TERM1 (1117971), страница 19
Текст из файла (страница 19)
6.6 Стереографические координаты на сфере Для простоты, рассмотрим двумернузо сферу радиуса Л. Пусть (.г, у, г) стандартные координаты в х, тогда сфера Л задается уравнением в + у~+ гз = Л~. Обозначим через Х северный полюс сферы Лз, т.е. точку с координатами (0,0, Л), а череэ Л южный полюс, т.е. точку с координатами (0,0, — Л). Пусть П координатная плоскость г = О. Зададим отображение и: Лз х,(Ю) — а П следующим образом.
Для каждой точки Р б Лз ~ )Я) рассмотрим точку Р' пересечения прямой ЛгР с плоскостью П. Положим по определению и(Р) = Р'. Отображение и называется стереографической проекцией из северного полюса Х. Отметим, что аналогично можно определить стерсографическую проекпикг из южного полюса. Отсрсографичсская проекция и задает координаты на сфере Л без северного пол|оса.
Эти коордияаты наэыва|отся свгсрсографииескщии. Вычислим в,явном виде стереографические коордипиты. Пусть Р = (л, у, -), и Р' = и(Р) = (и, и,О). Введем цилиндрические координаты (г, ю, г) . Пусть в этих координатах Р = (г, д, =), а Р' = (р,,г, 0). ,Легко видеть, что г и р связаны следующим соотношением: р = гЛг'(Л вЂ” г), о скула г' = л + р' = (Л вЂ” г)грз(Л".
Так как Р е Л, то Л 2+ 2+ 2 (Л )2+ 2 2 2 2 р Лз Криволинейные координаты в области и на поверхности. Так как ф Л, имеем 2 Л, —, = (Б — =)(Л+ х) = — ь(Л вЂ” х) = Л+з= (Л вЂ” ) р — Л и +и — Л г з з з х=Л, =Л рз+ Лз из+из+ Лз' откуда 2Лз з ! гл, Л2' 2Л'и из+ из+ Лз Итак, в стсреографнчсских координатах (и, и) сфера оа радиуса Л без севе!игг~г'о полах:а ~У зшпгсывается так: с 2Лз 2Лз ' + - '— Лз +Лз' из+гл+Лз' из+1Р ! Лз или, в полярных координагах (р, !с), так: с 2Л~р сов ю 2Лзр вш ьа р~ — Л~ х=, у=,, -=Л рз+ Лз: рз+ Лз 'рз+ Лз Кроме того, нам понадобится связь между цилиндрическими координатами (г, ге, х) точки Р и полярными координатами (р, р) точки !и = и(Р): 'Упражнение 6.3 Обобщить только ~то приведенные выкладки на с.а- пай гиперсферы в !Р". Отметим важное свойство стсрсографичсской проекции.
Таорома 6.1 Спгереограф1гческая проекция и:,зз — ~ !! переводит каохдукг (невырожденную) окруивносош на,'>з, не проходяи!ую ьерез северный полюс А, в некоторую оьруокность на плоскости ! 1, а окруихность на Л, прохог!яи!ую через У, в некоторую пряную на 1!. Доказательство. Второе утверждение теоремы очевидно, так как каждая окружность на Л, проходящая через Х, переходит, по опрсдсленгпо, 2 в прямую пересечения плоскости, задающей зту окружность, с плоскостью П. з 2 р 2Л'р Л рз!Л2 21!зрг: р х = гсовго Лз 2Л'рвш р у = гв!и-— 2 + Л2 р Криволинейные координаты в ооласти н на поверхности. Докажем первое утверждение теоремы. Для простоты, положим Л = 1.
Пусть окружность ч С Я~ получается как пересечение плоскости П и сферы,Ь' . Пусть плоскость П' задается уравнением сх + 6у+ сг = д. Подставляя в это уравнение выражение лля х, у и г через стереографпческие координаты и и и,получаем 2и 2и из+ ег — 1 ах+ бр+ сг = а + 6,, + с иг + ег + 1 и" + иг + 1 иг + и- + 1 2ии + 26и + с(иг + ег — 1) — 4, +и +1 откуда 2ии+26и+с(и +и — 1) — д(и +и +1) = (с — Я(из+их)+2аи+26и — (Я+с) = О.
Так как при и и с" стоят одинаковые коэффициенты, то это уравнснис .г второго порядка задает или округкность (ссли с ф д и есть хотя бы два разных решения), или прямую (если с = д и аз + 6г ф О), или точку, или пустое множество. Но, по предположению, окружность э невырождена (состоит более чем из о,шой точки) и не проходит через гУ, поэтому ее образ состоит более чем из одной точки и ограничен, откуда немедленно заключаем, то и(ч) окружность, что и требовалось. Вычислим теперь, как выглядит индуцированная метрика па Яг 1 (Ж) в стерсографических координатах.
Теорема 6.2 Иидуц1гровсииая метрики дог иа сфере .'зг рсднуси Я в сте- реисрофичсских иоордиисиаих (и, и) или (р, сс) и.иост еид: (иг +,сг + дг)г (рг + Лг)г Доказательство. Напоъшим, что евклидова метрика в цилиндрических коорлинатах (г, ~р, х) имеет ви1р дк = дг + г даосе+ с1г'. а сфера параметризустся координатами (р, гг) так: с 2Пгр „рг — Яг '1 р + г+ ог~ Р 1с г+Лг')' Р" + поэтому 2Рг(Нг + „г) 461г г 2Нг(66г Йг = др= др, (рг + 66 )г " (рг + 66г)г др = дсг, г + 66г) 2 ( г 16г) 666г (рг + Яг)г ( г + Нг)г ариволинсйные координаты и области и на поверхности.
откуда Ыг+ !!г)в !Рг+ !!г)г !Рг+ я')в ,!г г,1,г +!!г)г( Р +Р 'Р )' что и требовалось. Выкладка для координат (иь и) аналогична. Упражнение 6.4 Записапьь метрику сферы Яп С 'яп в сьясрсографичсских координатат. Следствие 6.1 Ствреографичвская проекция сохраняет углы,.нелсду кри- вы.яи на сфере Э Доказательство. Угол между пересекающимися кривыми на сфере это угол между векторами скоростей этих кривых как кривых в !кз.
Если кривые записать в стереографических координатах (и, и), то этот угол вычисляется стандартным образом с помощью метрики цй, г+ Й,г) ь!а' = (из+ пг+ !)г (ыы снова для простоты положили Л = 1). Уь оп между образами кривых при стсрсографичсской проекции это вычисленный с помощью евклидовой метрики Йвг = Йиг+а из угол между векторами скоростей этих кривых, такжс записанных в стсрсографичсских координатах (и, и). Отметим, что метрики ьЬг и Йаг отличаются умножением на функцию. 1!оэтому утверждение следствия вытекает из следующего более общего факта.
Лемма 6.1 !!рсдполохсилб ~то в облает,и !! С!Р~ заданы двв ри,пановых ивт!гики Йвг и Йаг. оголи ьаюиигесл на полооиитвльную функцию Лг, т.е. г г г Йа = Л" Йв". Тогда углы лсэкду парой ьюресскающихсл кривых, вычисленные по отношению к обсии эти,и,,иетрнкотиь одинаковы. Доказательство. !1усть; и б две кривые в й, пересекающиеся в точке г 2 !ь под углом о по отношению к сЬ, и под углом,З по отношению к ь!а-. Обозпачим через С и у векторы скоростей этих кривых. '!огда Йвг(б, 6) Л Йвг~ф, у) ЙаЦ!',6) сов о 3 ЙвЯЙв(г!) ЛЙв®ЛЙв!6) с1аЯЙаЯ что и требовалось. Здесь через Йв (б, у) и Йа ф, у) мы обозначили скалярные произведения векторов б и 6 по отношеншо к метрикам Йя и Йо соответственно, а через Йвф и Йа!с) длину вектора с, вычисленную по отношению к этим метрика л.
Пименова и пссвдоримапова метрики. '1'еперь для доказательства следствия достаточно заметить, что мы находимся в предположениях леммы. осцражненне 6.5 Обобщить результат сзсбстьил б.! на случаи стсрео- графи зесиой проекции еипсрсферы. 7 Риманова и псевдориманова метрики Прежде чем двигаться дальше, мы обобщим понятия евклидовой и индуцировапной метрики. Это позволит нам "задаром' расширить класс примеров метрик, нс заботясь о построении конкретной поверхности и ипдуцированцой метрики ца неи. Па самом деле, заметим, мы це определим ничего нового )см. замечание ниже), но доказательство этого последнего факта лежит далеко за рамками данного курса. Как было отмечено выше, индупировапцая на поверхности метрика в общем случае нс является евклидовой. Однако, у индупированной метрики и евклидовой метрики много общего, например, обе онн позволязот вычислять скалярное произведение касатеш,ных векторов и, как следствие, длины кривых, углы между криными и т.дд обе меняются по одинаковому закону при замене (регулярньзх) координат, и т.п.
д!ы определим сейчас общий объект, называемый римановой метрикой, частными случаями которой являются свкли,лова и индупированная метрики. Однако прсдваригельпо, для уп!зощенки вида используемых фо!змул, установим еле;!ующие соглашения. 1) !3 дальнейшем, мы будем опускать сизпзол суммирования, молчаливо предполагая, что по всем повторяющимся индексам !если пе оговорено противное), суммирование происходит.
2) Для работы с компонентами, меняющимися при замене координат (например, с координатами касательного вектора, или с компонентами метрики), часто будем пользоваться следуюшим приемом. новые криволинейные координаты обстначать той же буквой, однако над индексами писать штрихи (при этом, конечно, индексы !з и !', различны). '1ак, если в области Й были заданы криволинейные координаты у', то новые криволинейные координаты будем ооозначать через у' . Матрица Якоби замены координат у' на у' имеет вид (ду'/ду' ), обратная к ней мат!пша, совпадатогпая с матрицей Якоби замены координат у' па у', равна (ду' /ду').
При этом, условие взаимной обратности этих язатриц, с учетом сделанных соглашений, записывается так: ау' с)у Ду' с!уз ' ' дд' д!д где через д" и о', мы обозначили символы Кронекера !напомним, что мы з .7 не пишем суммирование по повторяюп1имся индексам). Римвпова н пссвдориматтова метрики. Далее, компоненты метрики д, в новых координатах будем обозначать через дпр. Во введенных обозначениях, закон преобразования компонент метрики будет выглядеть так: ду д1д Вернемся к изучению метрики.
Вылив мы показали, что компоненты д, евклидовой метрики, записанной в криволинейных координатах, являются глядкимп функциями от точки, удовлетворящи ли следующим условиям: 1) при каждо а фиксированном у матрица (дт (у)) симметрична и положительно определена (так как она является матрицей Грамма векторов канонического базиса касательного пространства); 2) при замене координат компоненты дт меняются по закону 1тл). Если эти свойства взнть в качестве определения, то мы прийдсм к понятию римановой метрики. Волсс формально, заданный в области й в каждой регулярной системе координат у' набор гладких функций' д, (у), таких что 1) при каждом фиксированном у матрица (д, (у)) симметрична и положительно определена, 2) при замене координат ут на ут компоненты дб меняются по закону яазывается ри ионовой .иетариной, заданной в области П.
Другими словами, риманова метрика это соответствие, которое каждой системс координат (у~,..., уа) сопоставляет набор гладких функций (дтт(у)) образующих в кажлои точке 1ут,..., у") симметричную положительно определенную матрицу, причем матрицы, соответствующие разным системам координат связаны по закояу (т). Числа дтт(у) называются ноииоттсттта.аи жсятриви в ноординвтая (у~,..., у"). Как уже было отмечено, примерами римановой метрики является стандартная евклидова ветряка и индупированяая метрика па поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
