TERM1 (1117971), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ясно, что на множестве Г функции ш и ! совпадают, поэтому ли это искомое продолжение. Предложение доказано. 11.2 Разбиение единицы !!усть Г непрерывная функция на топологичсгком пространстве Л. Носитглея узункции Г называется замыкание множества ьчзех точек я из Л, в которых функция Г отлична от нуля. Будслл обозначать носитель функции 1 через апрр Г. По определению, впе своего поситсля функция тождественно равна нулю. Очень полезным техническим приемом в топологии является разложение непрерывной функции в сумму непрерывных функпий, носитель которых лз некотором смысле мал. Пусть Г = (Г„) некоторое открытое покрытие пространства Х.
Покрытие Г называется лакал но ноно пзьья, гели каждая точка з пространства Х имеет такую окрестность 0(л), которая пересекается лишь с конечным набором элементов покрытия Г. Пусть Г = (Г„) локально коне шое покрыгие пространства Л. Система функций ььь: Х ч !у1 удовлетворяющая следующим условиям 1 ° для каждого о и я Е Л имеет место неравенство О ( ра(я) ( 1; ° для каждого о носитель функции Ьаа содсрзкится в соответствующем элеме~гге покрытия: вирр 1а„С Г,: ° ~ 1сь(я) 1; называется разбзиелнзен единицы, гзог1ниненны,я полрытта ГЗ Отметим, что сумма из определения разбиения единицы имеет смысл, так как в каждой точке я лишь конечное число слагаемых отлично от пуля.
Оказывается, для любого локально конечного покрытия нормального пространства Л существует подчиненное ему разбиение единицы. ьГы дока>кем здесь этот факт только для конечных покрытий. Предложение 11.3 Гругть Х нор,иальное пространгтео, и есо конечное покрытие. Тоге!а суилеспзь уезп подчиненное это ну покрьнпто разбиение единицы. 1ос7 ЛХногообразня Доказатольство.
Итак, пусть 1Г„) коне шое покрытие. В силу прелложсниа 10.12, сУшествУет нзмельченис 1т!т„) покРытиЯ ттГ ), пРичем !ля С Г„. Воспользовавшись предложением 11.1, построим на пространстве Х пепрерывнуто функцию и ю такую *тто 1."ь т = 1, 1т „х1п - -О, и 0 < тьь (,е) < 1. Это означает, что носитель вирр ьь содержится в Г,„, и ет (л) > 0 прн л Е 1ь. Положим Ы(л) = 2 тгь(л). Ота фУнкциЯ, очевиДно непРеРывна. Покажем теперь, что ь(:е) > 0 на всем пространстве Х. Действительно, Дли лтобой то ткн г из Х сУществУет окРестпость !'ь„, такаа что л Е !ть„, и, в частности, ить„(л) > О. Но тогда и тть(л) > и„, > О. Определим, наконец. непрсрывныс функции д„!л), положив те (л) = тн (л)ттть(л).
Очевидно, вирр ль = вирр тьь С Гто и, кроме того, 0 < тсь < 1, а Итак, мы построили разбиение единицы, подчиненное покрытито 1т~Уа). Предложение доказано. Замвчаиио. Для перенесения доказательства пред.южения 11. ! па случай локально конечного покрытия, нужно получить обобщение на случай таких покрытии предложения 10.12.
лспражнение 11.1 Писать Х еьклидоьо пространство лть. Покизаить что е эттли случае ложно яот:шрокть разбиение едттниттьт с глидктыт тйднкттил.яи;р„. В слсдуютцей главе с помотцью топологичсских пространств мы определим основные объекты дифференциальной геометрии гла„ткис многообразия. 12 Многообразия Прежде чем перейти к определению понятия многообразия, сделаем несколько замечаний. Идея, лежащая в основе понятия многообразия, впервые, по-видимому, возникла при построении географических карт. '!'акие построения сводятся к проекции вьшуклои сферической поверхности г.юбуса на плоскость.
Можно показать, что сфера не гомеоморфна ни какой части плоскости. иными словами, нельзя построить карту всей Земли. Кроме тот о, при попытке построения карт достаточно больших кусков земной поверхности яеизбгжно возникают искажения. Поэтому картографы разбивают поверхность глобуса, т.е. сферу, на несколь,ко достаточно маленьких перекрывающихся кусочков, каждый из них отдельно проектируют на плоскость, а исходная сфера получается при обратной склейке этих кусочков.
Неформально говоря, многообразие размерности и зто топологичсское пространство, склеенное из областей пространства лтн. 158 Лрногообразия Отметим, что с многообразиями мы уже пе раз сталкивались в нашем курсе: а именно, кривые н сдоверхности все эчо многообразия. Перейдем теперь к формальными определениям. 12.1 То~ологические многообразия Опродолонио. Хаусдорфово топологнческое пространство называется тополотясскиж жноеообразасж разисрноста п, если существует не более чем счетное открытое покрытие (11и) пространства Х, такое что каждое открыт ос множество П гомеоморфно некоторому открытому подмножеству ~Го в й".
Если 1ак: Го — У Го соотвстствУюший гомсомоРфизм, то паРа (Г,;аа) называется картой', а совокупность всех карт (»„, р ) атласозь Если Га О»д пе пусто, то возникает гомеоморфизм р, о р ': 1а (» Сд »д) С 1р" — К:рд(» О »д) С .я', который называется атобралсснися склейки или функцилжи псрслода (от одной карты к другой). Пример. Простейший пример многообразия это область Й С Р". В качестве атласа можно выбрать карту (Й, нП Й вЂ” к Й), где Ы тождественное отображение.
Примор. Следующий тривиальный пример многоооразия график Л1 С Р" х Р непрерывной функции д: к" — ~ Р, для которок о атлас состоит из одной карты (И,р: (т, ....,т",1'(т,...,та)) ~ — ~ (т,...,и")). Примор. Стан,чартная сфера .5" С Р!" к' с индупнрованной топологией превращается в многообразие, если в качестве атласа выбрать карты вида (1гк (тд ) О),-1- (,„,д ткч-д) „у (т~,.~,."-к1)) (»и = (.* < О), рг: (*',...,.*" "') к (*',..., и*,...,."")), где т' означает, что координата т' пропущена. Другой пример атласа можно получить, если воспользоваться стсрсографнчсскими проекциями. Рассмотрим сфсру Я" С з "т', заданную в стандартных координатах (и,..., тат ) как множество вида (~,(и') 1).
Пусть Ф = (О, О,..., 1) Е Яа 'северный полюс", а Я' = (О, О,..., — 1) "южный полдос" сферы Я". Обозначим через рк н узя стереографнческие проекции из северного и южного полюсов соответственно на координатную гипсрплоскость П = (лат~ = О). "1ак как стереографические проекции являются гомеоморфизмами, (эм 1(кр), рм) и (о 11з),'ря) задают на Ьн структуру и;мерного многообразия. чраким образом, на сфере можно выбрать атлас. состоящий из двух карт. 159 ЛХногообразня Упражнение> 12.1 Не<пишите функуии переходи для обоих ат„>асов из пусдыдут<.го примера.
апражнение 12.2 Задать на деумернол< торе Тз = оп х,Ь< структуру доу,нсрного многообрс<зия. Пример. Приведем пример топологического пространства< для которого выполняются все условия из определения многообразия, кроме хаусдорфопостн. Для;этого возьмем два экземпляра прямой А н отохп1ествнм все точки с одинаковыми координатами, за исключснисм точек О. Полученное топологическос пространство, наделенное фактор-топологией, называется прямой Лл<ксандроеа. Покажите, что это пространство нс является хаусдорфовым (точки О не отделимы), хотя все остальные условия из апре,1елсния многообразия выполняются.
Пример. Приведем пример топологического пространства, для которого выполня>отса все условия из определения многообразия, кроме существования счетной системы карт. Прелставим двумерную плоскость ="- как дигьюнктное объединение параллельных прямых (с топологией дизъюнктного объединения). Каждая прямая, очевидно, гомеоморфна чд, очнако, в построенном пространстве Х нельзя выбрать никакого счетно> о атласа. 13ыбор карты («', <ра) в окрестности да<шой точки Р на многообразии задает в окрестности этой точки координаты (ь>ы считаем, что в открытом подмножестве К, пространства <к" заданы некоторые криволинейные координаты (х,..., х"), т.с.
каждой точке Р Е П ставится в соотвс>- отвис набор чисел р„1<Р) = (хе~,... <хе~). Пусть точка Р принадлежит двум разным картам б, и Пе, и пусть (х'«... хо) координаты в 1',, а 1у <..., у") координаты в 1'р. Тогда в окрестности ГГ„М<д заданы двссистемы координат, определенныс картами («а«р ) и (<.'д, рг): каждой точке Р Е Гч < Э Пе ставится в соответствие двг набора чисел <р„(Р) = (хе«... х") и э>л(Р) = (ус~,..., уе ). При этом отображение склейки задает замену координат, которая может быть записана или в виде х' = х< (у',...
< у")< или в виде у" = у'(х~,..., х<и). Упражнонио 12.3 Показшп<, что если Х топо<>огическое .нного<>бразис размерности по то на Х сутеста уст нс более чем с<<етный атлас 1Я „р ) ), еде каждьп> координатнь<й1 гол<ее.><орфизм имеет еид ра: Ьа — ь хй", гп.с. без огрс<ниченил об<инион>и .яолсно предпол<ыать, чтпо координатнь<е гомеоморфизмь> отображают кирты. на осе >У". 12.2 Функции и отображения Пуси ь Яо топологическое мшпообразне, З": Л1 -ч 2> некоторая непрерывная функпия на 21. Рассмотрим произвольну>о карту (<<', <р) мно> ообразня М, т.е.
гомеоморфнзм р: à — ь,й". '!огда опреде,<сна функция 160 ЛХногообразня Х = Хо р ', отображающая Ри в х'. Обозна зим через (х',..., хи) координаты в чи, которые, напомним, предполагаются фикснрованнымп. Тогда функция Х может быть записана в этих координатах в в~де Х(х,..., х~). с1зункцию Х(х',..., хи) мы будем называть ноординатнььн нредстаеление.я функции Х а нарте (7У, р) или координатны.н прог!стаалсниая функции Х а локальных координатах (х',..., хи).
11ри этом мы часто, допуская некоторую вольность речи, будем отождествлять разные фу нкции Х и Х и записывать координатное представление Х функции Х просто в виде Х(х,..., х'). Далее, пусть имеется два многообразия ЛХ ' и ?У", и пусть задано непрерывное отображение Г: ЛХ вЂ” 1 ХХ из многообразия ЛХ в многообразие ХХ. Фиксируем в многообрьюии ЛХ точку Р, и пусть 7З = Р(Р). Рассмотрим карту (И',Х) многообразия Л', такую, что 71 а И~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
