TERM1 (1117971), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Это означает, что определитель матроны,Х, составленной из векторов-столбцов координат векторов е, базиса Е относительно канонического базиса (д;), больше нуля. Если Е(1) любое непрерывное семейство базисов вдоль кривой у, и Е(0) = Е, то, очевидно, внутри карты П определитель матрипы,Х всегда больше нуля (иначе он где-нибудь обрагяается в нуль, что ненозможно). Дачее, кривая Т компактное подмножество в многообразии ЛХ, поэтому ес можно покрыть конечным числом карт. Пусть Г некоторая карта из этого покрытия, пересекающаяся с картой ХХ, и пусть;(Хе) точка из пересечения карт. '1огда, так как карты 1Х и Г согласованы (они входят в ориентированный атлас), определитель матрины перехода от репера Е(!е) к каноническому реперу (доХ координат карты Г в точке у(Хе) положителен. Переходя от карты к карте, мы за конечное число шагов попадем в то зку Я, и убелимся, что перенесенная в точку Я вдоль кривой; ориентация совпадает с ориентацией, задаваемой в точке Я каноническим базисом локальных координат любой карты из А.
Поэтому эта ориентания нс зависит от кривой. Обратно, пусть перенесение ориентации из татку в точку на связном многообразии ЛХ не зависит от пути. 13озьмем на ЛХ нронзвольшяи атлас, и перестроим его в ориентированный так. Начнем с произвольной карты ХХ,и фиксируем в касательном пространстве ТнМ, где Р любая точка из Х', базис Е, согласованный с каноническим базисом локальных координат на П в точке Р. Пусть теперь Г произвольная другая карта на ЛХ. Фиксируем в П' произвольную точку, и рассмотрим какую-нибудь непрерывную кривую;, соединяющую Р и ХХ.
Перенесем в точку Я ориентанию вдоль кривои ",~. По условию, полученная в точке Хя' ориентация не зависит от кривой ус Если эта ориентация противоположна ориентании канонического репера локальных координат карты Г в точке сХ, то сделаем в Г замену координат, заменив знак у первой координаты. В результате, мы полу ньм новую карту ХР, д ш которой ориенташля неренесенная в О из Р будет согласована с ориентацией канонического рснсра.
Поменяв таким образом локальные координаты во всех картах атласа, мы полу шм новый атлас, который, как ле~ ко проверить, является ориентированным. Предложение доказано. О!эиентируемость 207 Замечание. Отъттим, что лля доказательства ориснтирусьлости конкретного многообразия удобнее пользоваться определением в терминах атласов: достаточно построить один ориентированный атлас. Для доказательства неориентирусмости, напротив, удобнее пользоваться определением в терминах непрерывных кривых: достаточно предьявить пару точек и две соединяюшие их кривые, такие что ориентации, перенесенные вдоль этих кривых окажутся противоположными. '!асто удается, например, построить замкнутую кривую, псренссснис ориентации вдоль которой порождает в начальной точке ориснташпо, противоположную исходной.
Приведем несколько примеров. з'пражнение 17.1 Поколоть, ппэо атлас стсреогрофинсской прись;Пии на сфере лоллетсл ориснтироеанныж. Другпзьи слоьожи, стондарпэнол сфера лоллстсл орпсшпирусжьэьч жноеообразисж. зспражненио 17.2 Исказить, это если атмас жносообразия состоит из однои п„т доул корто то,яноеообразпе ориеэпэт!эуежо. Примор. Простейший пример неориентируемого мноэ-ообразия это лист Мебиуса. Напоъшим, что лист Мебэиуса получается склейкой двух противоположных сторон 0 х [О, Ц и 1 х [О, Ц замкнутого квадрата [О, Ц х [О, Ц по эквивалентности [О, л) [1,1 — л),:с Е [О, Ц. На рис. 20 эта склейка условно изображена стре:псами.
Стороны, помеченные стрелками, следует склеивать так, чтооы направления стрелок совмсзцалист при склеивании. Рис. 20: Склейка листа Мебиуса нз квадрата. Легко видеть, что лист Мебиуса неориентируем. Действительно, рассмотрим центральную окружность [О, Ц х )ээ2, зададим в сс точке [л, )ээ2) репер [еы ез), где еэ направлен по касательной к окружности, а е по ортогональному отрезку, см.
рис. 2!. Ясно, что при переносе ориентации из точки [л, )ээ2) по окружности в нес жс саму, мы получим репер [еы — сз), что и требовалось, см. рис. 2!. Отметим, что лист Мебиуса это мноьообразне с краем, гомсоморф- ным окружности. Ориентируемость 208 Рис. 2Б Перенос репера по центральной окружности листа Мебиуса.
Пример. Бутылкой Клейна, напомним, называется многообразие, полученное склейкой противоположных сторон квадрата, изображенной схематически на рис. 22. Дссе противоположных стороны, помеченные букссой а, склеиваются без псрсворачивания, а две другис, помеченные буквой Ь, с переворачиванием. с, ь Ь ь ь Рис. 22: Склейка бутылки Клейна из квадрата и из двух листов Меоиуса. Заметим, что бутылка Клейна может быть получена склейкой двух листов Мебиуса. ссссйствительно, разрезав квадрат по двум параллельным отрезкам, соединякспсим серели~ы сторон й с соответствуюшими вершинами квадрата сссм. Рис. 22) и оклеив затеи по стороне а, мы получим два листа Мебиуса.
В частности, отсюда вытекает, что бутылка Клейна зто нсориентируемос многообразие без кран. Упражнение 17.3 Ориснтируеяы ли .нногообразия РР' У Упражнение 17.4 Показитль посо мспирииные группы орссентссруелсы. 'Упражнение 17.5 Показать, ито каждая к-лсерссая регулярная иовсрлность в й", задаюсая глобально системой уравссессий г)с,(л) = О, р = К..., ив 1з ориси тир уело. Двумерные эамкпутыс многообразия 18 Классификация связных двумерных компактных замкнутых многообразий В заключение данной главы мы приведем классификационную теорему для двумеррггях компактных ъшогообразий~ ~с точногтью до голгсоморфизлга). Полное доказательство этой тсорсмы мы приводить нс сбудем, ограничивгпись дсмонстраписй основных и чей. Паполгнилц что одномерных компактных многообразий мало: все онн гомеоморфны окружности.
В двумерном случае ситуация сушсствснно богаче. В более высоких размерностях полного эффективного описания нс известно. 18.1 Склейки многоугольников П 1 са р Ы 3ву к и зяр» Рис. 2он Склейки квадрата. Пусть Р произвольшгй плоский лшогоугольник с 2й сторонами. Разобьеля множество его сторон на й непересекаюшихся пар, и пометим стороны, попавшие в одну и ту жс пару одинаковыми буквами.
Итого, у нас имеется й букв аы..., ая. среперь превратим многоугольник Р в двумерное (топозгогичсское) мног ообразис, отождествив стороны, помеченные Обычно в формулировку отой г~ оргмы вк почавзт у< зови~ заззкнуто< тн, т.с. отсутсчвия края. О,п . р р робразпй; крз м, позгому у нас, пока, все многообразия замкнуты автоматически. Примеры двумерных замкнутых компактных многообразий нам уже встречались вьппе: двумерная сфера, бутылка Клейна, .двумерный тор, проективная плоскость. Попробуем сначала взглянуть на эти четыре примера с единой точки зрения.
Чы получили бутылку Клейна из квадрата, отождествив ее стороны по определенному правилу. Легко понять, что аналогично можно получить и остальные три многообразия, см. рис. 23 (напомним, что проективная плоскость УР лргнкет быть получена из двумерного диска склейкой противоположных точск его граничной окружности). В лачьпсйшгм, чтобы рисовать помспыпе рисургков, мы введем следующие определения.
Двуьзсрсзыс замкнутыс многообразия одинаковыми буквами. !!апомним, однако, что сушествует два различных гоьзеоьзорфзсззза отрезка на себя. с!тобы различать зти два разных способа отождествления сторон, мы поступи л так. с!пзксируеьс направление обхода многоугольника по периметру, например, по часовой стрелке.
1!ачиная с произвольной стороны, будем последовательно перебирать стороны многоугольника, расставляя на них стрелки (или, если угодно, т1) по следуюшсму правилу. Если сторона, помеченная буквой аз встречается первый раз, то настави л па ней стрелку, сопаправлсппую с выбразшым направлением обхода многоугольника (сзриззишем +1). Если же с горона ззстречается второй раз. то имеется две возможности: ° стороны склеиваются 'без переворота", т.е. концевая, в смысле направления обхода, точка первой встретившейся стороны склеивается с первой точкой второй встретившейся стороны )как противоположные стороны квадрата прн склейке ез о в тор).
° стороны склеиваются 'с переворотом", хм. концевая точка первой встретившейся стороны склеивается с капиевой точкой второй встретившейся стороны (как противоположные стороны квадрата при склейке проективной плоскости). В первом случае помепсьл сторону стрелков, направленной против движения вокруг многоугольника (припишсм — 1), а во втором стрелкой, сонаправленной с движением вокруг многоугольника (припишеьс +1).
Отметим, что после такой разметки, прн склеивании стрелок их направления совмсшаются. В результате мы получим разметку сторон нашего мноз оуголыппса буквами и стрелками (или т1). Ясно, что зта разметка о„чнозначно задаст склейку двумерного многообразия. Каждой такой разметке мы сопоставиъс некоторое слово, выписав послеловательпо буквы, стояшие на сторонах нашез о многоугольника, и приписав каждой букве степень — 1, если соответствук>шая сторона помечена — 1.
Построенное слово И' бучсм называть словом склейки, а про полученное в результате склейки многоугольника Р в соответствие со словом И' замкнутое двумерное многообразие з1з будем говорить, что оно склеено из Р по слову И". Мы будем обозна зать:зто многообразие зерсз !э(И'). Иьсест место слсдуюШее очевилнос утверждение. ,ззтворждсьние 18.1 Пусть узсзксзсзроваззсз проззсзвольное разбиение,янолсешнва сторон 21-угольники Р на нсззересзскасозщиссл пары, и задано некоторое отождествление этих пар сторон. уогда эта склейка,многоугольника однозначно опреде.алетея зсекоторьсм с,зовом И'. Обратно, каждое слово И' состоящее нз ь пар разли зныт букв, каждая си ксзторьм .кажет, встречатз сл в степезт т1, задаепс зсекопзорую склейку многоугольника Р в двумерное замкнутое .иногооброзис.
211 „с[вуьлсрныс замьнутыс многообразия Пример. !!усть Г,? зто уже знакомый нам квадрат. Тогда, как видно из рис. 23, Я(аЬЬ 'а ) зто сфера, О(Ьаб 'а ~) тор, Я(ЬаЬа ') бутылка 11лсйна, и ~)(аЬ аЬ ) просктнвнвя плоскость. Замечание. Заметим, что разным словам могут отвечать одни и те же многообразия. Например ГчУ(абаЬ) тоже, очевидно, проективная плоскос1ь, а Р(аа ') сфера.
18.2 Заклеивание сферы Рассмотрим еще один способ получсния двумерных компактных замкнутглх многообразий. Начнем со следующего простого примера. Рассмотрим станлартнук1 двумерную сферу, и вырежем из нее два открытых непересекающихся диска.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
