TERM1 (1117971), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

На самом деле, имеет место так называемая 'сильная теорема Уитни", позволяющая нонпзить размерность обьем.пощего пространства еще на единицу. 11о доказательство этой теоремы существенно более слоясное и лежит за рамками нашего курса. Замечание. Результаты ланноч о раздела означают, что любое многообразие можно рассматривать как подмногообразие в подходящем пространстве л'~. Однако, во многих задачах, например, при описании конфигурационных пространств физических систем, понятие мччогообраэия возникает более естественно, чем соответствующая этому многообразию ремиэация в евклидовом пространстве. 1(роллс того, если нас, скажем, интересует топологичсскос устройство конфигурационного простраччства, то для его описания часто достаточно знание внутренних свойств многообразия, т.е.

свойств, не зависячпих от в.чожспия в объемлчочцес пространство. чдем нс менее, возможность реализации многообразий в .йв позволяет,чостато шо легко доказать многие важныс фшсгы о самих многообразиях. 15.1 Существование вложения Обозначим через Р,". открытый шар в евклидовом пространстве 1Ро с центром в начале координат и радиусом г. 11апомним, что иосичясясж вирр у' функции 1: М вЂ” ь,йсо называется замыкание множества всех точек л из йХ, в которых функция ф отлична от нуля. Нам понадобится следующая техническая лемма, известная из математического анализа.

Лемма 15.1 11уьтаь Р„" открытый шор о я" с цсяпьрол а яуяс и радиуса г. сс1яя каждосо с > О сучцсстоуст чяадкоя функция 1: яуь — ь .я~, токая ято носитель япррУ фуяюцш 1 лсясисп е Р„", функция 1 тоэкдсстетчяо раьиа единице на шаре Р"... и О < лс < 1. Вложения многообразий в евклидова пространство 188 Замечание. Чтооы построить такую функцшо достаточно, например, вос- пользоваться хорошо известной глалкой функцией Х, равной О на полуин- тсрвале [ — о, О~, строго монотонной на отрезке [О, 1], и равной 1 нп полу- интерввле [1, +оо).

Ота функция задается, например, так: л<О; О<и<1; и > 1. О, 1 1 Х[г) = ехр~ — —,ехр( — о)~, График функции Х приведен на рис. 19. Рис. 10: Гладкая "ступенька". Теорема 15.1 11рсть ЛХ произвольное кожпакгпное сладкое лногооброзис. Тогда суичестпврст алоисе кис Ф: ЛХ вЂ” в Рчьт лногообрвзил .1Х в евклидово пространство подяодящт1 рпз.иерности. Доказательство. В силу компактности многообразия ЛХ на нем можно ,к выбРать конечный атлас [[1,'и, 1о,„)),, пРичем можно считать, что кажДый кооРлипатный гомеомоРфизм 1о„пеРгвоДит Ри в откРытый шаР 13в. Рассмотрим теперь систему меныпих открьггых шаров 11'„С Вв с теми же центрами. и таких, что система открытых множеств 1,'~„= во,, ч[ХЧ'„1 по прежнему покрывает Л1. Обозначим через 6 гладкую функцию в К" с носителем внутри Вв тож,чественно равную 1 на Хч'„[такая функция существует в силу.чеммы 15.Ц. Построим новос гладкое отобрачкение ь': ЛХ вЂ” ~.„'", положив /Л.[Рв[Р))Р.[Р), Р Е 11в, ив[1) 1О Р Е ЛХ 1 11..

ОчевнДпо, т в[.Р1 = 1о„[1о~, если Р б 11'. Л1ы постРоили ЛХ гладких отобРа- жений (Ы„~~~ с из ЛХ в .'ко. За чадим теперь гладкое отображение Ф: ЛХ вЂ” ч К"~. положив Ф[Р> = (,;, [Р1,...,,, -[Р)) ~ 1Р" . Вложения многообразий в евклидово пространство 189 Покажем, что отображснис Ф является погружением. Пусть Р произвольная точка из М. '1огда Р содержится в некотором множестве Г,',, С Га. Обозначим через (л~,,,..., л,",) локальные координаты в карте Г „порожденные 1д„, а координаты в ~а обозначим через Матрица Якоби отображения Ф в точке Р в коорлинатах (лд ) и (у~~) зто матрица вида ~ —,', 1. Б частности, матрица Якоби отображения Ф дя,,' '1д „). содержит блок ( дл-" —;) . Но, так как на множестве Г' отооражение а а со- Х дк„* (,д..

впадает с сза, координатное представление отображения Ф„в координатах (л~,..., и,",) и (у,..., у") имеет вид поэтому (. ",) единичная матрица размера п х п. Поэтому ранг ма- Х дя„' ( дх„~ трицы Якоби отображения Ф равен и во всех точках многообразия М, что и означает, что Ф погружение. Теперь подправим отображение Ф так, чтобы получить вложение. А именно, необходимо сделать так, чтобы разные точки многообразия М переходили в разные.

1(ля этого мы определим функции 6„: М -+ Л', положив Построим теперь новое отображение Ф: М вЂ” > .'Д~, ! де лу = Ьрп+ 6, поло- жив Ф(Р1 = (Ф(Р),6е(Р); ., Ик(Р)), т.е. мы просто приписали к Ф(Р) вектор длины Хг, составленный из чисел 6„(Р). Очевидно, Ф снова погружение, так как ранг матрицы Якоби отображения Ф не меньше чем у матрицы Х!коби для Ф. Покажем, что Ф взаимно однозначно. Пусть Р и Х1 произвольные различныс точки нз М.

Так как система открытых множеств ( Г„') покрывает многообразие ЛХ, найдется такое Г,'„которос содержит Р, поэтому 6 (Р) = 1. Если Ь„(ф равно единице, то это означает, что Я также лежит в Г~~, и поэтому Фс(Р) ф 1да(с() (отображение Ф„нд Г' совпадает с ) омеоморфизмом 1де и нс может склеивать различные точки). Поэтому в рассмотренном случае Ф(Р) ф Ф(б)), Если же Ь„(1,)) Р 1, то и подавно Ф(Р) ф Ф(б1), так как они различаются координатой, соответствующей Ьа.

Таким образом, мы установили, что Ф взаимно однозначно с образом. Наконец, многообразие М коъшактно, отображение Ф гладко, следовательно, как мы знаем из 190 Влозкення многообразий в евклидова пространство общей топологии, множество Ф(Я) компактно в як, поэтому, в частности, Ф(М) замкнуто. Ичак, Ф взаимно одиозна шов с образом погружение компактного многообразия, образ котороло замкнугое подмножество в й7 ..7<сгко видеть, что такое погружение является вложением. Теорема доказана. 1<а самом деле, размерность объемлющего многообразия может быть существенно понижсна.

Однако, чтобы сделать это, нам понадобится теорема Сар.ча. 15.2 Теорема Сарда Если Е: 711 — 7 .77' гладкое отображение многообразия Л< па многообразие Х, то отсюда, вообще говоря, не вытекает, нго дифференциал отображения Е' такзкс является отображтлисм на. Пример построить очень лешко: достаточно рассмотреть Е: .к~ — + %~, заданное функцией Е(и) = л:з. Это, очевидно, отображение на. однако дифференциал Г<<г равен ну.лю в точке и = <1 '<еьл не менее, во ззсех остальных точках дифференциал все-таки не вырозкдсн. Этот простой пример иллюстрирует оощую ситуацию, которузо описывает теорема Сарда. '1тосзы сформулироватз, эту теорему, цам понадобится напомнить несколько определений. Подмножество Л гвклидового пространства йо называется.мнолсссшоом леры нуль, если для любого б > О существует такое конечное пли счетное семейство открытых шаров в 7", покрывающих множество А, что сумма их и-мерных обьемов мевыпе .

Отметим, что шары в:зтом определении можно заменить на кубы или параллслслп|псды со сторонами, па<згллельными осями координат. Сформулируем простейшие свойства множеств меры нуль. 'Утверждение. 15.1 Множестг777 игры нуль обладают сл7 дуюилими ссобс 'ПЬ б О и и. ° ООъ1.'динснис кОБГ 1ногО 1ьяи счг7пнОСО сгмсисшлза,множеств (ЛЬ ),ььгры нуль ялз.ьяелпгя .множеством „меры нуль. ° Для,ллобого гладкого отображения Г: <7' — л 1', гдг П и И открытые Ььодмноисгстви в ,'Р"', и любого жножестви А С <:,яерьз, нуль, мноолссзабО Е(Л) 1поясс' являс7пся .ььноэкгг7пГЬОН мс!Ььь ну1ь.

° 77<ножсгтво леры нуль нг илнет внутргннил точск. Доказатояьство. Первое слзойство очевидно: покрыв каж,чое Ьлз множеств Л; набором шаров, сумма объемов которых равна 7727, мы получим покрытие множества С„А„набором шаров, сухлмарпый объем которых равен е. В силу первого свойства, второе свойство достаточно доказать в предположении, что множество 1 содержится в некотором за лкнутом кубе Вложения многообразий в евклидова пространство ьХ С В. Тогда, по теореме Лагранжа, существует нскотораи постоянная М, такая что ~Г(и) — Г(у) ~ (,1Х~ и — у~( Псалому образ шара радиуса и, содержащегося в кубе О отображаетси во множество, содержащееся в шаре радиуса гуХг.

Следовательно, если мы покроем множество Л шарами, суммарный объем которых меньше г/ЯХ", то множество Г(Л) можст быть покрыто шарами суьл ларного объема меныпс Дли доказательства свойства три достаточно установить, что если конечное семейство кубов Я„) в .:(а со сторонами, параллельными осям координат, покрывают куб Хд, то сумма обьсмов кубов Я; нс меньше объема куба Я (и значит ограничена снизу положительной константой, не зависящей от покрытия).

Доказательство зтого утверждении мы оставляем в качестве упражнснин. Дли гладких многообразий множества меры нуль определяются естественным образом. Подмножество А гладкого многообразия ЯХ называстгн мнозисством .игры нуль, если существует такое конечное или счетное семейство карт ((1Д, р;)) на йХ, покрывающих множество Л, что каждое пз множеств р,(А С 1й) имеет меру нуль в пространство Р"'.

згпражнение 15.1 Покаясигпг, что сьойстьа из угпвсрлсдгния ГБ 1 согра- някзтся для случия многоорзразнкз Далее, подмножесвто А топологического пространства называется нигде не взштнььи, если его замыкание Л не имеет внутренних точек. Подмножество, ивллющееси объединением конечного или счетного числа шм,че не плотных множеств называется тощи.и. Упражнение 15.2 Приведите прн иер типологического пространства, ко- пшрое са,.но является тощим мнолсестволк Отметим, что так как множества меры нуль нс имеют внутренних точек, то любое замкнутое множество меры ноль является нигде не плотным многкествохь Поэтому, если множество мс1эы нуль представимо в виде конечного или счетного объединения замкнутых множеств (каждое из которых, очевидно, само имеет меру нуль), то оно является тощим множеством.

Такие множества иногда называют' нуль-тощилш. '1еперь все готово, чтобы сформулировать теорему Сорпа.ь Эта тсрминологил предло кона уп М. Постниковым в ого замсчачольной книге '1 ладкис многообразил'. сзамстим, что до Сарда зта теорема была доказана Брауном. Кроме того, независимо от Сарда зту тсорсму доказал Дубовицкий Вложенття многообразий в евклидова пространство Тоорома 15.2 (Сард) 11усть Р: Л1 — т Дт г,ьадкое отобралсение многообразий. Тогда лтножеспто СГГ) его критпических знстсниб явлтяетсл нуль-тотцим „иножсство.и.

т.с. представимо а виде нс более чем счетного объединения замки!дпых множеств меры нуль. Если,иногообразие М компактнот пш,множество С(Е) замкнуто и нигде нс плотно. '!еорсма Сарда, это, факти тески, результат математического анализа. пол ому мы не будем доказывать ее здесь в полном объеме. У!ы выполним лишь всю "геометрическую" работу, а также разберем единственный по сути важный для нас случай, когда дйш ЛХ < дйш ту. 13 сущности, для;Гоказатсльства теоремы Уитни нам нужно лишь простое следствие из теоремы Сарда.

Характеристики

Список файлов лекций