TERM1 (1117971), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Опредеяопие. Множество Л, на котором фиксирована топология т называется таналагичсскиж арастрангтьаж и обозначается через (Х, т). Впрочем, мы часто для краткости будем обозначать топологическое пространство (Х,т) просто через Х. Множества из т называются аткрытььяи ь Х. Пример. Пусть Х произвольное множество. Семейство т, состоящее из всех подмножеств множества Х, очевидно, является топологией. Эта тополоь ия называется дискретной.

Пример. Из предлозкения 10.2 немедленно следует, что каждое метрическое прострщтство 1Х, р) вместе с семейством тр своих открыттзх 1отпосительно метрики р) множеств порождает топологическое пространство (Х, тр). Топология т называется метрической топологией. Метрическан топология па пространстве С~[а, ь], 0 ( й (:хз, порож,ленная метрикой рл, называется С"-и!апалагиеиэ Ъгпражпепие 10.3 Всякая ли топология мьлмепьсм иегарическай'.~ Ъгпражпопие 10.4 Сколько различнььг ианалаеий .назкно ьььсщи на .нна- зкгстьь Х, састамщеж из дьуя змснснл~аьй Две топологии тз и тз на множестве Х называются сагмасааанны,яи или экьиьалгнтанм.ни, если каждое подмножество П Е т~ содерькится в некотором подмножестве 1 Е тз, и наоборот, кажлый элемент топо.югии т„ содержится в некотором элементе нэ т~ как подмножество.

Элементы общей топологии. Упражнение 10.5 Показать чтв .иетрические топологии на пространсчпвв ч", порожденные .нстрикали ры р и р (см. определения ьыше) эквивалентны. Примор. Пусть У произвольное цепустое подьшожество чопологического пространства Х с топологией т. Положим ту = (П О У ~ П б т). Ясно, что ту является топологией. 'Гопологичсское пространство (У, ту) наливается подпространсгпвом в (Х, т), а ьопология ту индрп1ированноб т,апологией.

Пример. Пусть (Х, т! топологическое пространство. и р: Х ь йХ нскоторос отображение Х на множество ЛХ. Положим т, = (П С ЛХ р '(!Х) Е т). Несложно показать, тго т. за,1ает на йр топологию. Говорят, что тополоь ия т,. порождена отображением р. Пример. Если (Х, тл) и (У, ту) топологичсскис пространства, причем Х и У не имеют ооших точек. Множество Л О У с топологией т = тл- О ту называется несьяэноа суннои пьопвлвгичьския пространств Х и У. Пример. Рассмотрим два топологических пространства (Х, тх) и (У, т1 ).

Образуе л новое топологпчсскос пространство Х х У. Множество Х х У зто множество всевозможных упорядоченных пар (т, у), которос называе гся, напомним, дскартовыл проиэвсдениел „нножвств Л" и У. Множество П С Х х У назовем открытым если и только если оно представимо в впдс обьсдинсния некоторого семейства множеств вида П х У, где ХХ Е ти, а У е ту. Легко проверить, что определенное нами семейство открытых множеств удовлетворяет аксиомам топалов ин. Построенная топология обозначается через тх х ту и называется топологиеб пря.мого произведения.

'Упражнение 10.6 Эквивалентна ли поапроеннал выьис топология на йп ьпопологии прллого произведения и экземпляров Упражненио 10.7 Пусть (Хы р1) и (Лз, рз) „нвтричетие пространства. ХХоспьроим по нил соответствующие топологичьскиев и расснотрил топологическюе пространство Х~ х Хз. Показать, что на мноэкествв Х1 х Хз,кожно ввести такую мепьрику р, чпьи соотвспн тьующая .метрическая топология будет экввва,шнтнв топологии пря.ного произведения. Пример.

Пусть Л топологическое пространство с топологией т, па котором задано некоторое отношение эквивалентности . Обозначим через ХХ множество классов эквивалентности, и пусть л: Х ч Х!' стандартная проекция. Тогда топология т па ХХ, порожденная проекцией к, называется фактор-топологией, .а само пространство (ХХ, тя) факторпроспьранспьво.,я. В частности, если задано отображение р: Х вЂ” ь ЛХ топало| ического пространства на множество ЛХ, то можно определить отношение 140 ;Элементы общей топологии. эквивалентности на Х, положив я1 лз если и только если:р[л1) = ьа[лз).

В этом случае Х/ естественно отождествляется с ЯХ, а фактор-тополоь ия на Х/ с топологией, порожденной на М отображением ьь. Примор. Пусть ХГЭУ несвязная сумма топологических пространств Х и У, и предположим что фиксированы точка ле в Х и точка уе в У. Зададим па множестве Х 1Э У отношение эквивалентности, положив яь уь. '1огда фактор пространство Х,~ называется связной су„втой или бухетож пространств Х и У по точке ле Е Х и уе Е У.;Это пронгрансгво обозначшот через [Л, ле) у [1; уе) или просто Х Ч У.

Пример. Пусть У полпространство топологического пространства Л'. Зададим на Х отношение эквивалентности, положив зь лз если и только если и, Е У. Говорят, что фактор-пространство Х/ получено из Л' факторизацией по множеству У. Ото прост!эанство часто обозначают через Х/У. Например, если Пь стандартный замкнутый диск в й", а Ьь ограничивающая диск Вт сфера, то 1)")1Э!Эь стандартная н-мернвя сфера,5'".

Пример. Пусть К = [ — 1,!] х [ — 1, 1] квадрат. Отождествляя граничные точки разными способами, получим хорошо известные пространства. ° Отождествим точки видо [ — 1,1) и (1,1). Получим цилиндр. ° Отоэкдествим точки вида [ — 1,1) и (1, — 1).

Пол!чиха лист Ъ!сбиуса. ° Отождествпм точки вида [ — 1, 1) и [1, 1), а также точки вида [в, — Ц и [в, 1). Получим тор. ь Отожлествим точки вида [ — 1,1) и [1,1), а также то оси вида [в, — 1) и [ — в, 1). Получиъь бутылку Клсйньь ° Отождествим точки вида [ — 1, 1) и [1, — 1), а также точки вида [в, — 1) и [ — в,1).

Получим проекгивную плоскость. Папомним, что проективная плоскость определяется как множество всех прямых в ~, проходящих через О. '!ак как каждая такая прямая пересекает стандартную сферу э ровно в двух точках вида и и — л, проективную плоскость можно рассматривать как фактор-пространство, полученное из сферы о отождествлением точек и и — л. Последнее эквивалентно фактор-пространству, полученному из замкнутой полусферы отождествленном диаметрально противоположных точек экватора. Осталось применить естественный гомеоморфизм квадрата К на замкнутую полусферу, переводящий симметри шые относительно начала координат точки н симметричные. Подмножество Л топологического пространства (Х, г) называется залькнуньыя относительно яьинологии г, если дополнение до него открыто. Очевидно, что замкнутые множества обладают следующими свойствами: Элементы общей топологии. 1) Само пространство Х и пустое множество замкнуты в Х.

2) Ооъедннение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто в Х. 3) Пересечение лк>бого семейства замкнутых множеств замкнуто в Х. У!сне, что для задания топологии па множестве Х достаточно фиксировать произвольное семейство подмножеств, обладающее свойствами 1 3 замкнутых множеств, и назвать зти фиксированные множества замкнутыми. В топологических пространствах можно воспроизвести многие важные понятия, определенные выше для метрических пространств.

Окрестностью точки г. в топологнческом пространстве 1Х, г) называется произвольное открытое подмножество П содержашее л. Точка а множества А С Х называется внутренней, если существует такая окрестность У(а) точки а, что Г(а) С Л. Множество всех внутренних точек множества А называется внргпрснносяьью .хнажесльва л1 и обозначается через пь1 1.

Очевидно, 1пь Л С Л. Далее, гочка я топологнческоьо врос гранства Х называется точкой прикосновения .ннааксстьа Л, где Л С Х, если каждая окрестность 1чк) точки Х пересекается с Л. Мпоэксство всех точек прикосновения множества х1 называется залхыканисж .инолсссьпва А и обозначается через:1. Очевидн(э, Л С А. 3"пражнение 10л8 Проверить следующие свойспьва операций взятия вну- тренности и замыкания: ° ПУсть Ль С Лз. Тогда ш1У1ь С 1п1Л, и х1~ С Лз. ° Для произвольного поджнаакеспьва А топалагическага пространства и.нве„н: 1пг(1пь Л) = ш1 Л, и Л = Л. 1йак и в случае метрических пространств, опсрапии взятия внутренности и замыкания оказывшотся тесно связаншлми с понятпямп замкнуто~ о и открытого множества.

Предложенио 10.4 Пуспьь 1Х, т) топологическое прастрат:тво. Мноэкгслвво А С Х является апькрытыкт если и иьалька если шьЛ = А. 34назкество Л С Х является за нкнутььц если и толька если Л = А. Доказательство. Действительно, каждое открытое множество само является окрестностью каждой своей точки, поэтому совпадает со своей внутренностью. С другой стороны, если каждая точка множества Л является внутренней, то для каждой точки а Е А существует открытое множество 111а) С Л. Возьмем объединение сг = О,елЬ'(а).

По определению, 11 Элементы общей топологии. открыто. Кроме того, так как каждое !1(а) С А, само множество Г содержится в А. С другой стороны, А С Г, так как каждая точка а Е П(а). Поэтому П = Л, и, в частности, Л открыто. Далее, множество А замкнуто, если и только если Х 1, А открыло, т.е. каждая точка из Х ~Л обладает окрестностью, не пересекающейся с у1, что равносильно включению А С А, т.е, А = А. Доказательство закончено. Следствие 10.2 Пусть Л произвольное подмножество топологического пространства (Л,р).

Тогда внутренность 1п!А .яножвства А открыта, а замыкание Л множества Л золкнупьо. Подмножество Л тополоьичсского пространства Х называется всюду плотныл в Х, если Л = Х. а'пряжнение 10.9 Показа~ив, что если Аь и Лз два открытых осюду пяогььных .инозяхсьпоа ь оьопояоги носко н просгььранствс Х, пьо их псрсссчвьще А = Аь О Аз тоже открыто и всюду плотно в Х. 10.2 Непрерывные отображения Кзк мы уже упоминали выше, топологические пространства это объекты, введенные в рассмотрение для того, чтобы определить непрерывныс отображения в самом общем случае.

Определение. Отображение (': Х вЂ” у 1' топологического пространства (Х, тх) в тополопгзеское пространство (У, гг) называется непрерывным в точке хв Е Х, ееш длЯ любой окРестности 1г(У(хю)) Е тг точки ~(хс) сУ- ществует такая окреслгпосгь П(хо) Е тх точки хс, что з (П(хо)) С 1/(з (хо)). Отображение )' называется непрерывныя, если опо непрерывно н каждой точке х Е Х.

Пример. Пусть (Л, рх) и (1; рг) метрические пространства. Превратим их в топологичсскис пространства, наделив стандартными метрическими топологиями. '!'ог:!а определение непрерывности принимает следующий стандартный для метрических пространств вид. Отображение 1: Л вЂ” ь У метрических пространств называется нспрсрывным в точке хо, если для любого г > О существует такое б(г) ) О, что з'(Гз(х)) С Ъ;()'(х)), т.е. из рх(х, х') < б(г) вытекает, что рг()'(х), )'(х')) < г. Пример. Очень важный частный случай зто отображения топологического пространства Х в числа. Такие отображения называют функь!иямш спупкция у": Л вЂ” у ".Д называется непрерывной в точке х Е Х, если для любого =- ) О существует такая зависящая от г окрестность П(х) точки х в пространстве Х, что для любой точки х' из Г(х) имеет место неравенство ;Элементы общей топологии.

14;5 Упражнение 10.10 Пока затаи что прои зво.зьное отобразксние пространспьва Х с сЭискретноб топологиеб в любое топологическое пространанво и а цз ср ы б и о. Упражноние 10.11 Э!усть Е: Х вЂ” з 1' произвольное отображение топологичсского проапранапаа. Х б ггроспзрансгпво У, причем на У гггопология порождена отобралсс~те,.я Е. Показать, гто Е непрерывно. Упражнение 10.12 Пусть к: Х вЂ” + Хзг слпиндаршная.

проекция топологического просгпранства Х на некоторос его 5ракзпор пространство. Показать, что к непрерывно. Упражнение 10.13 Э!усть я: Х х У вЂ” ь Х стандартная проекция декаргпова прогктедсния на сомпожительг зг: (х, у) ь-з х. Покагзапзь, что отображение Х непрерывно. Упражнение 10.14 Показать, чгпо композиция двух.

Характеристики

Список файлов лекций