TERM1 (1117971), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Описанное только что отображение задает регулярную систему координат (г, ла) на области ЧЧ = =лз Л, ((г, О) г, > 0). Эта система координат называется полярной. 1Чатрипа Якоби ра|зна с соя лв — 7' ылл лл яЧпр гсов р ) ' а якобиан равен г.
Координатные линии открытые.лучи, выходящие из начала координат (за исключенисъл положительной полуоси ОХл.), а также окружности с пентром в О (проколотыс в точке пересс тония с лучом ОХь). Отметим, что полярной системой координат называется любая регулярная система, основылная на фупкпиях (г, Ла) (при разном корректном выборе области ЧЧ и области изменения функпий г и лв). 6.2.4 Цилиндричоская система координат Если (и, у, ) стандартные координаты в Йз, то положим и = гсоя~О, лз: 'ге)лл:,б, где г > О, а 0 < р < 2г, — х «= х. Описалшос только что отображение задает рел улярную систему координат (гч сл, я) в подходящей области.
!Эта система координат называется иилиндрическои'. Упражнение 6.1 Оиилиитг канут-нлзбудь .яаксижальную областьч в которой лллнлт~г)Чзлгиескал лзисплелла координат, корректно определена, найдите матрицу Яклзбц лкобзлзац координатные кривьле, коордлзнаплньле повергллоглплз, докажите регулярность залой систслы. 6.2.ог Сферические координаты Если (и, у, л) стандартныс евклидовы координаты, то для каждой точки Р = (л, у. ) определим три числа (г, б, р), выбрав в качестве г расстояние между Р и началоьл координат О, в качестве 0 улод хлехлду вектороьл ОР и плоскостью ХК, а в качестве р угол вежду радиус-всктором проекции точки Р на, плоскость ХК и пололлительныхл ллаправленисм оси Х. Криволинейные координаты в области и на поверхности. 87 Чтобы избежать неприятпогтсй, аналогичных тем, которые возникли при рассмотрении полярных координат, функпии !хц О, р) зададим в области !1 = Р~ Х, П, хде П замкнутая полуплоскость в координатной плоскости ХЯ, ограниченная осью ОХ и содсржашая положительную полуось ОХк.
Кроме того, будем считать, что х ) О, — к,12 < 0 < к,12 и 0 < р < 2к. Связь между координатами !хц у, л) и (г, О, уэ) в явном виде выглядит так: г = гсоа Осоясэ, у = гсовйгйп р, л: 7'яшО. При описаххных ограничениях функции (г, О, р) залают регулярную криво- линейную систсъху координат, называемую ссреричсской. Упражнение 6.2 Для сфсрсхчггкой системы каарс1инат найдите матрицу Якоби.
якобиан, каординс~тньсс криаыс, координатные поагрхногти, и дакаэкитг регулярность этой системы. 6.3 Касательное пространство к области в точке По аналогии с касательным пространством к поверхности, определим касательное пРогтРанство ух П в точке Р облагти П С сса как множество вычисленных в точке Р векторов скоростей всевозможных гладких кривых, проходяших через Р.
Если (х',..., хп) стандартныс координаты в 'йс"', и и Е Трй является ххектором скорое ги кривой (хх(1),..., х" 11)), причем Р = (хл(0),...,,хт(0)), то компоненты вектора и в коордхинатссх (х',..., хп) равны (хе~ (0),..., х" (О) ) . Так как отобраэкснис в точку являехся гладкой кривой, то 0 к ТрП. Так как в направлении любого вектора и можно выпугтить прямухо, параметризованную так, чтобы скорость полученной кривой была равна и, то '1х Й = .д", что определяет структуру векторного пространства на Тхай. Пусть теперь в области П заданы регулярные координаты (у',..., уа). Пусть и б Трй касательный вектор с компонентами (ххо отношению к стандартной евклидовой системс координат), равшгми (х,..., хс'), и -~11) гладкая кривая, такая что;(0) = Р, у(О) = а. Кривая 11) может быть записана в координатах у':;Я = (у~ !1),..., у" (1)). Набор чисел (у~ )0),..., уа (0)) называется ка японснта ни вектора и па отношение к регулярны.н каординатан у'.
Как связаны компоненты вектора и по отношению к стандартной евклидовой системе координат и по отношению к регулярной криволинейной системс координат.' По теореме о дифференцировании сложной функции, имеем дх" . х'!0) = !г')О), иными словами х = Оу, дф ' Е!эиволинсйные координаты и области н на поверхности. где д матрица 5!коби координат у'. По аналогии со случаем поверхностей, обозначим через ди, касательные вскторы пз Тгй с компонентами (г~,,..., г",), где через у~, обозначена частнал пРоизвоДнаЯ глы . Иными словами, сзл, это столбцы матРицы 5!хоби системы координат у'.
В силу вевырожденности матрицы 5!коби, ес столбцы линейно независимы, поэтому векторы ди, образуют базис касательного пространства Тгй, которь1и называется каноническая базисом ь Трй, соотььтстьувилим регулярным координаспа.н у'. Отметим, что ди, являются векторами скоростей каор„чинатных линий, проходящих через точку Р. Далее й = ~ ~~;у'ди,. Иными словами, касатсльньи! етстор раасн линейной комбинации базисные аскторог криволинейной сиспгсмы с коэффициентами ко.нпонснп~ами этого сектора по опгношенто к этоб крисолинейнои' системс. Посмотрим, как меняются компоненты касательного вектора при замене координат. Если (г',..., и) другис криволинейные координаты в й, то, записав кривую у в виде (г !!),..., -"(!)), найдем, что ду' у'(О) =; .
сэ(0). иными словами у =,У(у, )г, дгд где,У(у, г) матрица Якоби замены координат у' на г'. Итак, мы вывели закон преобразования комионснгп касательного оскгпора про зо.,нснс криоолинсйноб системы координат. Отметим, что оп такой жс как для поверхностей. Определим теперь, как меняются базисные вектора при замене криволинейной системы координат у' па "'. Имеем: (гхэ ь ') (Еь'м Еь 'ю) ду' дг' ди ') э д~, ,' .д,. л л В матричном виде, !5!я,,..., д,.) = (ди,,..., 5!и.),~!у, г).
Замечание. Результаты этого и нескольких последующих подразделов частично повторяют соответствукпцие факты теории поверхностен.,5то и неудивительно, так как регулярные криволинейные координаты у' у'(г,...,лп) можно рассматривать как параметрически заданную регулярную поверхность г: й †" размерности й = и. Однако,мы приводим краткие доказательства,на которые тепср1 можно взглянуть е.несколько иной точки зрения. К!зиволзснсйныс координаты в области и на поверхности. 6.4 Евклидова метрика в криволинейных координатах В каждом касательном пространстве Тр ! ! определено свклидово ск ыярнос произведение касательных векторов. Если г и св касательные вектора из ТрП, а (е,..., са) и (ш,..., и") их координаты (по отношению к стандартной системе координат), то цх (свклидово) скалярное произведение (е,и) равно ~,зусг'.
Пусть теперь у' регулярные криволинейные координаты в Й,и пусть (8,...,8") н (аз,....кч") координаты векторов е и ш по отношению к у'. Мы хотим .записать скалярное произведение векторов е и ш через зтн координаты. Имеем е = ~ ~~ 8'д, „ ш = ~~~~ и 'дя,, (с,се) = ~~' (дя*, дя,)8'изз. ьз Положим ун = (д,, д,,).
Иными словами, матрица Ся = (ус ) зто матрица Грамма капозззлческого базиса (дй»,..., д, .) касательного пространства Трй'с. В явном виде, д й д й ду" дйзз Функции дн, определенные, на Г1, называются козтонснтажи сикладоеой' .иетришз, эпстганнызт е регулярной свете,ие координат. у". Отметим, что мы получили точно такую же формулу, как в теории поверхностей. На дифференциальном языке, з'=й йзьт=й (й * зС) й й длй сдай ~ (~ ', ~ауа~ =~, уму„',!у 6.4.1 Закон изменения компонент метрики при замене коорди- нат Посмотрим, как меняются компоненты метрики д; при замене регулярных координат у' на регулярные координаты з'. Обозначиъз через и, компоненты евклидовой метрики в координатах -'. По определению, !зо (д,*, .д„).
Имеем йс, = (д„, д„) = (~; д" дя„'~- "" д„,) й ) =~~,' ду" сзу',, ч с!уй дус дгр д-л ' ." ' й ' ~ дй' сд-з' (д ° , .д ~) = ~~,' й,з йй Еээээволээнсйныс координаты в области н на поверхности. 90 Иными словами, если С' = (дээ), Н = (Ьээ), то Н = /(у, л)т С,I (эд з), гле ( ) г обозначает трмюпонировзиие мзтряпы.
Снова отметим, что мы получили точно -такую жс формулу, как в теории поверхностей. 6.4.2 Примеры вычисления евклидовой метрики Вычислим компоненты евклидовой метрики в полярных, цилиндрических и сферических координатах. Легко видеть, что в каждом из этих случаев векторы канонического репера взаимно ортогональны. Поэтому все компоненты дн щэи э ф у равны нулю. Осталось вычислить длины векторов скоростей координатных линий. Очсвидныс вычисления приводят к следующему результату: 1) в полярной системе координат (г. д) евклидова метрика дз имеет вид: пл: сэг + г э'ээ 2) в цилиндрической системс координат (г,.р, з) евклидова метрика Ызз имеет вид: сэяз = пг + т Пзэ + сакэ; 3) в сферической системс кооээдинат (с, О, т) евклидова метрика сэь имеет вид: сэзз = а~гз+ гз ~~~ + сзсояз 0 Ьрз 6.5 Криволинейные координаты на поверхностях Пусть П С РЯ некоторая областть и ээ| регулярная поверхность в Р", заданная отображением э' : Й -э Р".
э1ы определяли координатные функции такой поверхности, рассматривая стандартныс координаты (и,...,л") в <", стандартные координаты (и,..., и ) в Р , и задавая отображение Э" с помощью семейства фупкпий и : т (71 , ..., и ) ла яа(п Если теперь в области П выбрать криволинейные координаты (эээ,..., ьь), заданные отображением й: П вЂ” э Р~, то поверхность эх может быть задана отображением э" с й, и сс параметрическое представление будет иметь вид: л:л (ээ,...,а ) ,а иа (пэ л) Криволинейные координаты в области и на поверхности.
Если М представлена таким образом, то говорят, что на !И выбрана криеолияеииил сигшежи иоордшипн (и'...., и"). Ясно, что если коораипаты и' регулярны, то поверхность ЛХ, заданная отображением )' е р, также регулярна. Фактически, криволинейные координаты задают то, что мы называли заменой координат (замсной парамстризации) на поверхности. /!ругими словами, замену координат па поверхности ложно рассматривать как введение на этои поверхности криволинеипых координат. '1'аким образом, криволинейные системы координат на поверхности мы уже изучали.
Замечание. Вылив мы описжеи, как выглядит евклидова метрика в криволинейной системе координат, и как меняется евклидова метрика при замене криволинейной системы координат. Отметим, что все эти рассуждения применимы и к метрике, индуцированной на поверхности. Приведем пример полезных криволинейных координат на сфере, называемых сшерсогрифичсскижи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
