TERM1 (1117971), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пример. Рассмотрим в чм поверхность, заданную системой уравнений < (,д)з+ (,,г)з (,,з)з+ (хв)з Матрица Якоби этой системы уравнений имеет вид с 2з 2хз О О О О 2хз 2хл поэтому соотвстствукзшая повсрхность в л~л является гладким многообра- зием. г'пражнение 12.12 Показазпь, что да умернос многообуозис, построенное в прсдыдурдсм примсреч диффсоморфно с1вумсрнону тору Едг =,5 ~ х б~. Пример. Рассмотрим так нззглвасмую специальнунр группу Б|.(п, й) вещественных матриц размера и х и.
11апомним, что по определению сгЦп, ') множество всех квадратных вещественных матриц с определителем 1. 170 Многообразия Множество всех вещественных матриц размера п хи естественным образом отождествляется с линейным прост1эанством ч" (для этого достаточно записать квадратную матрицу Х в виде одной длинной строки). Покажем, что Я1.(гэ,.й) является э падким многообразием размерности пз — 1. Действительно, ЬЫ,п, 'ч1) может быть задано как ълпожество уровня функции г с1еьХ опре,1еленной на пространстве 1ьу' всех квадратных матриц: ЯЦп,й) = (Х Е.йо !с1е1Х = 1). Поэтому, в силу следствия 12.1, достаточно проверить, что Н(деэ(Х)) нс обраэцается в нуль в точках нз э'Цел, й).
1Зьлчэлсзэим дифференциал функпнп с1ее(Х) в декартовых координатах (хл ), 1 ( л, л ( п, пространства йч . Для этого заметим, что дс1с1<Х) дх„, где через Л; обозначен минор матрицы Х, соответствующий элементу хб этой матрицы (это немедленно вытекает нз формулы разложения определителя по строке нли столбцу).
Оста,юсь заметить, что одновременно все миноры размера (п — Ц х (и — Ц матрицы из .Ю(п, гс) не моэ ут равняться пулэо, по;этому д(с1е11Х)) не равен нулю, если Л Е,Ю(еэ, я). Таким образом, мы находимся в условиях следствия 12.1, из которого вытекает, что Яй(п, Р) гладкое многообразие размерности и, — 1. Упражнение 12.13 Показатэч что следующие матричные груэлпы явля- ются гладкими многообразия,ни и определить их разнерностхс (Х Е Е" де1Х ~ О), (Л бич' ЛХ' = Е), (Хе2' ХХз =Е, (Л Е '." = 'йзи ~ ХХ (Х ч л — зп ~ ХХ7' СЦп, 1к) 0(,Р) 501п, й) Г(п, 1Р) Я,'(и «) с!сэ Х = 1), = Е), = Е, с1е1Л = 1). Упражнлэнио 12.15 Показать, что многообра;те 0(2) гозэеоморлзээло обьединснию дьух окружноспэей. Чсну ровны радиусы ээпих окрулсносэпсйй Как распояоэкэтьэ эзти окружности о й 1зацсплеэльэ ли оэлээ)У Многие нз рассмотренных нами многообразий "устроены олицаково" с точки зрения топологии, т.с. гомеоморфны друг другу.
Приведем пример. Теорема 12.3 урехмсрнос проект ив нос проспэранство .'2!э1лЗ) го асо норфэло матричной группе 80® тэециальных (с опрсдслиплслс.н Ц орлтгональных преобразований трехмерного евклидова простронспта Упражнение 12.14 Нес,ледовать,матричные еруппы из предыдущего упраж- нения на компактность и линейную связность. 171 ЛХногообрззня Доказательство. Напомним, по каждое преобразование А Е 80(3), А ф Е, прсдставляс т собой вращение вокруг некоторой оси б на некоторый ут ол р, 0 < у> < я.
Рассмотрим замкнутый шар 1)з с центром в нуле О ра,чиуса я и определим отображение и: 1>» — > с>О® так. Поставим в соответствие точке О е О' тождественное преобразование Е; отли шой от О точке 3 Р Е Оз, не лежащей на границе цтарз Лз, вращение А вокруг прямой ОР на угол Р = (Р(«причем из двух возможных нреобрвзований зтого типа выберем то, которос удовлетворяет следующему условию: если П плоскость, ортогональная к !', и н б П произвольный ненулевой вектор, то потребуем. чч обы репер (тд Ат>, ОР) был положительно ориентирован; наконец, каждой гршшчной точке Р шара От» поставим в соответствие вратцсние вокруг прямой ОР на угол тт (такое врщнение определено однозначно). Ясно, что образ отображения и совпадает с 80(3); отобрал,сние и взаимно- однозначно па внутренности шара О'; каждой паре диаметрачьпо противоположных точек из т-ранины шара О» ставится одно и тоже вращение, причем разным нарам таких точек ставятся в соответствие разные вратцения, отличные от тех, которые соответствуют точкам внучренности пара Е> .
Так как ось вращения и угол поворота не~рсрывно зависят от козффипиентов матрицы поворота, мы получаем, что 80(3) гомеоморфно;!иску Оз, у которого ото>кдествлены диаметрально противоположные точки гранины. С другой стороны, каждая точка проективного пространства ЖР» зто некоторая проходящая через начало координат прямая С в Ь, где фиксированы координаты (л,..., г ). Рассмотрим стандартную сферу К «и нусть Яз =,с>з О (тд ) О) замкнутая полусфера. Ясно, что Я» гомеоморфна замкнутому трехмерному диску (гомеоморфттзм задается проекцией на трехмерное пространство (в» = О)).
1",ели т". не лежит в чтя» = О), то она пересекает полусферу «>'т ровно в одной точке. Если жс с лежит з в ттгл = О), то С пеРесекает полУсфеРУ в двУх лиамстРально пРотнвоположных точках. Таким образом, ":,«Р' гомеоморфно диску У, у которого з з отождествляются противоноложныс точки границы. Доказательство закончено. Ъ'пражнение 12.16 37окттзаттть, ало я»несообразие 81«'(2«та) гожсоморфно сфере оя». Понозоть, нто .нногообрлзнс П(п, с) гоясожорфно нря.зол»у пронзнсдсштто «»С»'1н, '.) нн онрулсностнь,« 12.8 Подмногообразия Выше мы показали, что заданныс системой уравнений регулярные поверхности в свклидовом пространстве являются многообразиями. Напомним, что само .:«" также ттреттста~»ляса собои многообразие.
'1аким образом, мы имеем >!ело с многообржьвем (»»сверх»»остью), лежащим в дрътом много- 172 Х(агате.такое прогтрангтво к мпогооб1хизию. образин (в йи) .."Это рассмотрение приводит к следующему вагкному поня- тию. Опродолоние. Нодмножество ЛХ гладко| о мног ообразня Лг размерности и называется гладки,и падинагаабразие.и размерности т, если для каждой точки Р Е ЛХ существует такая карта (Хг, р), Р Е ГЗ, что множество р1ЛХ О Г) является пз-мерпой регулярнои поверхностью. Из доказанного выше вытекает, что каждое зножество ЛХ й Н является гладким хшогообразием размерности т, поэтому и все подмногообразие ЛХ является многообразием размерности пг (в качестве атласа надо взять объединение карт по всем ЛХ й Н).
згпражнонио 12.17 Дакалсите, ища 0(п) и В1,(п, я) яаляются гяадкижи паджнагаабразияжи а гх" . 13 Касательное пространство к многообра- ЗИЮ. Напомним, что касательными векторами к поверхности ЛХ в даннои точке Р Е !ЪХ назывщотся вычисленные в точке Р векторы скоростей гладких кривых, лежащих на поверхности ЛХ и проходящих через точку Р. Ото определение использовало то обстоятельство, что поверхность рагсматришилась как подмножество евклидова пространства.
В случае абстрактных многообразий дело обстоит несколько сложнее (абстрактное гладкое хшогообразие нигде, вообще говоря, нс лежит). Тем нс монсе, имеется естественное определение касательно~ о вектора в точке к гладкому многообразию ЛХ, использующее возможность ввести в окрестности каждой точки многообразия локальпыг координаты. Мы приведем три определения касательного вектора и покажем нх эквивалентность (в разных задачах оказывастгя удобным выбирать одно из трех этих определений).
13.1 Определение касательного вектора Итак. пусть ЛХ гладкое многообразие размерности и, и Р Е ЛХ некоторая точка. Рассмотрим всевозможные локальныс системы координат в окргстногтп точки Р, и в каждой такой системе зададим набор и = (и',..., и") из п чисел, облалаюший следуюпшм своиством: если в координатах 1и~,..., иа) задан набор (и~,..., и"), в координатах (у~,..., у") задан набор (ид,...,юи), а д = ('.,",) матрипа Якоби перехода из я- 01 ', координат в у-координаты, вычисленная в точке Р, то ш' = Х -';г — из Згг (сравните с законом изменения касательно~ о к поверхности вектора при 173 Кагатгльное пространгтво к мпогообраэиго. замене криволинейных коордьшат). Если такие наборы чисел заланы, то говорят, что задан касательный ьсктпор в точке Р многообразия ЛХ, а числа (о,..., ип) называют колпонетпа.ни этого касательного вектора по отношению в локальной системе координат (л',..., л").
!1анное только что определение касаггльпого вектора будем называть аяггбраи топим определением нли координатным определение.н касательного вектора. эгтверждение 13.1 !г!нолсвсгпво Тр Лб вссл касательных векторов в произвольной точке Р еяадкого лновообрстия ЛЛ образует п-,нгрног вгкторное пространство, назьтаглое касательным к мнос ообрвлпо Лй пространством в точке Р. Доказательство. Для доказательства достаточно проверить, что любой набор чисел и = (о',...,ь'), заданный в фиксированной системе координат (л,..., г,") (в окрестности точки Р), ложно превратить единственным образом в касательный вектор, разнеся его во все остальные локальные системы координат, заданные в окрестности точки Р. Действительно, закон преобразования набора и при замене координат позволяет разнести этот набор во все локальные системы координат, определенные в окрестности точки Р.
Осталось цроверитьь что так полученные наборы связаны тем жс законом преобразования. По последнее есть мгновенное следствие того, что матрица Якоби композиции отображений равна произвсдтппо матриц Якоби самих преобразований, входящих в эту композицию, а матрица Якоби обратного преобразования есть обратная матрипа к самому преобразованию. Доказательство закончено. Задавая на касательных векторах цокомпонснтнос сложение и умножение на числа, мы введем на множестве ТрМ всех касательных векторов структуру и-мерцого векторного пространства, называемого касательны.н пространствол в точьг Р ь,кно ообразии Лй и обозначаемого через !) ЛХ.
Дадим теперь второе определение касательного вектора через ~падкие кривые, проходящие через то гку Р. Пусть ус и;з лве гладкие кривыг па гладком многообразии Л1, такие что;~10) = Оз(0) = Р. Рассмотрим произвольную систему координат в окрестности Р и скажем, что кривыс "д экв оваяснтны г этой сигтсле координат,, если их векторы скоростей в натльный момент ! = 0 равны: уу (0) = уз(0). С другой стороны, при замене координат векторы скоростей умножаются на матрицу Якоби, поэтому равенство ьч(0) = уз(0) одновременно или выполняется, нлн це выполняется во всех системах координат. Поэ-согну две кривые эквивалентны в одной системс координат гели и только если они эквивалентны в любой другой системе координат. Последнее является мотивапией следующего определения: кривыс ",с и цз эквиваястпны, сели они эквивалентны в некоторой (а, значит, любой) системе координат.
Класс эквивалентности кривых, проходящих через точку Р, называется касательным оскторол о точке Р. 174 1(асатг.тьное пространство к мпогообрлзиго. Из данного только что определения вытекает, что каждый класс зквивалентности кривых однозначно задается вектором скорости в точке Р любой кривой зтого класса. Кроме того, если Р = ~Р,..., Р") координатея точки Р в некоторых локальных координатах (з~,..., лв), и и = (е~,..., еа) произвольный набор чисел, то кривая (Рь+е~Е..., Р„+о„1) имеет в точке Р скорость в.
!/озтому любой набор с можно представить как вектор скорости в точке Р некоторой кривой, проходящей через Р. Болсс того, так как при переходе от одной системы коорлинат к другой векторы скоростей преобразуются по закону преобразования касательного вектора, зтн векторы скоростеи порождшот касательный вектор в смысле первого (координатного) определения. Таким образом, мы построили взаимно-однозначное соответсгьзие мехеду касательными векторами как классами зквпвалентности кривых и касательными векторами в координатном представлении.
Это соответствие переносит структуру п-мерного веюго1шого пространства 7рад на множество классов зквивалснтпости кривых, проходящих через точку Р. Если 1л',..., и") локальные координаты в окрестности точки Р = (ке,..., лз), то проходящая через Р кривая ", ' вида 7'Ю =йе' =,ое," „.„' —,о"е+Е...,лв =во) называется 1-ой координап~ной линией. Легко видеть, что векторы скорое сей координатных линии 7' в начальный момент 1 = О, т.е. в точке Р, образуют базис (еы..., е„) касательного пространства ТрМ, который называется канона сескпи базисо,я по отношению к локальным координатам л'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
