TERM1 (1117971), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Доказательство. Пгреформулиругм условие регулярности точки зу' в локальных координатах. Обозначим через Р какую-нибудь точку пз Р з1ь.,з). Пусть (х~,..., х~) и (у~,..., у") локальныс координаты в окрестности точек Р и О соотвстгтвснно, и пусть у' = 1т 1тх',..., туп), з = 1,..., и, координатные отображения Г. Рассьтогрим множество И' = Г ~!1Е), и с помощью координатного гоктгоморфзтзхта отождегтвим некоторуто окрестность точки Р в И' с подмножеством Й' и!тост!заисгззтз кт.
'1'оз да И' задается в !Ус~ набором уравнений т'1х,..., х"') = у'1ьз), т = 1,..., и. Как мы уже знаем, днфференпиал дур отображения Р в точке Р в локальных координатах задается матрицсй Якобтт отображения Г в точке Р, поэтому условие эпиморфности диффереппиала это условие равенства раш а этотл матрипы Я коби размерности многообразия Х, т.е. гап!с дрр = и.
Но тогда, мы находимся в условиях теоремы 12.2, и множество Й' яззляется гладким многообразием размерности т — зт, причем в качестве локальных координат в нем могут быть выбраны нскотизрыс координаты из !х~,..., хт). Но тогда и И' является гладкии многообразием, так как для получения атласа на И' лостато шо рассмотреть композицию координатных з омсоморфизмов, построенных нами лля Ит, и з омсоморфизма, отождествляющего Ит и Й'. Доказательгтво закончено.
Упражнение 14.6 Показтть, что в предпологиенилх таеорслы 11.1 жноообразис И' = Р 1тсЗ),является подлногообразиея в т1т. "!аким образо л, эпиморфность дифференциала отвечает за то, что прообраз соответствующей точки устроен хорошо. Оказывается, мономорфность лиффсрснци ша отвечает за хорошие свойства образа. 14.2.2 Погружения и вложения. Пусть Р: Л1 — > ГУ гладкое отображение гладких многообржзшй. Отображение Г назовем погруаиснисл или и.н.персией, если в каждой точке Р из ЛХ дифференциал Н р отооражгния Р в точке Р является мономорфизмом, т.с. отображение дрт взаи лно однозначно с образом.
Замечание. Условие мономорфности дифференциала отображения Г: ЛХ вЂ” т зй необходимо влечет следующее соотношение па размсрногти ьшогообразии: т, = дйш М ( с!1ттз тб = и,. Вгг иммерсии локально устроены одинаково в следующем смысле. Предложение 14.2 Пут ть Г: М вЂ” т Лт произвольное погружению п Р тачка из Л1. Тогда сутесптутот .локальные. коордпнатьз (хз,..., х~) Диффсрсгггсивл отобрал'ения, погружения и вложения.
184 в окрт:тности 11 С ~14 точки Р и (уг,...,уп) в окрестности 1' С Л точки Г(Р), такис чгпо Г(О) С 1г и отобразкснив Г записвшашпсл в этих координатах пгак: у'(х',... «х"') =О, т+1< «< и. у(х «...«х™)=х«1<г<гп, Доказательство. Действительно, пусть 1й,..., хэ~) и 1у «..., у") произвольныс координаты в окрестностях !1 З Р и 1«З Г1Р), и пусть у' = ~'(хз',..., т""), г, = 1,..., и, координатное представление погружения Г. По определению, ранг матрицы Якоби отображения Г в точке Р равен гп« поэтому, после перснумсрации координат на р «можно прсдполо«кит«и что первые пг строк этой матрицы линейно независимы. По теореме о неявной функции, существуют гладкие функции хр = х'(«1 «..., у"'), 1' = 1,..., т, такие что множесгио Г111) задается в координатах (у' «..., уп) уравнениями у" = Г(с 1«у «..., у и),..., х"'1«у,..., уп')), гп+ 1 < 1 < п. Для завершения доказателы:тва осталось сделать замены координат: у' = ув — 1~ 1т~ 1у~ «..., у" ),...
«х'"'(у,..., у'")) «г = т. + 1,..., и, и н и ху = у'1х «... «х~), 1 = 1,..., т. Предложение доказано. Предложение 14.2 означает, что локально каждое погружение устроено как стандартное вло«кение .ч«'" в Л" «переводящее точку 1х~,..., хп') из .-,'" в точку (х~,..., х™«О,..., О) из к". Погружение Г называется влолсениел, если оно задает гомеоморфизм многообразия И с образом 1г1М) (гга Г(М) рассмгшривается топал«пня, индупированная из вг).
Из определения вытскасг (ггровсрьтс!)«что образ Г1Я4) влолгения Р является подъгггогообразием в Д««. Образ погружения называется иногда ггоерузкснны.п подлногообразиел. Приведем теперь некоторые примеры. Примор. Рассмотрим семейство 1'„отображений прямой чг(х) в плоскость 1«лг«у~, уз), заданное так: Г,: х «-г 1«х~, ха+ах). Матрица Якоби этого отображения имеет вид (2х«Зх~+ а). Поэтому, если а ф О, отобралгепие 1"„является погружением.
Если же а = О, то в точке х = О ранг ъгатрицы Якоби равен нулю. и наше отображение нс погружение. Далее, как легко провсритгч отображение Г„является вложеггиеъг сели и только если а > О. Если же а < О, кривая Г 1«х) имеет сзмопсрссечение. Вид кривой Г,(х) при разных значениях а приведен на рис.
17. Диффсрснаеиал отображения, погружения и вложения. а=! а=.! а=а Рис. 17! Семейство кривых 1„(л). Отметим, образ многообразия при погружении пе обязан быть многообразием: скажем, кривая Г,Ги) при с! ( О не являс !си многообразием Гв топологии индуцированной из ч> ). Пример.
Пусть 1! 'а.! — О аз взаимно однозначное погружение, заданное так, как показано на рис. 18. Каждая окрестность точки )'Га) в индуцированной из й.' топологии содержит, кроме интервала вида ОГГ>),1Гс)), егце и некоторый интервал, прооораз которого являстся лучом. 11озтому отображение 1" ' не является непрерывным, так как, например, прообраз интервала ГЬ, с), равный интервалу Г)ГЬ), 1Гс)) не есть открытое множество. Г!о>тому отображение 1" не является вложением. Отметим, что подмно>кество )'Г а!) плоское>и к~ нс является подмно! ообразисм. 118) ) Гс) Рис.
18: Погружение прямой в плоское>ь. запражиеиие 14.7 11оказать, что каждое под,нногообра.те ланогообразия >аа является образо.а некоторого ва!ож>ения некоторого многообразия ЛХ в 1!'. В частносали, каждое ~оданогообрсгзие яватстся многообразием. Если Г: Я! — > Л! произвольное погружение, то в силу предложения 14.2, у каждой точки Р сугцествует такая окрестность П, что ограниченис отображения Г на П гомеоморфизм с образом.
Позтому каждое погружение .юколано является вложением. Дифференциал отображения, погружения и вложения. Пример. В дальнейшем пам попа,добится следуьогдий полезный пример подмно! ообразия. Пусть М произвольное гладкое ыногообрапле, и Х'(ЛХ) касательное расслоение к М. Тогда определено подмножество ЛХв касательного расслоения, состоящее пз всех пулевых касательных векторов к многообразию М. Тегко проворить, что ЯХс гладкое подмногообразие в 'Г(М), причем Мс диффеоморфно ЯХ. Для этого достаточно рассмотреть отображение 1: М вЂ” > 'ХрМ, ставящее в соответствие точке Р Е М нулевой касательный вектор из ТрЛХ, и убедиться, что это отображение вложение.
Многообразие ЯХс обы шо называют пулевым ссчснис,и касательного расслоения. Ясно, что Мв замкнутое подмножество в Т~М), поэтому, очевидно непустое, дополнение Х'(ЯХ) ~, Мс является открытым 2п-мерным гладким мноь ообразисм. Примор. Пусть М гладкое многообразие, и М х ЛХ прямое произведение ЛХ на себя. Рассмотрим в этом 2п-мерном многообразии подмножество сл = )(г,л) г Е ЛХ), называемое диагональю. Легко проверить, что Ь гладкое подмногообразие в И х И размерности п„причем сь диффеоморфпо М.
Для зн ого достаточно рассмотреть отображение 1: М вЂ” к ЛХ х ЛХ, переводящее точку Р Е М в точку (Р х Р), и убедиться, что 1 вложение. Дополнение М х ЛХ ~ Ь является открытым 2п-мерным гладким многообразием. Упражнение 14л8 Построить ааожснис пХюективнои плоскости РР в Рл и погууисснис в .;, (написаспь фор.аулы). Упражнение 14с9 Построить влоаиснпс тора Т", т,.с.
прлжого произве- дения и энгснпллров окружноскпи, в пространство Р" Упражнение 14.10 Построить вложснис за х оз в Ль. Упражнение 14.11 Построить влолсснщ просктионого пространство ЙР в подгодкщсс евклидова пространспшо. Уйы видим, что большинство известных нам примеров многообразий это на самом деле подмногообразия некоторого евклидово! о пространства Рж достаточно большой размерности. Оказываетсн, это не случайно. А именно, в следующем разделе мы покажсьь что произвольное многообразие мо кет быть вло кено в евклидова пространство, причем размерность этого пространства молспо оцепить. Вложенчля многообразий в евклидова нростуранство 15 Вложения многообразий в евклидово про- странство В дальном разделе мы покажем, что произвольное компактяос многообразие может бьггь вложено в евклидова пространство подходящей размерности.
При этом сначала мы построим вложение в пространство очень большой размерности, а затем, используя теорему Оарда, докажем теорему Уитни, позволяющую понизить размерность обьемлющего пространства ло удвоенной размерности многообразия плюс один. Замечание. Теорема остается всрной и для нскомпактных многообразий, но доказательство лля некомпактного случая более гроъчоз,чко. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
