TERM1 (1117971), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поскольку длины всех геодезических т,(!) равны между собой и равны радиусу сферы Е, имеем: 0 = = (<г'(О), .у), Л(0) где вектор скоросттл ч вы птсляется в точке (Э, т.г. геодезическая з перпен- дикулярна кривой <т, лежащей па сфере В.
Докаэательс пю закончено. ;Упражнение 8.2 !1усть (и',..., тт~ т) нормальныс координаты с иснтром в точке Р. тйоквэоть, <то в мпих коордшттвя м<ттриив первой квадратичной 4ор.мы в точке Р ровна единичной, а символы Кристпо<(тз <йслл в точке Р равны нулю. 8.2 Полугеодезические координаты на двумерной поверхности Пормальные координаты, которые мы определили в предыдущем разделе, являются весьма частным случаем так называемых координат Ферми. !(оординаты Ферми определяются для подмногообраэия в римановом мнот ообраэии, см. следующий семестр. Здесь мы ограничимся их частным глучаем так наэываемьнш полугводеэичвт<ими коврд<тт<итттам<т на дтрвврной повсряностпи.
!!так, пусть 51 регулярная двумерная повсрхпосттч задатптая в параметрическом виде так: (г: Й вЂ” э л< ). и пусть Т: 1 э 5! регулярная кривая на М. Пусть 11(1) гладкое касательное векторное поле единичной длины, зада<шов в точках крит<ой; и перпендикулярное вектору скорости Т(!) в точке "<(!). Пост!эонм отображение нскоторои окрестности отрезка 1 х (О) в прямом произведении 1 х и!< в поверхность М. В каткдой точке ~(С) крпвои; мы построим геодезическую и<(в), определенную на некотором интервале ( — вв(1), вв(Х)], и удовлетворятошую начальным условиям г<(0) = Т(!), и,'(О) = Е(1).
Точке (1, в) Е 1 х У,' мы поставим тэ соответствие Геодезические и крит!оно. 106 точку н! (в) поверхности М. Построенное отображение мы обозначим через схр и назовем экспонснциольныя отобрпоисние.н нор.на!ей вдоль Замечание. '1ак как ]И(1)] = 1, все геодезические н!(в) парамстризованы натурально. Лемма 8.2 Экспоненциольнос оп!оброэкснис схр норжплей вдоль ! явля- и!пся лодкин к!си,нно одноэначныж и регуььярнь!я в некоторой окрестности отрс !ка 1 х 0 С 1 х 1к~. Доказательство. Действительно, ограничение отображения схр на 1 х 0 совпадает с отображением 1, а ограничение отображения ехр, па ! х 11!! совпадает с ограничением отображения ехр 01 на прямую в касательной плоскости 7эд!)ЛХ, проходящую через 0 в направлении вектора Е,'(1). Поэтому матрица Якоби отображения схр невырождсна в каждой точке отрезка 1 х О, и, следовательно, в силу его компактности, в некоторой окрестности отрезка 1 х О.
Лемма доказана. В силу леммы 8.2, следующее определение корректно. Определение. Рсгулярныс координаты, порожденные в некоторой окрестности кривой у отображением схр, называются полугьодеэичвскижи координата,.н!д ассоциированными с 1. Имеет место следующий важный аналог леммы Гаусса (см. предложение 8.2). Предложенио 8.3 (Обобщенная лемма Гаусса) Полугеодеэичгские координапсы в окрсстности регулярной натурально поражен!риэооанной кривой на регулярной двунсрной поверхности ортогонпльны. Доказатольство. Пусть ехр х !1,в) — > пХ полу!-еодезические координаты в окрестности натурально параметризованной кривой ьф.
Обозначим через н!]в) координатные линии 1 = сопя!, а через эь]Х) координатные линии ь = сопя!. Нам нужно показать, что для любого ! координатная линия иь(в) пересекает все координатные линии эь]Х) под прямым углом. Фиксируем некоторое во. Ясно, что семейство геодезических рь(в), приходящих на кривую -1„, ]1), порождают гладкую вариацию ! еолсзической иы(в). При этом, концевые кривые этой гладкой вариации совпадают с уо(1) и э1,„!1), а сама вариация зто просто ограничение отображения схР на пРЯмоУгольник !Хо — г,Хо + г] х !О, во].
!!лины всех геоДезических н,(в) при этом одинаковы и равны во. Воспользуемся формулой первой вариации длины геодезической, см. следствие 5.6. Будем обозначать дифференцирование по в пггрихом, а по ! точкой. Имеем: 0 = "! — — (Ф.„(1о), и!„(во)) — () Ро), н!.(О)) д1(0) <5П Ь1о) и!ьЬво)) ГЬ!1о) с'!1о)) Геодезические и кривизна. 107 Второе слээгаеьлое равно нулю по определению, поэтому и перээое слагаемое равно нулю. В силу произвольности выбора вс и 1с, доказательство закончено.
8.3 Двумерные поверхности постоянной гауссовой кривизны Знаменитая теорема Гаусса, доказшшая нами выше, утверждает, что изомстричные двумерные* поверхности имеют одинаковую гауссову кривизну. В данном разделе мы покажем, что сели гауссова кривизна поверхности постоянна,то верно и обратное, т.е. две поверхности одинаковой постоянной гауссовой кривизны локально изомстричны. Для доказательства этого факта мы введем па поверхности координаты специального вида полугеодсзнчсские координаты, ассоциированные с натурально параметризованной геодезической.
А именно, пусть М, как и выше, неособая двумерная поверхность, и пусть у(1) натурально параметризованная геодсзическан на ЛХ. Введем в окрестности геодезической 7(1) ассоциированные с пей полугсодсзичсские координаты ехр : (1,в) — ь ЛХ. В этих координатах первая квадратичная форма поверхности ЛХ записывается особеэшо просто.
Лемма 8.3 ХХусэпь схр: (1, ь) ь ЛХ палугсодсзичсскис координаты на регулярнов повергности ЛХ, ассоэ1иээрованньэс с натурально пара.иетризованнод геодсзичьской 7(1). ХХсрьэая квадритичная форма поверхности а этих координатах имеет вид дв~ + ХХ(1, в) д1з, причелэ функция ХХ удовльтьоряст слсдукщиж соотношениям: С(1,0)=1,, =О. дв Доказательство.
В силу п1эедложения 8.3, координаты (1, в) являкп ся ор- тогональными, поэтому первая квадратичнан форма имеет вид Е(1, ь1двз + С(в,1)д1'. Функция Е(1, в) равна, по определению, скалярному квадрату вектора д,, т.е. вектора скорости соотвстствуюшсй геодезической эи(в), поэтому Е(1, в) 1. Даьэее, функпия С(1, 0) равна скалярному квадрату вектора скорости натурально параметризованной геодезической 7е(1) = 7(1), поэтому ХХ(7, 0) = !. Осталось вычислить производную от Х7(1, в) по в при в = О. Имеем: дб:(1 в) д(ды дэ) =~.(7в,-1э) = 2(~эФ;, )э) дь дв Геодезические и ьривпзпз. 108 Х!сгно, что отображение ехр задает гладкуло ллариацикл геодезической ил(к) (длчя кажд~л о 1), поэтому мы находимся в условиях леммы 5.2.
Получаем в результате, что сЭС(1, а) = 2 (7г у„ут ) = 2 (7'г глл, лгт ) . Наконец, так как векторы и,' и уг ортол оналг,ны, ЯлУ, Уг) = — (гл„~глЭг), поэтому, окончательно Я*'(1, ь) = 2с,хглллг', )г) = — 2(ллл', хглуз). Положив в после;1нем равенстве л = О, н воспользовавшись тем, что уе геодезическая, и поэтому хлл"г = О, получаем, наконец, что дСЭ(1, 0) да Лемма доказана. Вычислим теперь гауссову кривизну поверхности в координатах (1, я).
сг)ли этого воспользУемсЯ фоРмУлой ГаУсса: ( дрелл дг,'з Л г,г( „, —,' -:-Л Сгг;,г',г — г„г„",1Л)-л ~е, ди' ди' где ь) матрица второй квадратичной формы поверхности, дд матрипа первой квадратичной формы, и 1; символы Кристоффеля. В силу диас ональности матрицы первой квадратичной формы, н~элучаем для гауссовой кривизны К следующее выражение: Вычислим символы Кристоффеля. Положим и = гч а из = 1, и заметим, что матрицы первой квадратичной формы и обратная к ней диагональны, причем ды = д" = 1.
Получим: .1 =О=гзы — С, 2 л„дд„ лл /ддл л 2' Лг диз 1,д, ддзл 1,,= — д)),+ ди' дгл' ) сЭдзг ддлз '1 диг ди' ) ддм ддзз '1 сЭил ди' ) Геодезические и кривизна. 109 где дифференцирования по Х и в обозначены ни»кними индексами. Точно так же, .полу 1аем О. Подставив выражения для символов Кристоффеля в формулу Гаусса для кривизны, получим: К= —, 0 — — — ', +0+0 — 0— С, 1 С, ' Полученная форъ1ула цам понадобится ниже, поэтому выделим ее в ви11е леммы.
,Лс«мма 8.4 11усти метрика двуиерной поверхнотпи М в рееулярных яоординон»ах (и, г) иясет вид диг + Г»(и, и)11и . Тоеда еауссова кривизна Л пооерхности 21»иоэхет б»ыть вычислено тан» (М„„ Га Предположим теперь, что гауссова кривизна 1«поверхности .ГГ постоянна. Тогда мы получаем следу«ощес дифференциальное уравнение на функцию «»сГ»2 (»ГЧ) + К 'Г~ = О.
Это уравнение легко решается, а именно: Асов(а(в+ В)), сели К = аг > О, «/С» = Ав+ В, если К = О, ЛсовГ«(а(в+ В)), сслн Е = — аг < О, где а некоторая постоянная, а Л и В произвольпыс функции от 1. Однако, в силу леммы 8.3, для любого 1 должны иметь место следующие соотношения: Л соя(аВ), 1 = «~С;(1, 0) = В, А сояИ(аВ), (я) ,г 1 22 Г„= -уг' 2 -г 122 Г,г = -уз 2 2 1 22 1 22 — — у 2' дЧ12 ду21 ( ди« ди1 + ( ду12 с)у22 — + диз ди1 ( дугг дуга диг диг + дЧ11 ) дуг ) диг (.:, — = Гг,, 21»' С~ 21»' приХ1 >О, приЛ =О, при К < 0,: Геодезичсгкис и кришсзна.
110 а также, так как — Аавш1са1в+ В)), при К ) О, 1С, (ъссз) = — = А, при К = О, 2 зД; Аав1зз1з(а1в+ В)). при К < О, Осталось заметить, что из тождеств 1ь) и 1ьа) однозначно находятся функции А и В в казкдом из трех рассматриваемых случаев. Окончательно получаем; если К = аз ) О, сели К=О, ° „зк= — 2<0 '! аким образом, задание постоянной гауссовой кривизны однозначно опре- деляет первую квадратичную форму поверхности в некоторой окрестно- сти отрезка любой натурально параметризованной геолезическспй на ней. Итак, доказана следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
