TERM1 (1117971), страница 25
Текст из файла (страница 25)
эта композиция также является дробно-линейным преобразованием (а 6 1 теперь, как выглядит произведение матриц М„= ~ ( и с , ), соответствукэщих этим преобразованиям. Легко видеть, Вычислим ( ау ".Н вЂ” / что это произведение имеет вил ( иа'+ 6с' а6'+ 6д' '1 Мя,Ч.= ~, ~ =М„„, са + с с> + а6а+6 т.е. совпадает с матрипей композиции дробно-линейных преобразований. Заметим, что как множество комплексных невырожденных 2х 2-матриц, так и мнозксство дробно-линейных преобразований, образуют группы 1псрвое по умножению, второе по когяпозипии). (,)тот факт тривиален и оставляется в качсстве упражнения,) Группа нсвырождснных комплексных 2 х 2-матриц обозначается через СЦ2,;:).
Рассмотрим отображение ья из группы О112, Ц в группу дробно-линейных отображении: Геометрия Лобачевского. 120 Из только что приведенных вычислений и того факта, что каждому дробполипейному отображению соответствует невырожденпая 2 х 2-матрица, вытекает следующий факт. Предложение 9.3 Отображение ф из группы комплексныт нсвырозкденныт 2 х 2-.матриц в группу дробно-ттейныт преобразований плоскости является гоионорфизиом на всю группу пр~ образований, т,.е.
является зпи.яорфиз.иом. Вычислим ядро:п|иморфизма уе, т.е. определим, как еще моукно заик( а сать тождественное дробно-линейное отображение х ~ — ~ г. Если с задает тои.дсственное дробно-линейное отображение, то выполняется а +6 откуда сг +~!я=ах+6, ~ с=6=О, а=с!.
с" + д Итак, ядро отображения ф состоит из всех лиагональных невырожденных Г. О~ матриц вида . Ясно, что это ядро изоморфно группе, " всех а ( ненулевых комплексных чисел (с операцией умножения). Итак, мы доказали следующий результат. Предложение 9.4 Группа дробно-линейных отображений плоскости изо- ,иорфни группе С" Ц2, '")/С". 1!ривсдем еще одно полезное представление группы дробно-линейных отооражений.
Рассмотрим множество комплексных 2 х 2-матриц с единичным определителем. Это множество, очевидно, образует группу, которая называется комплексной специальной линейной группой и обозначается ах+ 6 через Вь!2,'Е). Так как дробно-лнпсйнос преобразование з ев нс ох+ д меняется, если поделить числитель и знаменатель на квадратный корень Га 6'! из определителя матрицы, а эта операция приводит к матрице с с1(' из В'ь(2, Ц, мы заключаем, что каж„чое дробно-линейное преобразование можно представить некоторой матрицей из В!.(2, 'Е). '!аким образом, определен эпнморфизм уу' из Яь(2, ~.) в группу дробно-линейных отображений.
Аналогично проделанному выше, вычислим ядро эппморфизма ~/. 11а сей раз к полученным выше условиям 6 = с = О и а = ~1 добавляется условия равенства 1 определителя, т.е. условие а = 1. !!сотому ядро па сей раз состоит из двух матриц: единичной 1 и минус единя шой — Е Это ядро изоморфпо т7з.
Итак, доказано слсду|ощсс пречлохсспие. Предложение 9.5 ! руина дробно-;шнейныт отобразкений плоскости изо- ,иорфт| группе э1.(2, ' )/(~1) = 91,(2, ' )/~йа. 121 Геометрия л!оба савского. 9.3 Запись метрики в комплексной форме В комплексном ви,1е удобно записывать метрику и работать с ней. Особенно удобно работать с конформно-свклидовыми метриками, с.с. метриками, задьмшыми в виде сЬзз = Л(лл, сл) (с!из+ с!из). Лля тос о, чтобы записать метрику в комплексной форме, введем следующие комплексные диффсренпиалы: с!» = с!и+ л с!и, сЕ = с1и — лаю „!егко видеть, что с!из + с!юз = с!»с!», поэтому копформно-евклидова метрика сла = Л1и, ю)1сли + сси ) в комплексном виде выглядит так: сля Л(», ) с! с!»Е Замечание.
На самом деле, переход к координатам (», ») имеет следующий естествешсый смысл. Пусть Аз еландартиая плоскость и 1лл, ю) стандартные координаты на ней. Соответствующий базис в линейном пространстве х» это базис 1сд/ди, длсдю). Рассмотрим коиллллсксисйикаиикл "з пространства !Сс, т.с., это множество всевозможных линейных комбпнапий векторов дллди и дллдлл, но уже с кохсплексными коэффициентами. Ясно, что»с~ — надпространство в "'з, и. кроме того, 1сдлсди, длсдю) базис в Сз.
Выберем теперь в Сл новый базис 1сдлсд», дллд»), положив д ! д д д 1 д д — =-( — — —.) д» 2 ди ди Если (и, ю) координаты произвольного вектора 1У из Сз в базисе 1дллди, дллдю), то координаты 1», ») этого вектора в базисе 1дл'д», длд») имеют вид» = и+ лсд и Ь = и — лю. Соответствующис линейные формы с!» и с!» связаны с линейными формами ди и с1с1 так: О» = Нлл+ лс!сл, и с! = с1сл — лс1лс Любая риманова метрика на плоской области, это, как мы знаем, симметричная билинейная форма, заданная в кахсдой точке области (на соответствующем касательном пространстве, которое отождествляется с 'суз).
Она, очевидно, задает симметричную билинейную форму на ."' . Так вот, 2 именно эта форма в базисе (дЛлд», дслд») имеет укаэанный вид. Мы жс рассматриваем ограничснис* этой формы на надпространство ЬЬ С С . ам+ Ь Пусть» = дробно-линейное прсоорззование. Тогда си +с! а(ссс + д) — с(аил+ Ь) ас! — сЬ ад — сЬ срю = сЬад (ссл, + с1)з '1ссю+ с1)з ' (ссс~, с1)з поэтому Ь'=Лс1» !»=Л ', 1ю~1~, 1ас! — сЬ1з 1ссю + с!1а тю. метрика по-прежнсму имеет конформно-евклидов вид. Итак, злы доказали следукяпий результат.
Геометрия Лобачевского. 122 Предложение 9.6 Дроб««о-22«гней«7ь«е оргоброзовинил согсро«2я«от ко«2форл««оськлидов вид метрики. У чос«синов«с«72, длл кондго!7л22727-ьвк«2идовьсг жетрик, дробно-линсйныс прсоброзоьс«ния сосранл«о«о угли жвгкду криьыжи.
Приведем пример комплексной записи метрики евклидовой плоскости, сферы и плоскости О!обачсвского: 1) двг = дгд' 1к7етрика плоскости). = и+ си, (и,и) стандартные евклидова координаты; 4Лч дг д 2) дв =,, (метрика сфсры радиуса Л)«г = и+ ги«(и,с) (Л'+ 4г)г стсреографическне координаты; 4Й7 д 3) двг =, (мстрика плоскости !обачевского Л71Л) в модели 1!!г !,,!г)г Пуанкаре)«г = и+ й «!и«и) стереографичсскис координаты. 9.4 Модель верхней полуплоекости Рассмотрим теперь еще одну модель 7777оскос«ти Лобаче««скогсь Пусть го = -+ 2Л вЂ” 2Л некоторое дробно-линейное отображение плоскости.
Посмог — 2Л трим, куда перейдет окружность сги = ()г! = Л), т.е. абсолют плоскости 1обачевского. '!'ак как дробно-линейныс прсобразования переводят окружности в окружности (напомним, что прямые мы рассматриваем как частный случай окружностей), то образ каждой окружности олссозначно задается образами любых трех ее точек, не уходящих на бесконечность. !3 качестве таких точек возьмем — Ль — 2Л и Л. Имеем — Й+2Й вЂ” 1+ 2 ( — 1+ 2)( — 1+ 2) — 22 — Й «-7 — 2Й : — 7Й : — 2Й = — 2Й = — Й вЂ” Л,— 2Л вЂ” 1 — 2 2 2 — 7,Й. «-7 О Л+7К 1+7 (1+2)(1+2) 22' Л 7 7Й Л вЂ” 7Й вЂ” — 2 — — 2Л Л вЂ” 2Л 1 — 2 2 2 позтому абсолют переходит в вещественную ось.
Отсюда вытекает, что внутренность круга В~(Л) при рассматриваемом преобразовании переходит или в верхнюю, или в нижнюю полуплоскость. '!тобы определить, в какую из полуплоскостсй переходит Р~)Л), рассмотрим, куда переходит О Е Пг(Л) (ясно, что туда жс переходит и внутренность Лг(Л)). Имес. л 2Л О 7-7 — 2'Й = 7,'Ло — 7Л г позто лу внутренность П (Й) переходит н верхнюю полуплоскость.
Из предложений 0.2 и 927 выпекает, что прямые модели Пуанкаре переходят Гсомстрия Лобачевского. 123 в окружности и прямые, псрпсндикулярпыс вещественной оси. Эта модель плоскости Побачевсзкого называется модеггью ееринтг пояупяоскости. Вычислим, как выглядит метрика Лобачевского в модели верхней полуплоскости. Дла зтого, прежде всего, найдем обратное дробно-линсйное преобразование, переводящее модель всрхнси полуп.юскости в модель Пуанкаре. Восполь ювавгнись предложением 9.4, найдем, что зто обратное преобразование имеет вид (задается обратной матрипсй): — д — Йю ш — гд е: гЛ: гД Л вЂ” 1ш ш+ гЛ Откуда 1(гю + гД) — 1(ш — гД) 2дг 2дз дг = гд г1гю — — ди, д — — ди., 1гю+ гд)г (ш+ гд)з гш+;д)г 4дп ди дггз , +:144 Далее (Лз — (ю(а) = Лг 1— Л4 4Де(ш — ш)г ( — г Ри + гдш — байи + г Ри) (ш гд4 ' ' )ш+гд4 Пост ому г 4Л4 д дй "' -(д -~аР)здз 1бда дгггдш гг 4Д~(гю — ш) 4дг ди, ди .
дог+ диз ~ггз+ гЛ а гг ~ггз+ гД ' (гю — из)г юа Итак, доказано следуюпгее предложение. Предложение 9.7 В модегги серлнеб по,.гуп,госног:нга метргсно Лгзбсгзгее- скоео имело еид: . ди + диз 4дз д= д даз = Лз ггз (ю — ю)а еде ю = и + гю г оотеегпспгьушигсгя комп.гексноя гшремснноя. 9.5 Изометрии плоскости Лобачевского Мы будем изучать двизкения плоскости Лобачевского в модели всрхнсй по- луплоскости. Геометрия Лоба вислого.
124 Напомним, что в отой модели 2 где з = и+ йь Будем искать двигкепия в виде дробно-линейных преобразовании: ав+ 6 св+й Для простоты, в дальнейших вычислениях положим Л =!. Рассмотриьл важный частный слу гай аетестаешиях дробно-линейных преобразований, определяемых тем, что все их козффипиенты а, 6, с и л! вещественны. Выясним, когда вещественное дробно-линейное преобразование сохраняет всрхнгою полуплоскость (каггсдос движение, по определению, должно сохранять верхнюю гголугглоскость).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
