TERM1 (1117971), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для етого вычислим мнимую часть такого преооразовация. Имеем ав+ 6 г /сгс~1и~~+ Ъл!+ ал!в+ Ъсйлг гай — Ъс!1шв 1гпх = !ш ) = !ш ~ х з з св+ й) св+ йр ) св+ йр позто яу если для любого в, такого гто !ш иг > О, выполняется !ш я > О,. то гг а 6 г величина ай — Ъс, равная определителю матрипы, положительна. й): Верно, очевидно, и обратное. Таким образом, мы доказали следующие результат. ав+ 6 Теорома 9.2 Вещшьвевлное л!рлглггго-.лггглейггое а!кеобразааанае .: = св+ й г' а Ь лг гохраняет верхнюю аалуаласкасть если и тольао если .иатрт1а этоео преобразования ижееш аолоаиатг.„льный определитель. Замечание.
В теории функций комплексного переьлснного будет доказано, что любое дробно-линейное преобразование, сохраняющее верхнюю полуплогкость, может быть представлено в виде вещественного преобразования. для которого соответствуюгпая матрица имеет положительный определитель. ав+ 6 Далее, пусть = = вещественное щгеобразование с положисиг+ с! тельным определителем гх. /!е ля числитель и знаменатель на ч'гл, мы не гг 6 лг изменим наше гг!геоб!галгоггаггиге, однако превратим матргщу ~ ) в мас трппу с единичным определителем. я!ножсство вещественных 2 х 2-матриц с единичным определителем образует, очевидно, группу, которая называется специальной линейной еруггаой и обозначается через Н! (2г,<1. Геометрия гроба ювгкого.
Предложение 9л8 1баждос агицесп>»сино» дробно-линейное прсобразоаание, сохраняющее ьерхнюю полуплоскость, можно п1>»дота»ать маа)1н>цен а 6) из 81,)2, ))>)). Обратно, каждое дробно-.тасино» преобразоьание аи>+6 )с а 6 >> аида х =, где ( ) матрица оз ВЕ>)2,Щ, сохраняет ьсрхнюю тб+д' с д полуп,аоскогть Покажем, что дробно-линейны» преобразования х = "-»'хс, соответствуса -)-З ' к>щие матрицам из 81,)2,)Р), сохраняют метрику Лобачевского, т.е. являются движениями. Действительно, ,йЫ а с ь > »аы й +~>С .
4дх г!х — ) я аш+ь аа1» 1 са.~-е сх-ЬЗ) 1)ая — сь) ал — се ае — сЬ 4 ( „.,), „з)с дю ди> )ах-)-Ь))си -)-З) — )сх-)-З))ак) Ь) ) >ск-)-З) >са-)-З) )аг — Ьс))к — а) ) )ю >у) ( ) си -)- З) а что и требовалось. 1аким образом, мы приходим к следующему результату. Предложение 9.9 Вещественные дробно-лттйнь>е преобрг>эо»алия, сохра- ня>о>ци» а»рхнюю полуплоскоспи, являю>пся даижг>а>я.ни плоскости,'!оба- ч»ась>ого.
Даче»> легко видеть, что вещественные дробно-линейные преобразования, сохранякппие верхшою полуплоскость, образуя>т группу. Из общих результатов, касающихся дробно-линейных отображений, немедленно вытекает следующее предложение. Предложение 9.10 Отображение б, стаотцее а сооп>аетстоие каждой >»а 6') а>б+ 6 ма>прице ~ ) из ВЬ)2>Ь) дробно-лонгино» прсобразооанис х = с с)) с>б + д яеляеп>ся оол>о.нору»>омал> гру>т. Выше мы уже показали, что каждому вещественному,дробно-линейному преобразованию соответствует некоторая матрица из с)Ь) 2, ь), поэтому гомоморфизм н явля»тся отображепи»м на (его образ совпадает со всем веш»- ствснными дробно-линейными преобразованиями, сохраняющими верхнюю полуплоскость). Найдем теперь ядро гомоморфизма б.
Предложение 9.11 Ядро го.номеру>и>з.иа б согтоит из едиштной .>ттрицы Е и минус единичной',,>ихтрицы — Е. уиким образом, ядро гомо,кор)риала н и»о.,нора)но группе >2 >. 126 Гсомстрия Лобачевского. /а Ьч! Доказательство. Действительно, нам надо описать вес матрицы )ч с из ВЕ(2, гс), которые переходят в тождественно дробно-линейное отображение, т.е. для них выполняется аз+ Ь ...2 или аг+ Ь = сг + дл. ел+ д Так как данное равенство,лолжно выполняться для любого г, !т г ) О, то с = Ь = О, и а = д.
Вспоминая, что определитель матрьщ из о!,(2.!Р) равен 1,получаем условие а = 1, что и требовалось. Итак, доказана слг,дуеощая теорема. Теорема 9.3 Подгруппа группы двилссний плоскооти Лобачевского, составленная из всел вещественныл дробно-линейнььг преобразований, нзо- морФна ВЬ~2, й)/(Е, .— Е). Замечаниев Чтобы получить полную группу движений плоскости „!обачевского в модели всрхнсй полуплоскости, надо добавить сщс композиции опиганных только что вспюствснных дрооно-лингйных преобразований с преобразованием гьь — .. 'Упражнение 9.1 Докааките, ппо дробно-линейные прсобразованищ сос1~анлющие единичный круг, являются двизкениями метрики Лобачевского Iа Ь'1 в модели Пуанкаре.
Проьерьте, что матрицы 1 ) такал преобрад .зова~ий удовлеигворлит гледувщим условиям: !аз — И'=1, Ь' — И'"= — 1, аЬ вЂ” д=о, и, посто,яу, записываются о виде. Пруста татп матрт1 обозначаетсл через ч1:(1, 1). Другое удобное представление дробно-.линейныл преобразований, сотранятщих сдини:шый крус: гь-ье'г, |рЕ а, ~гв (1. 1 — гс- Чтобы полу ~ить полную грутку двилсений плоскости Лобачевского, необеодимо добавить сопрязкение ь-ь г.
геометрия л?оба левского. 127 9.6 Расстояния между точками и треугольники на пзоскости Лобачевского В;Ганнам разделе мы приведем несколько фактов, иллллострвруюпшх метрические соотношения на плоскости „Гобачевского. я!ноглле из них приводятся в виде упражнений. Упражнение 9.2 Росс.натрия,иодель Пуанкаре лиоскоспли Лобачл.вского ?зГ11), лл пусть О центр кру а ?ззГ?1). Дна метГльл круга ?зГ?1), по опредеяению, ябляютсм пряяыяи в геометрии,?обачеьского. Показать, что длина 1с прамолинейного отрезка ОА в метрике 1!оба левского раны> 1.
= 2К 11л —, 1ь В' где 1ь = ~(1А свкяидооо длина оплрезка ОА. Упражнение 9.3 Показать, тпо длина окрузкности с центролл е алочке О и радиуса р на плоскостлл Лобачевского ВлГ?() ровна 2к?(е1пГлГр(л?1). Упражнение 9.4 !'оссяотрия модель верхней по,луп лоскосппл. Пусть Рл и Рз точки на верхней полуп.лоскостгй ияеюилие по,амрные координаты !ге,'р,), л = 1,2.
Через Рл и 1лз проходтп, очевидно, единственном прямая на плоскости л?обочсвского, коплорам соьпвдаелп с координагслной линией г = ге полмрпьлт координат. Показать, что длина отрезка РлРл прмяол1 на п.лоскослпи Лобачевского .иоэи*слп бьлпль бычисясна плслкг ! Рл Рз!ь — 1ой 'л,!апГлрл лл2) ?' УпРажнлзнне 9.5 ПУсть Рл и Рл лпочки на веухней полйплоскоспт, лезкалцил. на одной вертикальной ллряяой, и пусть Гхл, у;) их декартовы коордчнагпы.
Показать, тш дтта отрезка Р;Рз прямой на и лоскостлл Лобачевского .момсепл быпль вычислена лпакг РлРз ь = ГоК( — 'У ) . Ул зпражненне 9.6 Вычислить длину олпрезка прямой на и юскоеили „?обачсоскогт соедллнмютсго любые две точки Рл и Рл верхней по,яуплоскости. Соотношения меж чу элементами трсутольника па плоскости Лобачевского в пелом аналогичны соотношениям между элементами треул ольника на евклидовой плоскости, хотя вид конкретных формул довольно сильно отличается. йГьл докажем здесь несколько характерных утверждений, и приведем ряд зал1ач, позволяющих получить более полное представление о геометрии Лобачевского.
Всюду ниже длину единственного отрезка прямой па плоскости,!1оба левского, соединяющего две фиксированных точки А 128 Геометрия и!оба ганского. и Л, вычисленную в метрике Лобачевского, будем обозначать через АЛ~г,. Отметим также, что при доказательстве разных утверждений удобно пользоваться разпьгми моделями геометрии,."1оба |овского. Предложение 9.12 (Неравенство троугольника) Лусгпь АЛС произаольаьт агрсувольнак на плоскости ууобачсаского.
Тогда илсст лестно следу>а>цсе нсрааснстьо> ~ АВ ь+ ВС ь > ~АС~ь. Доказательство. Удобнее всего нам будет доказать это неравенство непосРсдственно на псевлосфеРс Л> РадиУса !Л в <зг ПРЯмым на плоскости 1обачевского, напомним, соответствуют плоские сечения половинки псевдосферы Лз(з' > О) плоскостями, проходящими через нуль. Пусть А и В произвольныс точки на этой половине пссвдосферы, и обозначим чеРез сл и ев соответствУкнцие вектоРы в Р'~. РассмотРим плоскостгь Плв, проходящую через нуль и точки А и В. Поскольку пссвдоскалярный квадрат векторов ел и св равен — Л, псев- з доскалярное произведение, нндуциро~>аннов на Плв из А> индефинитно и невырождсно, поэтому Пив это 21.
Ясно, что на Плв, как и на любой плоскости Минковского, можно сделать такую линейную замену координат, сохраняющую пссвлоскалнрнос г>1>оизвсденис, что в новых координатах, которые мы ооозначим через (и, у), пссвдоскалярнос произведение запишется в виде — с!из + ду". Пересечение плоскости Плв с псевдосферой чисто мнимого радиуса !Л это пссвдоокружность тог о жс радиуса !Л, которая в координатах !и, у) имеет вид — л + у- = — Л . з з Пусть вектор ел имеет в координатах 1л, у) координаты (лл.
ул), а вектор св !ив, ув). Вычислим длину дуги гиперболы между то гками А и Л. Для этого параметризуем гиперболу в виде л(1) = Л соьЬ г, у(>с) = Лв1пЬ г, положим лл = ЛсояЬ гл, ул = ЛяшЬ > л, и лг> = ЛсовЬ лв, ун = ЛяшЬ х», и пусть Хв > гл. Имеем: гх АЛ)г = / — Л"-(Я1п 1)з+ Лз(соЯЬ г)з д> х, = Л(Хв — ул) = Л(агссоаЦив(Л) — агссояЬ(лл/Л)) Теперь, воспользовавшись гем, что сояЬ1а — 3) = соьЬ а сояЬ 3 — вшЬ о яшЬ,З, .рб ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
