TERM1 (1117971), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Пример. Пусть Х = С[а, б] множество непрерывных функций на отрезке [а, б]. Положим р ((,д) = щах [)(!) — д(!), гв!ть! где ! н д произвольные элементы из С[а, Ь]. Несложно проверить, что р удовлетворяет аксиомам метрики. Поэтому пара (С[а, б]. рв) метрическое пространство. Пример. Пусть Л" = Сн[а, Ь], 0 < й < ос — множество й рвз непрерывно дифференцируемых функции на отрезке [а, б]. Положим р (д,д) = гаах пзах (!н (!) — д!а)(!)], о<а<я ге[а,ь! где ! и д произвольные элементы из СЯ[а,б], и )бб производная тг-го порядка.

Определенная так функпия р удовлетворяет аксиомам метрики. Поэтому пара (Си[а, Ь], рь) метрическое пространство. Элементы общей топологии. Пример. !!усть А произвольное непустое подмножество метрического пространства Л с метрикой р. Ооозначим через рл ограничение функции р: Х х Х вЂ” т !к,' на множество А х Л. Ясно, что рл удовлетворяет аксиомам метрики. Метрическое пространство )Л, рл) называется надпространство.п пространства (Х, р), а ътстрика рл индуцироаанной метрикой. Пусть я произвольная точка метрического пространства (Х, р).

П1ароьой окуеытносзпью От)к) тпочки л радиуса в или озпкрьн~ыл шарозз с центром в я радиуса - называется множество всех таких точек у из Х, что р(л, у) < в. '1очка а множества А называется тзутренней то той для =1, если в А содержится нскоторая шаровая окрестность О, (а). Множество всех внутренних точек множества Л называется внутренноспгью лнолселиса А и обозначается через !пгЛ. Множество А называется открытым в Х, если его внутренность совпадает с ним самим: Л = ш! Л. Пусть А и В произвольные подмножества метрического пространства (Х, р).

Гасстттоянистт р1тЛ, В) .ты жду множсстпвтвли Л и В называетсн шсло, определяеътое так: р(А, В) = !пй р(а,6). вел,ьен Ясно, что естпи ЛГЗ В це пусто, то р(Л, В) = О, хотя обратное, вообще говоря, неверно. Точка х к Х называется точкой ттрикосновсния лножсспта Л С Х, если р(в, А) = О. В частности, каждая точка а Е А является точкой прикосновения множества Л, хотя обратное, вообше говоря, неверно. Пример. Пусть (а, 6) С Р.т. Тогда, очевидно, множество всех точек прикосновения интервала (а, 6) совпадает с отрезком 1тз, 6]. В частности, а С (а, 6) точка прикосновения для (а, 6). Валыканиелт А произволызого подхшожества А метрическоз о пространства ~ Х, р) называется множество всех точек прикосновения множества А. Ясно, что А С А, обратное, ззообше говоря, неверно.

Если замыкание А множества Л совпадает с самим Л, т.с. Л = Л, то множество =1 называется замкнутым в Х. Примор. Пусть (а, 6) С 1Р'. '1огда, очеззядно, замыкание (а, 6) совпадает с отрезком !а, 6]. Упражнение 10.2 Проверить слсдутощис свойстпва операций взятия вну- тренности и замыканият ° Пусть Лз С Лз. Тост!а ззз1 Аз С за!Аз, и Лз С Аз. ° Для произвольноео подпножества А метричеслтго пространства низав.зтт шт,(!пт, Л) = зп! А, и А = А.

Элементы общей топология. Оказывается понятия замкнутого и открытого множества тесно свлзапы межлу собои. Л именно, имеет место следующее предложение. Предложение 10.1 Пугть (Х, р) некоторое мстри ~гског пространство. Подмногкество А С Х лиллтпся открытым если и только если его дополнение.

пьс.,инолсество Х ~1 Л, заикнрто. Доказательство. Пусть сначьои А открыто. Рассмотрим произвольную точку а Е А. По определению, сушествуст шаровая окрестность 0,(а), целиком лежащая в Л. Но тогда, очевидно, р(а, Х ~, А) > г, так как для любой точки х Е Х 1А выполнено неравенство р(а,х) > ". Поэтому а не является точкой прикосновения множества Х ~ А. Но тоь да Х 1, Л = Х 1, 1, т.е. доспцьнение до А замкнуто в Х. Обратно, пусть теперь множество Х ~1 4 замкнуто в Х. Это означает, сто никакая точка из А не является точкой прикосновения для Х 1 Л. Пусть а произвольная точка из А.

Из вьппесказанного вью екает, что р(а, Х У Л) = е > О. Рассмотрим окрестность 0.(а) и покажем, что она целиком лежит в Л. Дейгтвптельно, сели х Е 0,(а) содержится в Х У А, то е = р(а. Х ~1 А) < р(о, х) < е, противоречие. Доказательство закончено.

Открытые множества метричс< кого пространства обладают рядом важных свойств, которые мы выделим в отдельное предложение. Предложение. 10.2 Пугть (Х, р) мгтринеское прогтранппво. Объеданение .ыобоео семейства .ннозь еств, открььтых в Х, открыто в Х, и пересечение коненково числа многкеств, открытых в Х, такзкг. открььто в Х. Доказательство. Действительно, .пусть (А ) произвольное семейство открытых подмножеств пространства Х. Обозначим через Л объединение всех множеств Аа, и пусть а произвольная точка множества А.

Тогда с1пцггтвует такое ов, что а Е Л„,, а множество А„, открыто по условию. Поэтому существует открытая окрестность 0,(а), целиком лезкащзя в Аа. По то~ та 0,(а) С Л, и, значит, мноясеппю А содержит некоторую шаровую окрестность каждой своей точки, т.е. А открыто. Пусть теперь индекс о пробегает конечное число значении: и = 1,..., У.

Обозначим через А' пересечение всех множеств А, и пусть а произвольная точка из а'. Тогда а Е Л„для калсдого и = 1,..., и,. Поэтому, для каждого о существует такое еа, что окрестность 0,„(сь) целиком лежит в А,. Положим ь = шш, е > О (здесь мы пользуемся конечностью набора множеств А ).

'1огда, очсвидно, 0,(а) С О, (а) для любого о, и поэтому 0,(а) С А', т.с. каждая точка а из А' входит в Л' вместе с некоторой своей шаровой окрестностью. Доказательство закопчено. ;Элементы общей топологии. 137 Из предложений 1О.1 и 10.2 и свойств операций взятия дополнения, объединения и пересечения немедленно получаются двонсгвенцые свойства замкнутых множеств. Слодствие 10.1 Лусии 1Х, р) .иегприигскос прошпранство. Тогда пересечение произвольного семейства за.якнутылмножсств замкнуто.

ГЭбьсдинетт конечного сс,.нсйства замкнутых,яножсств толов замкнуто. Отметим, что при доказательстве предложений 10.1 и 10.2 мы нигде не пользовались неравепствоьл треугольника для метрики. В следующем пункте мы расширим класс пространств, в которых можно говорить об открытых и замкнутых множествах, точках прикосновения и т.п., определив тополоь ические пространства. В заключение настояшего пункта мы приведем несколько специфических свойств метрических пространств. Предложение 10.3 Пусть (Х, р) метрическое пространство. Тогда шаровая окрестность 0,(к) произвольной точки я Е Х является открьь ты.я множество н. Доказательство. Пусть у произвольная точка нз 0.-(л), Тоьда, по определению, р(л,у) < г, поэтому существует такое число о > О, что р(л, у)+й < г.

Для доказательства предложения достаточно проверить, что шаровая окрестность Оз(у) точки у целиком содержится в Ол(г). Действительно. пусть ." произвольная точка из Ог1у). Тогда, в силу неравенства треугольника, Р( "') < Р1г у) + р(улс) < '1+ р1г у) < т.е. Е 0,(к), что и требовалось.

Наконеп, оказывается что операции замыкания и взятия внутренности, опрелелснныс* вышс на подмножествах метрического пространства, естественным образом согласованы с понятиями открытых и замкнутых мноя(еств. Утверждение. 10.1 17усть (Х, р) метрическое пространство, и А его произвольное подмножество. То~да множество А замкнуто, а множество 1п1 Л открыто. Доказательство. Покажем сначала, что ш1А открыто. Каждая точка а из 1п1Л обладает окрестностью 0,(а) целиком лежащей в Л. Но тогда, очевидно, 1п1(Оь (а)) С ш1А, а с друг ой стороны, в силу предложения 10.3, шС(Ос(а)) = 0,(а), поэтому множество ш1(А) содержит шаровую окрестность своей точки а, и поэтому открьгго. Далее, точка л иэ Х нс принадлежит замыкани|о Л мпохсества Л если и только если р(а, Л) = г > О, поэтому Х 1, Л = пи Х Х Л, а последнее множество открыто. Поэтому, в силу предложения 10.1.

Л замкнуто. Доказательство закончено. Элементы общей топология. 10.1.2 Топологические пространства В самом общем случае оказывается достаточным просто выделить класс подхшожеств абстрактного множества, которые и будут называться 'окрестностнми" точек в пем. Чтобы соответствующая теория была содержательной, необходимо требовать, чтобы эти "окрестности" обладали естественными свойствами. Именно эта идея и лежит в определении топологическоь о пространства. Пусть Х произвольное множество и т = 1оа) некоторое семейство подмножеств мнолсества Х. Семейство т называется таапамагией, если оно удовлетворяет следующим свойствам (сравните с предложением 10.2): 1) само пространство Х и пустое множество припадлелсат т; 2) обьединение любого семейства множеств из т принадлежит т; 3) пересечение лк>бого конечного семейства множеств нз семейства т также принадлежит т. Свойства 1 3 называются аксиа.иа.ии топологии.

Характеристики

Список файлов лекций