TERM1 (1117971), страница 32
Текст из файла (страница 32)
х ф А. Предложение доказано. Компактность пространства является топологпчсским инвариантом. А име>що, имеет место следующее предложение. Предложение. 10.15 Пусть 1: Х вЂ” ь У непрерывное. отображение ко.,нпактного пространства Х в произвольное пгополовичвг>кос пространство У. Тоеда образ !(Х) кожпакпьгн. ь У. Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольное открытое покрытие (Г ) множества у(Х). '!о> да система множеств (! '(Г )) образует, очевидно, открытое покрытие пространства Х, поэтому в ней можно вы;!слить конечное полпокрытие, образ которого и дагт искомое конечное покрытие для 2(Х). Доказательство закончено. Нспрерывныс функции на компактных пространствах обладают теми же свойствами, что и непрерывные функции на отрезке. Предложение 10.16 (Теорема Вейерштрасса Коши) Бспрерьтная функция на ко.япоктно.н, тополоеичегко.,н пространстве Х ограни ~гна, и принижает лак~ илальное и жинилальныг знаигтм. Доказательство.
В силу предложения 10.15 образ 2"(Л) функции ! компактен, а в силу предложения 10.14 замкнут. Если бы !'(Л) не бьи оы ограничен, то система открытых интервалов 5'„= ( — и, и) покрывала бы 2"(Л), но не содержала бы конечного подпокрытня, поэтому !(Х) ограничено. Далее, очевидно что точки впр ек 2(х) н 1пггвх )(х) являются точками прикосновения замкнутого множества Т(Л) и поэтому принадлежат Т(Х). Предло>кение доказано. 'Упражнение 10.33 Проверить г ьсдуыщис свойства. компактных прогтрангтв> ° если хаусдорфово простринство Х иргдгтивиио в видг.
конечного обьгдингнил своих козтактных подано>месть, то Х ко.япактно; сРункциопальная отдгтпмогть и рвзбисаяе гднницы ° декартово произведение компактных пространств компактно. В заключение настоящего раздела мы сформулируем несколько специфических свойств компактнелх истра веских пространств (отметим, что в общем случае зти свойства не имеют места). Упражнение 10.34 Пусть Х,яюпричсское пространство.
Покпзатгч ~пло следуюииле сьоиспта эквивалентньк ° пространство Х колншкплно.; ° всякая последовательность 1х ) олсжетпов из Х содсрнсит сходящуюся поднос лсдовотсяьность; ° всякая последовательность нспустых во яки утых под ниожсшпв Лп, таких что А„1 С Ап, ижеееп непуптое пересечение. 'Упражнение 10.35 Привести пример игтричггкоео прогтрангтва Х и за,яьнутоео оерани гениево некояпактного поднножества в не„я андруса„яи сяоси.чи, в общем случае теорема Борсля нс верни). Упражнение 10.36 Доказать, ипо льеснричетое компактное пространсспво ильвеса счсспнос всюду плоспное под яноэи*сство.
11 Ф>ункциональная отделимость и разбиение единицы В данно л разделе мы разовьем очень полезную для,цальнсйшгго технику, позволякнцую работать с непрерывными фунлсциями на топологических пространствах в целом. 11.1 Ф>ункциональная отделимость Два подмножества Л~ и Лл топологичсского пространства Х называются функционально отдела,иы„ии, если существует непрерывная функция л: Х вЂ” ь ~а, 6], а ( 6, такая что л']л, = а, и л']л, = 6.
Если два замкнутых множества Л~ и Лз функционально отделимы в Х, то они отделимы и в обычном смысле. действительно, достаточно взять число с Е 1а,6) и рассмотреть два открытых множества ~ ' Ца, с)) и ф ((с, 6]) . Эти множества, очевидно, не пересекаются, причем первое нз них содержит Аы а второе Ал. Оказывается для "хороших'' пространств имеет место и обратное. Предложслнио 11.1 (Лслмма Урысона) Пусть Х норлтльное топологическос пространство, и Лв и Лс даа его зожкнусцых нсг1срссекающихся поданоэкгства.
У'озда сущггтвугт непрерывная функция л": Х вЂ” ь ~0, 1], токая что Дль О, и л' л, 1, т.с. ллножссплва Ав и Лл функционально отде.лижы. 154 Функционлльнлл отдглпмость и разбиение единицы Доказательство. Предположим, тго мы построили такую систему открытых множеств Г„, занумерованных всеми двоично-рациональными [т.е.
вида р~2") числами г Е [О, Ц, что 1) множество Ае содержллтся в ! з, 2) замыкание Гл множества Гл содержится в Х Л, Ал, 3) множества !г'„последовательно вложены, т.е. если г < г', то Г„С Г.. '1'огда систему открытых множеств .[Г,) можно расширить, добавив множества Гл — — Ц.<лГ,., где ! произвольное вещественное число из [О, Ц. Система множеств (Гл) удовлетворяет свойству (3). Действительно, для любых чисел ! и Р из [О, Ц, где ! < !', найдутся рациональные числа г и г', такие что л < г < г' < Р. Тогда Г, с Г„, и Г„с Гл . Но тогда, очевидно.
!гл С Г„, а !., С Г„, откуда получаем, что Гл С Ул . Определим функцию !: Х л [О, Ц, положилз ![и) = апр(1 и ф Г,). Покажем, что функция л' непрерывна на Х. Фиксируем произвольную точку ие и число . > О, и положим 1е = )[ие). По определению функции ! имеем: лз ф Гь,,~г, и ла Е Гь,лчлг. Рассмотрим окрестность И = Гылчд '1 Гл„.,!г точки ло. Тогда, так как любая точка л из 1г принадлежит, очевидно, Гыл- лг и не принадлежит !'ы . лг, имеет место неравенство !з — е,л2 < )'(и) < 1е + г/2, т.е. ]г (из) — ) (и)] < е, что и доказывает непрерывность функции ['. Очевидно, наконец, что функция ) равна тождественно нулю на множестве Ае, и равна единице нз Аы Итак, для доказательства предложения осталось построить систему открытых множеств Г,, удовлетворяющую требованиям 1 3.
Б силу нормальности пространства Х, очевидно, для любого замкнутого множсства .1 и его окрестности Г найдется такая другая окрестность И ълллогксства А, что Л с 1Г с 1' с Г. Для краткости будем обозначать 1л с Г тот факт, что 1' С 1г С Г. Итак, Ае = Ае С Х л, Ал, поэтомУ сУшествУет откРытос множество Ге, такое что Аз С Гз С Х Л, Аы '1очно также, Гз замкнутое множество, содержащееся в открытом Х л, Аы поэтому найдется открытое множество Гл, такое что Га С Гл.
Предположим теперь, что для всех двоично-рациональных чисел вида г = р/2", где 0 < р < 2" Уже постРоены откРытые множества Г„, пРичем Г Д С !г1гЛ.~1лг . ТогДа так как 1,,лг замкнутое ълножсство, содержащееся в открытом множестве !О +лГ „, яайдется открытое млложесглзо !Ог л.,уз,.лы такое что Г„~г С Гг лэл~г л-1 С У1л,л.луг.. Таким образом, по индукции, мы постро- '1-Р или требуемое семейство множеств (Г,) для всех двоично-рациональных чисел г из отрезка [О, Ц. Предложение дока.зано. Из леммы Урысона вытекает следующее важное прелложепие о продолжении непрерывной функции, заданной па замкнутом по,лмножествс нормального топологичсского пространства. Функциональная отделимость и разбиение единицы Предложение 11.2 Пусть Л' нор.иальное топологическое пространство.
Г его произьольнос за.нкнутое подннолсхсянво, и 5; à — ~ 2. непрерывная функция на Е. '1'оеда функция ф продолзкастся до непрсрьтной фунт!ии д: Х вЂ” > "й', где д]Е = 5'. Если при этан функция 1" ограничена некоторой константой с, т.е. ]ф[х) < с, то и функция д яозкет быть выбрана ограниченной тои зке константой с. Доказательство.
Предположим сначала, что функпия ! ограничена: сушествует константа с, такая что 1[я)] < с, Положим ~рс[х) = 1[я), и рассмотрим два замкнутых по,дмножества Ло и Ве множества Е, положив Ав = (х ] 5ое[х) < — с/3), и Вв = (х ] 5оо[х) > с/3). 1!ножсства Лв и Вв, очевидно, не пересекаются и замкнуты в Х [так как Е замкнуто), позтому в силу предложения 11.1 существует непрерывная функция 1с: Х вЂ” ь [ — с/3, с1'3], такая что 1с л, — с/3, а фс л, с!'3. В частности, ]Ус[я)] < с/3 для всех х Е Х, и ]рс[х) — Ус[х) < 2с/3.
Определим на Г новую функцию р~[х) = рв[х) — )е[х). Ота непрерывная функция ограничена на Е константой 2с13. Поэтому, повторяя конструкцию предыдущего абзаца, .можно построить два непересекающихся замкнятых множества х1~ = (х ] 5о~[х) < — 2с/9), и В~ = (х ] 5о~[х) > 2с19~1, и непрерывную фупкцшо ~~ .
Л" — ь [ — 2с,19, 2с/9], так!по что 5~ л, — 2с/9 и 5ь]н, 2с/9. В знатности, 5ь[х)] < 2с/9, и ]5о~[х) — 5ь[х)] < Ас/9. Повторяя этот пропесс бесконечное число раз, мы построим лве последовательности функций 1„: Х ь .с~ и р„: à — ~ Р~, такие что рожь [х) = рь[:с) — 1 [х), и выполнены оценки 5'„[:с) < [2/3)" [с,13), ]х„лл [х)] < [2,13)пв 'с. Далее, при всех х из Р имеем: У[х) = рс[х) = фс[х) + рь[х) = " = фа[х) + Л [х) + + 1 [х) + р лл [х) РЯд 2 „ь уп [х) сходитсЯ РавномеРно на всем пРостРанстве Х, так как ~„,[х)] < [213)" [с13).
Позтому, в силу предложения !0.6, функция д[х) = , 1п[Х) Пснрсрннна На ВСЕМ Л. Даясс, таК КаК ]Ссо Ь~ [Г)] < [21'5)п~'С, функция д[х) совпадает с ![х) на всем множестве В. Наконец, д[х)] < С уь[:)] < ИЗ) С [213) = с, о=1 о=1 что и завершает доказательство предлолссния для случая ограниченной функции. Функциональная отдглпмость и разбиение гдпницы Пусть теперь функция Г неограничсна. Рассмотрим гомсолаорфизм 6: 'а' — ь ( — 1, 1).
'1огда композиция й о Г это непрерывная ограниченная функция на пространстве Х, и лля нсс, как мы уже доказали, существует продолжение у: Х вЂ” л ~ — 1, 1). Значения ж! функция д принимает на некотором замкнутом множестве Гы причем, очевидно, ГЗ нс пересекается с Г. По предложению 11.1, существует непрерывная функция ьь. Х вЂ” ь ~0, 1], равная нулю на множестве !гь и единице на Гг. '1огда функция и(я) = у(я)д(я) совпадает с функцией 6 с з' на множестве Г и псрсводит все пространство Х в открытый интервал ( — 1,1). Положим, наконец, ш(я) = й л с и(я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
