TERM1 (1117971), страница 17
Текст из файла (страница 17)
совпадает с Х-ой компонентой поля Х'си((т). Доказательство закончено. Теперь, с помощью леммы о.2, найдем: пу~ (') ~ 'с ( ~с Ч) 1~.(уе: ).) (~М, тв) (;е,-).) Подставим полученное выражение в формулу для производной функпии длины с(т), положим т = О, воспольюуемся пре.шоложением о том, что кривая ~(Г) натурально парамстризована, и тем, что Е(1) = ос'(0) по определени ю.
! !онучи м: = 1з(0) - ((О) + / ( '. ''(1),;с) П Далее, тс ( Е(1), т)) = (с Е(1), ~) + (Е(1), х7 с), поэтому выражение для производной переписывается в виде с1с(0) = г'(О) — 1с(0) + / (~ (Е(г): Ч вЂ” (Е(1) ~тЖ) с11 гс, 12(0) — с' (О) + (Е (Кз), -'с(Кз)) — (Е(П), с(П)) — / (Е(1), Гс )) сИ. н '1еперьч представив 1';(0) в виде 1';(0) ЯП), ) (1,)), 1 = 1, 2, заметим, что с',(О) + (Е(1;), у(1;)) = (1,'(0)7(Х;) + Е(М ")(с')). 11аконсц, воспользовавшись леммой 5.1 и определением производной вдоль кривой, персии|нем выражение для производной в виде с1с'(О) = (д'(О)..,(1з)) -(р'(О),;(П))- Г (Е(1),~с)) й.
с1т 1'и Итак. доказано следучощее важное предложение. Криволинейные координаты в области и на поверхности. 82 Предложенио 5.4 (Первая вариация длины) Рассмотрим произвольную вариацию Ф(т,1) кривои' ",: (И,1з) — ь лХ, и у(т) и в(т) концевые кривые вариации Ф. Тогда троая производная длины й(т) кривой,,(1) = Ф(т,1) в напальный .момент времени т = О пмеет, вид Ю(О) = (д'(О), )(1з)) — (12(О),;:(И)) — ~ (К(1), ~йОз) а. зм Из предложения бд |зьггекает несколько важных следствии. Следствие 5.5 (Стационарность геодезических) зуюбая геодезическая ~(1) на поьерлности М являеп«я кривой стацтонарноп д.шны по отношению к произвольной вариации кривой З с зикр~пленными конца.нп.
Следствие 5.6 Если кривая ", геодезическая, лш д.т произвольной ес вариации Ф(т, Е) производная фрикции длины 1(г) в на зальныи' мо,,мент времени т = О и.месзп ьид дй(О) йт = (й'(О), )(1з)) — (р'(О), з(И)), де р(т) и а~т) концевые кривые вариации Ф. 6 Криволинейные координаты в области и на поверхности Выше мы уже видели, как выбор специальных координат на цовсрхности позволяет решать те или иные задачи. В настоящем разделе мы разберем обшую тсорию координат, частным случаем которых являются координаты на поверхности, а затем продолжим пзученис поверхностей. В случае евклидова пространства, класс рассматриваемых координат сушествснно шире стандартных евклидовых координат.
Нтобы отличать первые от последних, рассматриваемые координаты мы будем называть криволинейны ли, подчеркивая тем самым, что координатные линии могут, вообзце говоря, отличаты:я от прямых. Общая идея, лежащая в основе понятия каор,ншат, состоит в "оцифровке ' точек пространства. Иными словами, каждой точке из рассматриваемой области црострацства йо приписывается и чисел, причем разным точкам приписываются разные наборы чисел. Ясно, что оцифровка одной и той лес области может быть выполнена многими разными способами.
Например, каждую точку Р плоскости П1з мы можем задать ее стандартными свклидовыми координатами (и, р), а можем поставить в соответствие точке Р пару чисел (т, ю), где г расстояние от Р до начала координат О, а р угол от направления оси ОХ до направления радиус-вектора точки Р. Напомним, зто пара (т, р) называется полярными координатами точки Р. Криволинсйныс координаты в области и на повсрхности. Отмстим возникающис здесь сложности. Во-псрвых, осли Р совпадает с О, то направление радиус-вектора ОР пс определено. Во-вторых, для точек Р, отличных от О, у~ ол от направлсния оси ОХ до направления всктора 0!з определен неоднозначно (с точностью ло 2я).
'Ракии образом, нам нс удается корректно определить полярныс координаты на всей плоскости 1Рз. Однако, если ограничиться областью О, полученной из Я выбрасьпзанием, скажем, неотрицательной полуоси ОХ г, и положить, что р мснястся в прсдслах от 0 до 2я, мы получим корректно опрсдслснную "оцифровку" области Й, являющуюся примсром криволинейной системы координат. Имсппо такими объектами мы будем здсгь заниматься. 6.1 Определение криволинейной системы координат Пусть й некоторая область в Л", и (л~,..., я") стандартпыс координаты в .й"'. Рассмотрим еще один:жзсипляр 'йа (мы его обозначим через Р~~) со стандартными координатами (у ...., у").
Система из и функций у" = у'(л~,..., и'), 1 = 1,..., п, заданных на Г2, называется нспрсрывяой сястььжоп' координат, если отображение. б:: й — ~ к",, задагшос в вила являстся взаимно-однозначным, нспрсрывным, и обратное к нему отображение ь , заданное системой функций и" =:с (у,..., у" ) также непрерывно. Набор чисел (у~ ~Р),..., у" (Р)) лля произвольной точки Р Е й называется кряеотптйны.яи коордпяапщзгн тоти Р (по отношснию к системс координат, заданной функциями у', или, что тожс самос, заданной отображением ~Р).
Если все функции и'(у~,..., у") гладкис, то координаты у' называются г задки.яп. Отметим, что из гладкости гистсмы координат нс вытскает гладкость отображения й (достаточно рассмотреть пример замены координат на прямой Р~, заданнос в впдс л = уз: в точке у = 0 обратнос о гображение, т.е. отображение р, гладким пс является). Для гладкой сигтс лы координат определена жатрнда Якоои 1, гоставлснная из частных производных '.
',, и лкооипя 1, равный опргдсли- ,дуЗ/ толю матрицы Якоби. Криволинейные координаты в области и на поверхности. Гладкая система координат называется регулярной, если ее якобиап всюду отличен от нуля, иными словами, матрица Якоби всюду невырождена. Из теоремы об обратной функции вытекает, что для кркволинейной системы координат отображение б также гладкое, и его матрица Якоби равна 1, поэтому, в частности. матрица Якоби отображения к невырождена.
Замечание. 1!онятие регулярности криволинейных координат может быть определено и другим эквивалентным образом: криволинейные координаты называкзтся регулярныжи, если как функции .г" = и'1у',..., у"), так и функцпи уе = уе (л,..., л"), являются гладкими. Как уже было отмечено, этим свойством обладают рсгулярпыс координаты в смысле предыдущего определения. 11окажем и обратное. Из гладкости функшлй д (и',...,л") вытекает, что в каждой точке Р е 11 и се образе ы1Р) определены матрицы Якоби отображений ьс и 1г соответственно. 11о теореме о дифференцировании сложной функции, произведение этих матриц равно единичной матрипс, поэтому оба соответствующих якобиана отличны от нуля, и, значит, система регулярна в съгысле прсдыдущс1 о определения.
Отметим, что при решении конкретных задач на иного проще бывает проверять, что якобиан отличен от нуля, чем искать обратное отображение и проверять его гладкость. Иными слова ли, первое определение регулярности криволинейнои системы координат часто бывает предпочтительнее второго. Пусси (уе',...,ре) криволинейные координаты некоторой точки Р к й. Для каждого 1 рассмотрим кривую 6; (1), определенную для 1, близких к у~с так: Кривая д,11) называется 1-ой координатной кривой, проходязпей через точку Р. Отметим, что сели координаты регулярны, то кривая д;(1) также регулярна (доказките). Аналогично определим к-мерные кооудинашные поьсрхности. Для этого выберем к.
( и индексов (1ы...,1ь) и для Ре, близких к у ", зададим параметрически к-мерную поверхность так: и1ф~ 1з„) з~, с 1б 1~~ и) и" 1Р',..., Е") = и" (Уе,..., Е",..., Р",..., У"). Если к = п — 1, то к-мерные координатные поверхности называются координатнылт гиперпоеерхпостлжн. Отметим, что, как и в случае коорди- ариволинсйные координаты и области и на поверхности натных кривых, к-ыер1п,се координатные поверхности регулярной системы координат являются регулярными поверхноссямн (проверьте). Если в области Й заданы две регулярных системы координат, скаже л (у',..., уи) и («',..., «и), то, в силу взаимной однозначности отображении, задающих зти координаты, определена замена коордицат !у,..., у') на координаты !«~,..., «и), порожденная функциями — 1(~1 ии) и 1с 1 и) Х!атрида Якоби,У!у., «) = ~ ",) этой системы функций и определитель С' 11л' д(1у, ) матрицы д(у, ) называются соответственно «сотряс!сй Якоби и лкобнстозс этой замены. 6.2 Примеры криволинейных систем координат Приведем некоторые примеры криволинейных систем координат наиболее часто встречающиеся в задачах.
6.2.1 Евклидовы координаты Если отображение 1'; определено на всем йи и является тождественным отображением, то криволинейная система координат, порожденная !',, совпадает с самой евклидовой системой координат. При этом матрица Якоби в ка1кдой точке йи постоянна и ранна единичной матрице, якобиан равен 1, поэтому это регулярная система координат; координатные кривые это параллельные координатным осям прямые, проходящие через данную точку; координатные х-мсрньсе поверхности зто й-мерныс плоскости, проходящие через данную точку параллельно некоторой й-мернои плоскости,натянутой на координатные оси.
6.2.2 .Линейная система координат Если отображение й:но произвольное линейное отображение, то на йи определена криволинейная система координат, если и только если матрица А„, задающая отображение й, невырождена, и тогда зта система регулярна. Матрица Якоби регулярной линейной системы постоянна и совпадает с латрнпей (у1и) ': якобиан равен 1Сс1е11,1и). Координатные кривыс и к-мерные координатные поверхности это соответствующие прямые и й-мерныс плоскости. Елзллволллнсйные координаты и области и на поверхности. 6.2.3 Полярная система координат Если (л, у) стандартные координаты на плоскости, .то положим < и = г соя Лв, уз = гьлп ~р, где г > О, а 0 < ьз < 2"г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
