривизны аз локально иэометрична стандартной сфере радиуса 1,1а. Осталось выяснить, как выглядят поверхности постоянной отрипательной кривизны. Пока про них мы знаем только, что в полугсодезических координатах их ме грика имеет ззид дв~ = с1из + 1сзовЬ(аи))з диз, где а некоторая константа 1квадрат которой равен кривизне поверхности с точностью до знака).
згпражнение 8.3 Вылснизпь, сущсстьуепз ли зшверлнвснзи вращения по- стоянной отрицатсяьной гауссовой кривизны. Если да, то описать ьиь для любого 1 имеют также место раззепства — Аа в1сз(а В), 0= (,/СЯ,О)) = А, Аа вш1ЦаВ), соь(аь), 1, соьЬ(ав) если 1з =аз)О, если К=О, сслп К = — аз < О. Е'содезичсскис и кригяюня. Рассмотрим псевдосферу в трехмерном пространстве Минковского Лг. В этом случае метрика псевдосферы в открытом круге с центром в нуле радиуса Л в стандартных координатах (и, и ) имеет вид г 4Ла дгз =, ((сЕи )г + (с!из)з) (Л вЂ” (. ) — (.з) )з и называется мегирикой Лобочсоского е координатах стсрсогроЕЕЕичсской проекции.
Иногда удобно записывать эту метрику в полярных координатах (х, уг) на плоскости, в которых она. очевидно, имеет вид сЬ = з ((дг) + х (Йр) ) (Лз — ')" Круг радиуса Л с введенной на пем метрикой д!обачевского называется моделью Пуонкорс гсо.истории Лобочеоского, см. комментарии в следующем разделе. Нам, однако, булет удобно переписать эту метрику в других координатах. 2(ля этого мы сначала введем на пространстве Минковского так называемые нсеедосферические координаты, положив: и (р, Х,;р) = рсоейХ, х (р, Хд 1о) = рв!и!зХсов 1о, х (р, Х, д) рып'и Х ып,р „!егко проверитчч что зто деиствительно регулярные координаты в Кз, при р > 0 и уг б (О, 2к).
С другой стороны, координатная поверхность р = Л, очевидно, совпадает с псевдосфсрой чисто мнимого радиуса ЕЛ. Наконец, псевдоевклидово скалярное произведение в этих координатах имеет "ид — (др)з+ Рг(дХ)'+ р'(в!п1~Х)'(др)', позто ау на псевдосфере радиуса ЕЛ мы получаем метрику следующего ви,ла: сЬ = Л, ((дХ) + (ейп1з Х) (Йр) ). Введем новыс параметры С = ЛХ и ~Е = Лр. Тогда метрика псевдосферы перепишется в виде з дя = (4';) + (я!пЕз ) (дк) Е(ля мстрнк такого ви„ча мы уже вычисляли гауссову кривизну по формуле !'аусса.
Из леммы 8А получаем, что гауссова кривизна К псевдосферы радиуса ЕЛ, равна (еш!с — ) К— Л! Лз ейпй— ЛЕ 112 Геоксстрия Лобачевского. Итак,;!оказано следусошее предложение. Предложение 8.4 Гауссова кривизна ссссьдосферьс,сзс радиуса !П ь 4~~ по- стоянни и ровни — 1ссвз, 1Лз теоремы 8.1 немедленно получаем следующее следствие. Следствие 8.2 Двумерная сссзверхностсс отрипогсссльной гоуссоьой к!тьиэньс — и локально иэолетрично пссьдосфере рссдиуса Ца. ,з'пузажнонно 8.4 Показать, что геодеэи сескпьми но круге радиуса Н с .петрикой Лобачевского ль.слютсл дуги окруэкносспей, пересекающие огранстивоющую этот круг окруокноспсь пог) пря.мым уело.н, и только они.
эспражноние 8.5 Пусть но верхнеи' иолуплоскости (и, у) Е,"й~)у > О за- дано ри.яссноьо .яс.трико 1з зс!" + ду дв =П с/и Это,метрика называется метрикой 3!обачевского на верхней полуплогкости. Гиячислить гауссову кривизну верхней полуплоскости в метрике Лобачевского. Как устроены гсодсзическис ь эспой метрике У 9 Геометрия Лобачевского В данном разделе мы подробнес остановимся на изучении геометрии мстрик постоянной отрицательной кривизны геометрий !обачевского. Отметим, однако, что 3!обачевский нашел свокь знаменитую геометрию из совсем других сообралсений, с обсуждения которых мы и начнем этот раздел. 9.1 Неевклидовы геометрии В!кольная с еометрня.
или евк.шдова еео,.истрия, бита аксиоматязирована в знаменитых 'Началах" Евклида (3 век до н.э.) Своп построения Евклид базировал на пяти основных пони улатох. 1) через две точки можно провести прямую, 2) любой отрезок можно неограниченно продолжптчо 3) данным радиусом из данной точки можно провести окрулсность, Л) все прямыс углы равны между собой (обеспечивается единственность продолжения прямой), Геометрия ЛГОбачсвског.
б) если две прямые, лежапп>е в однои плоскости, пересечены третьей, и если сумма внутренних односторонних углов меньше суммы двух прямых, то прямыс пересекаются при неограниченном продолжении с той стороны, с которой зта сумма меш,ше. У Евклида были, впрочем, и другие аксиомы (например, аксио лы равенства и порядка). Обычно пятый постулат формулируют в следующем (эквивалентном) виде: з') через донную точку ене прл,яой можно провести единеяленную нор ." "ую пр му 1!ятый постулат отличается от остальных более громоздкой формулировкой. Он похож на теорему, поэтому многие комментаторы "11ачал" Евклида пытались вывести пятый постулат из остальных аксиом евклидовой геометрии, однако их попытки не увенчались успехом. Существенной переработкой аксиом евклидовой > еометрии занялся Гиль- берт (во второй половине 19-о> о века было выяснено, >то система аксиом Евклида не полна).
В его аксиоматике (!899 год) выделяются три основных неопределяемых понятия: точка, прямая н плоскость, и основные нсопределяемые отноп>ения: принадлежит, между, движение (конгруэнтность). Аксиомы делятся на пять групп: аксиомы принадлелсностн, порядка. движения, непрерывности и параллельности. Оказывается, пятый постулат Евклида (аксиома параллельности) является независимой аксиомой: существуют геометрии, в которых выполняются все аксиомы, кроме аксиомы параллельности. 9.1.1 Эллиптиче.скан геомотрия На шем с примера геометрии, в которой пятый постулат невыполнен, а из остальных аксиом выполняются почти все. Рассмотрим стандартную сферу,5з С йз единичного радиуса с центром в нуле.
Точками будут точки из,>'~, прякплми болыпие круги (пересечение сферы э'з с плоскостями, прохоляшими через се центр), а движениями преобразования сфсры, нндуппрованные ортогоначьными преобразования ли пространства йз. Ясно, что в такой геометрии вообще нет параллельных прямых.
1!едостаток через диаметрально противоположные точки сферы проходит больше одной (фактически, бесконечно много) прямых. От этого неприятного обстоятельства можно легко избавиться, отождествив противоположныс точки г и — л. В результате мы полу тим проективную плоскость 1ЙР и естественную проекцию г: Яз -ч йРз. В качестве прямых ца ейРз рассмотрим образы больших кругов при проекции г. Теперь чсрсз две разные точки прохо.чит ровно одна прямая, однако имеется еще одно нспрнятное обстоятельство: как па сфере, так и на ',1Рз не определено корректно понятие "между". Можно показать. что на 'крз выполняются все аксиомгя евклидовой геометрии, за иск,почецием аксиомы параллельности и аксиом порядка. 114 Геометрия Лобачевского. Построенная только что 1 еометрия на 1а!Рз называется эллиптической или просягяиеяой геометрией. й!ожпо ли построить пример геометрии, где выполняются есе постулаты, кроме пятого? Ответ на этот вопрос по,южнтельной.
!'еометрия, в которой это так, называется геометрией Лобачевского. Оказывается, надо вместо сферы взять псевдосферу. Приведем соответствукяцее построение. 9.1.2 Плоскость Лобачевского (гиперболичл>скан геометрия) Рассмо зрим прес лранство л~г В координатах (я~, ял, лз) изотропный конус задается уравнением — 1»я~)з + 1»х~)з + (лз)з = О, псевдосфера вещественного радиуса Й вЂ” !»~) + (я~)" + !я ) = Л» (однопо»лестный гиперболоид), псевдосфера мнимого радиуса л Й вЂ” (з ) + (я ) + (я ) = — Л )двуполостный гиперболоид).
Рассмотрим псевдосферу мнимого радиуса. Как было только что отмечено, эта пеев„лосфсра является двуполостпы л гиперболоидом. Обозначим половинку этой псевдосферы, выделенную условием зэ ) О, через йз(Й), и рассмотрим на Л )Л) геометрию, в которой прямые это пересечения й (Й) с плоскостями, проходящими через начало координат в 1х'.), а движения преобразования Лз(Л), индупированные преобразованиями пространства 19;, сохраняющими пгевдоскалярное произведение и пергводяз щнми йз(Й) в себя.
Поверхность йз(»?) называется плоскостьло»?обочееского, а определенная на ней геометрия г»и.яслярией Либочевскоео или гиперболической геометрией. Оказывается, построенная геометрия удовлетворяет всем аксиомам евклидовой геометрии, кроме аксиомы параллельности. Провери» последнее. Лействнтельно, пусть? прямая в Й-(»!), порожденная плоскостью Е, и Р Е А~(Л) произвольная точка, нс лежащая на».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
