TERM1 (1117971), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Далее, непрерывное отооражение у: [а, 6] — 5 ЛХ называется кусочно- гладкой криеоид если существует конечное разбиение и = ио < а, « ая = 6 отрезка [а, 6], такое что ограничение ур кривои у на каждый отрезок [и„ы ав], р = 1,..., А", является гладкой кривой. Напомним, что на классе топологнческих пространств мы определили отношение зквивалснтности с помощью понятия гомеоморфизма. Однако, очевидно, гомсоморфизмы нс сохраняют структуру ~падкого многообразил [хотя карта по-прежнему переходит в карту, гладкость функций перехода разрушается).
Г1озтому требуется усилить определение гомеоморфизма так, чтобы гладкая структура сохранялась. Опродшяонио. Пусть 1 гомеоморфизм гладкого многообразия ЛХ в гладкое многообразие 11Е Если отображение Г является гладким, и, более того, обратное отображение Р ' так жс является гладким, то отображение Р называется ди555феояорфиэ.яоя.. Если существует диффеоморфизм ЛГ в Х, то говорят, что многообразия М и Я дид5фсо.но!а)5ньь ЛХногообразия Понятие лиффсоморфизма играет для класса гладких многообразий ту же роль, что и понятие гомеоморфизма на классе топологических пространств. А именно, очевидно, отношение диффсоморфности является отношением эквивалентности на классе гладких многообразий, и мы, обычно, не будем различать диффеоморфныс гиногообразия.
Свойства многообразий, сохраняющиеся при диффгоморфизмах называются дифферензнлальны,ии инвариантами. '!акис своиства являются важными характеристиками многообразий. Одним из таких инвариантов, как мы вскоре увидим. является размерность многообразия. огпражненне 12.9 Показать, ито гладкие многообразия х (х) с картой ! 4 . уо!х) = х) и й (у) с картой (.зй,,о~у) = у' ) диффсоморфньь Замечание. Оказывается, в размерности и = 4, и только в ней, на 'с!и сущее гвукзт гладкости, не диффеоморфные стандартной гладкости па !Р".
",Упражнение 12.10 Показсппь, апо любос нскоипактнле связное одномерное многообразие диффеоморфно К', а любое компакпяое связное одномерное многообразие. диффсо.иорфно окружности Я . Теорема 12.1 Если гладкие .иногообразил М и зз' диффеоморфны. то пх !заэмерносат совпадакзт. Доказательство. !!усть Г: й! — у У диффеоморфизм. Обозна |изл через т н п размерности многообразий М и Лс соответственно. Фиксируем произвольную точку Р на многообразии М, обозначим через бь! се образ при отображении Г и рассмотрим координатные представления отображений Г и Г ' в локальных координатах (хз,..., х™) в окрестности точки Р нп л!4 и в локальпгхх координатах (у,..., у" ) в окрестногти точки бь! на !У. Отн координатные представления суть вектор функции Ь',,у") =Г( ',, т), (', " хп') =Г '!у' ";уп) причем зти функции взаимно обратны: Г(Г '(зд',...,уи)) = (у',...,у"), Г "(Г(х',.... хи)) = (х',....
хи). Обозначим через йГ)Р) и йГ ~(ь!) матрицы Якоби координатных представлений отображений Г и Г ' в точках Р и ьй соответственно.~ !!апомним стандартную теорему о дифференцировании сложной функции. Здесь мы, избегая громоздких формул, лопускием опреяелсннуго вольность, отождествляя озоервло ние с его кооряинлтным предо ю ~влениезн л го ьку ьппзг~зоярнзия с ее образом при координатном гомсоморфизме. Формально следует писать йр(и(Р!) .
!67 ЛЕногообразия Лемма 12.1 Пусть Езы |' = 1,2,3 облапиь е ееюяидосои простронстее .'спч 111зедпололси.н, что зодоны г,|адкие опьобразкен||я Е': !1| — з Пз и С': Пз — ь Пз, и Е1 = С о Г ко.ипозиция о|иобризксний Г и С. Тоедо, если Р точка |и П|, то для .матриц Якоби еиполнено следу|он|се соо|ино|иснис: йЕ1(Р) = дС(Р(Р)) дГ(Р). Применим жгу теорему к композициям Г о Г и Г о Г. Получим Е = дР '(бЕ) дГ(Р), Е„= |1Г(Р) Г '(~~), где Еь единичная матрица размера й х к, так как матрица Якоби тождественного отображения это с;рпп|чная матрица.
Поскольку матрицы дР(Р) и дГ (сЕ) прямоугол|,ные размера и, х т и т х и соответственно, имеем гап!с ЯР(Р) < ппп(т, и) и гап!с дГ (бд) < пз!н(|п, и). Попомним, по ранг произведения матрип пе превосходит раш а каждого из сомножителей. Получаем: |п < шш(т, п) и и < ппп(|п, и), поэтому |пах(т, и) < ппи(|п, и), т.е. т = и, что и треоовалось. Замечание. Отметиы, что аналогичный результат для гомеоморфных топологических многообразий весьма нетривиален, и находится ионному за рамками настоящего курса.
Замечание. Пусть Х топологичсскос пространство, М гладкое многообразие и 1з гомеоморфнзм из Х в ЛЕ. Тог,|а па Х можно ввести структуру гладкого мно| ообразия так, чтобы отображенце Г стало диффсоморфнзмом. Действительно, для этого достаточно построить атлас на Х так. Для на>клей карты (!Е, р) на ЛЕ рассмотрим карту (Р (П), |р о Р). Очевидно, .что полученный в результате атлас задает на Х гладкую структуру, которая называется перенесенной на Х с М с помощью отобразксния 1". 12.7 Задание многообразий уравнениями — геометри- ческий смысл теоремы о неявной функции Один из наиболее часто встречающихся в приложениях объектов зто подмножество евклидового пространства й", заданное системой уравнений.
Оказывается, если система уравнении "хорошая'. т.е. удовлетворяет естественным о| раничсниям, то тзкис подмножества являются гладкими многообразиями. А именно, пуси ь задана снстеыа уравнений Е'(к,..., и") = с', Л!ножен гво решений М, этой системы уравнений удобно представлять ссбс как множество уровня одной векторзначной функпии Р(з,..., лп) = (Е,..., Е ): ЛЕ, = ((и|,..., я') ~ Р(я|,..., я") = с), 168 Многообразия где с = (с,..., с ) постоянный вектор.
Имеет место слсдуюший рсзультач . Теорема 12.2 Ксяи .,иптриип Якоби отображения Г илсгт, в каждой точке .нножсапво уровня Мс лпксилояьный рона ровный !П то Мь явяястся гяодкил лногообрвзисл розлсрношпи и — 1ч При эпьол в окрсстносппях каждой то ти из ЛХс в кп тствг локояьньи: координат ложно выбрать нсготорыс и — й дскортовых координот объгнлюи1ссо пространство .'я,'"'. Доказательство.
Пуссь Р произвольная точка из Мс. По условикц рань матрицы Якоби дР(Р) отображения Х в точке Р равен й. Это означаст, что имсстся набор из Л. столбцов матрицы Якоби, такой что определитель соотвстствующсго й к й минора матрицы ЙГ(Р) отличен от нуля. Бсз ограничения общности предположим, что зто столбцы с номерами 1,..., в. Обозначим через Р образ точки Р при стандартной проскпии на координатную плоскость !!и™, определенную соотношениями хь = = хя = О. Тогда.
по тсорсмс о нсявной функции, известной из математического анализа, в некоторой окрсстпости И' точки Р в координатнои плоскости 1йп существуют ыпадкис функции х'(х ~',..., х"), ! = 1,..., в, разрсшаюшис нашу систсму уравнсний Р(х,..., х") = с, тю. ~~, ь~-1 и) хя~хя-~-~ ,и) хявл ,и) для всех (х" Ь~,...,х") из И'. Обозначим через П окрестность точки Р в Мс, прогктирующуюся на И'.
В качестве карты в окрсстности точки Р на ЛХ, восьмом пару (!1, и), где к стандартная проекция на координатную плоскость й" ь'. Обратное отображение г ' задается сак: -ь!хя+з хп) ~, ~~ля+~ сп) ля~вью~ х ), ь+ь По построению, ллп каждой точки (хь~~,...,х") из И' С :й" " точка к (х~+~,...,хп) попадает на множество уровня ЛХ,. Отображения и и к ', очевидно, непрерывны н взаимно обратны. Итак, для каждой точки Р Е ЛХс мы построили карту.
Том самым, доказано, что ЛХс тополоьичсскос многообразие размсрности п, — Ро Осталось проверить глапкость многообразия Мс Предположим, что точка Р содержится как в построенной выше карте (!Х, .и), так и в другой карте (!Р, к'). Напомним, что во всех картах в качестве локальных координат выступают нскоторыс и — й декартовых координат обьсмлющсго ЛХногообразия 169 пространства.
В картс (К к)локальные координаты это (хят',...,хл), а в карте (1у,к') (х",..., х'"-"). !огда функции перехода выглядрп так: з "(хя+р,..., х"), если гр < я ы ~ ~ ~ ~ ~ ~ л | ~ ~ о ~ ~ ~ рр х г если гр ) я. 11о, по построению, функции х'", р = 1,..., /с, являются гладкими, что и доказывает гладкость многоооразия М,. гспражнение 12.11 Доказщпсльство теоремы 1ьь.2, приведенное выше, содержит пробоя.
Псгидарле и устраните его. Следующие два утверждения являются важными частными случаями теоремы 12.2. Следствие 12.1 Пуси~в Е гладкая функция на Р". Раь смотрим множсстао уровня Мь = ((х,..., хч) Е(х,..., хч) = с) функцли 1. Коли дифференциал сЦ отличен от нуля во всех точках множества М, то М, являерпся многообуазисм размсрноспри и — 1. Слодствио 12.2 Регулярные поверхности в свклпдоьом пространстве, изу- чснньщ но.чи в классическо.и случае, яоляюгпся гладкими многообразия.чи. Пример. Сфера Я", задщшая в а" ~' уравнением 2 „(хл) = 1, является гладким многообразием, так как дифференциал уравнения обрщпается и ну.п, только в начале координат, которое пе принадлежит сфере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
