TERM1 (1117971), страница 38
Текст из файла (страница 38)
длл доказательсчва единственности вектора р, достаточно заметить, что осли таких вектора два, то их разность Ь тоже касательный вектор, причем а(1) = О длл любой функпии 1. Но отсюда вытекает, что ьт = О, т.е. наши векторы одинаковы. 1! род лежание доказан ь 179 Кагатг.тьносе пространгтво к многообрлзиго. Х с произвольным множеством вида ТН открььт в йсз". !аким образом, мы ввели на Т(Л|) топологию. Более того, по определению топологии на Т(ЛХ), если (На) атлас в М, то 1771а, Фа) атлас на 71ЛХ), т.е.
71ЛХ) топологическое многообразие размерности 2п. Осталош проверить, что на самом деле Т)ЛХ) гладкое многообразие. 7)ля этого возьмем люоые две карты Н = 1ТН, Ф) и 1: = 17'11, Ф) пя 7'1ЛХ), такие что Н О 11' нс пусто (только такие карты из построенного атласа пересекаются). Обозначиъс соответствующие локальные координаты через (л,...,:е", и',..., ип) и 12',..., .й", й',..., 6"). !огда функция перехода между этими двумя картами устроена так: й (л,...ьио), 1=1,...,п; и 7 с.
(л,..., ип)иг, Л = 1,..., п. для я=с Очевидно, эти функции гладкие. Таким образом, многообразие 71М) является гладким. Отметим, что термин "расслоение" не являгтгя случайным. Ф!ногообразие !'!М) расслоено на одинаковые подмножества с„юи. В данном случае это прообразы точек л Е ЛХ при проекции к, построенной выше. Каждый такой прообраз к '(к) совпадает с касательным пространством '1',М, т.е. изоморфен линейному пространству с". Касательные расслоения естественно возникают при описании механических систем. Напомним, что множество всевозможных положений элементов механичегкой сигтгмы в механикс называют конфигурационным пространстеож. Мы улсе отмечали выше, что в реальных задачах конфигурационное пространство обычно представляет собой гладкое многообразие.
В механике часто бывает необходимо учитывать не только расположение элементов системы, но и их скорости, т.с. рассматривать большее пространство фаюоое проипрпнстегн эле лентами которого являьотся пары "(положение, скорость)'. Ясно, что фжювое пространство механической системы естественно отождествляется с касательным расслоением к ее конфигурационному пространству.
'Упражнение 13.2 1сакожу лшоеооброзив гоягонорфно касательное рас- слоение к округкностиу Упражнение 13.3 Голяео.норфно .ш касательное расслоение к деу.нерпой сфере прямому произведению сферы на плоскость'.~ Замечание. Аналогично определяется кокасательное расслоение 7'М к глногообразспо Л1. Слоями этого расслоения являются кокасшпельньт пространстваа Тр М к точкам многообразия, т е. пространства линейных функций на соответствующих касательных пространствах ТрМ.
180 ХХиффсрснллллал отображения, погружения я вложения. 14 Дифференциал отображения, погружения и вложения В данноъл разделе мы построим основы дифференциального исчисления гладких отображений многообразий. Это „ласт нам возялол«ность изу тать локальныс свойства таких отображений позльзуясь л схничсскими сродствами математического анализа. Фактически, мы просто "пер«ездим" соотвстствукяцие понятия с областей в 11п на гладкие ьл|ло~ ообразия, воспользовавшись им«к~шейся на них гладкой структурой. 14.1 Определение дифференциала Пусть Г: ЛХ вЂ” л 1лл гладкое ото«1ражснис т-мирно« о гладко« о мнол ообразия ЛХ в и;мсрнос гла,аког многообразие Я, и и Е 7рМ произвольный касательный вектор.
Пусть "; кривая, такая что 7(0) = Р и 710) = и. Рассмотрим образ кривой 1 прн отображении Г. Иными словами, сслп кривая 7 задается гладким отображением ~: [ — 1, 1] — л ЛХ, то ее образ зто гладкая кривая в Ф. заданная отображением Г о ";. Кривая Г о 7 праха„лит через образ Г(Р) точки 1'.
Обозна пгм через ш вектор скорости кривой Г о "; в точке Г(Р). По определению, ш б Тр1р1Я. Определим дпффср«лпрлал дГр алпобрагм«:ния Г а то ~ке Р как отображ«пи« касательных пространств дГр . '1 рМ вЂ” л 7)цлп,ьХ, заданное так: дйр . и «-л ш. Запишем дифференциал аГр в координатах.
Пусть 1л,..., ят) локзльныс координаты на ЛХ в окрестности точки Р, п (у,..., у") локальшлс координаты на ьу в окрестности точки 1"(Р), а у' = лд'(л~,..., л™) координатные функции отображсния Г. Если лл = и'(1) координатные функции кривой о то координатны« функции кривой Г о 7 выглядят так: у' = у'(л'(1),..., л™(1)). Имеем: где 1 матрипа Якоби координатной записи отображения Г в точке Р.
'1аким образом, мы видим, что дифференциал отооражевия Г зто „пь нсйнос отобрал«си|лг каспт«,.льпмх пространств. з«прахкненне 14.1 Пусть Г: М вЂ” + 11 гладкое оплибраиссни«гзадкил многообразий. 11ротрить, что для произвольной гладкой функиии Ь на ХХ и произьозьнаго а«ктора и е ТрМ иясст тесто раьвншпьа дГр(л ) (и) = 1д'и о Хг). Пример. В частном случае гладкой функции Х: Л1 — Л Е на мнолообра- зии, мы в каждой точке Р е ЛХ имеем линейный функционал «ХХр. 7; М Диффсрсннпал отображсьися, погружения и вложения. Кпс — ~ су 1р1 ксл - -Я~. Л1атрица ото~ о функционала в локальных координатах 1я,..., я~) на ЛХ зто строка, состоящая из частных производных с1Ядя'. Этот функционал называют дифференциалом функции ф о точке Р и обозначают через дО'11р.
Отметим еще раз, что вектор-строка, состоящая из частных производных функции, задает линейный функционал, а не вектор как иногда учат в математическом анализе (сьь так же по зч ому поводу следующую славу). Упражнение 14.2 Пусть З': Мс — ч Мз и д: ЛХз — ь Мз глас1кие отобралсения глссдкил многообразий, и д о з и:с композиция. Показстсь, чтссо 4доУ1 = ддос1Х. Упражнение 14.3 Псрснесссси на случай гладкой функции на гладко.я мноообразии понятие локального зкстремулса,,1оказать, ппо а точкаг .локального зкстремума дифференциал гладкой функции раасн нулю. Упражнение 14.4 Построипьь при,кср функции на плоскости, у которой дифференциал ьсссгде не расея пулю. Упражнение 14.5 Показать, ~то дифференциал произеольной гладкой функции на сфере Я-' обратостся е нуль по крайней мере.
деа раза. Пто будет е случс~е торо ср = .'зс х У У В случае проектссссеной плоскости ЛРз У 14.2 Локальные свойства отображений и дифференциал 13 данном подрачо1еле мы изучим локальные свойства гладких отображений, дифференциалы которых в некотором смысле нсвырсокдсны, или так называемые свойства "обисего положения". Мы начнем с аналога теоремы о неявной функции. 14.2.1 Субмерсии.
Пусть Р: Лс — ь У гладкое отображение гладких многообразий. 'То ска Р Е М называется регулярной точкой отобраэксиия Р, если дифференциал ЙГг отображения Г в точке Р является зпиморфизмом, т.е. образ дифференциала дрн совпадает со всем простраяством 7е1р1 Й. Далее, точка 1,> Е М называется регулярной точкой отобраэкешм Р или регулярны.я значением отображения Г, сели всякая точка из прообраза Г (® втой точки является регулярной для отобраисспия Р.
Замечание. Отметим, что регулярность отобралссния в точке влечет не- равенство гп = с1нп ЛХ > дйщ У = и. Далее, точка Р многообразия М называется критической точкой отобралсения М, если дифференциал дрг не является зпиморфизмом, т.е. если ХЕиффсрснциял отображення, погружения и вложения. Р не является регулярной точкой отображения Р. Точка Ц называется кри- тическая эначенае.н отображения Р, если существует критическая точка Р б М отображения Г, такая что Р(Р) = бл1. Замечаниль Если дйшйХ < бпп лл', то любая точка многообразия ЛХ явля- ется критичсской точкой отображения Г. Поэтомь множество критиче- ских значений отображения Р в этом случае совпадает с Г(М).
Предложение 14.1 11устл Р б М регулярнал точно гладкага отображения Г: М вЂ” ь Длц Тогда сущсслслвуклллл локальные координаты (х,..., х™) и акргсплнаспли П С М тонии Р и (ул,...,уп) в акресплллоспллл И С ЕУ точки РЕР), танис члпа Г(ЕХ) С 1' и аплображенис Г записываетсл в этих коордииатат, так: у'(х,..., х~) = х', 1 < л < и. Р(х х™) х Г и ,л 7,: 1,...,и, 7,: и+ 1,...,ли. задает замену координат в окрестности точки Р. В этих координатах координатные функции отображения Р имеют вид у'=х', л=1,...,п, что и трсбовалось.
Если все точки многообразия М являются регулярными для отобра кения Г, то отображение Г называется субнерсисй. Из предложения 14.1 вытекает, что локально все субмерсии устроены одинаково, а именно, это проекция с™ на Л", переводящая точку 1х,..., х'") из Ь™ в точку (х,..., хп) из лщ. Регулярные значения отооражеиий облачают следующим важным свойством. Теорема 14.1 1!усть Р: ЛХ вЂ” ь ХУ гладкое атаоражение гладких жнагаабра:ит', и ьг б У рггуллрллае значение отображения Р. Тогда прообраз И' = Г ~ЕГГ) лиачки Е1 лвллетсл гладкиж жнагаобраэиеж размерности с1пп М вЂ” с1пп ЛЕ Ири этаж в качестве, „локальных координат, в окрссплнасти каждой алочки иэ И' .нежна вялить некатарьщ кааудиналпы абъси.ялащего многообразия.
Доказательство. Действительно, пусть (х.',..., х ) и (у',..., у") про- извольныс координаты в ЕХ и у' соответственно, и у' = Хл (х,..., х™) координатные функции отображения Р. По определению, ранг матрицы Якоби отображения Р' в точке Р ранен и> поэта яу, после перснумсрации координат, можно считали что первые и столбцов матрицы Якоби,пшейно независимы. Тогда отображение Диффсргнипал отображештя, погружения и вложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
