TERM1 (1117971), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пример. Пусть ч~ стандартная евклидова плоскость с декартовыми координатами (г,у). Папомпим, что метрика на .йз имеет вид двэ дзэ + ду . Поэтому все символы Кристоффеля тождественно равны нулю, и уравнения геодезических принимают вид й=О, Очевидно, их решения это вссвозможныс прямые на плоскости и только они.
Итак, доказано следукпцее утверждение. Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. Утворжд(»пио 5.6 Геодезические на с»па»(дарт»»о(1 евклидовои и.»оскюсти Зта бебВОЗ иааКНЫЕ иРЛьЯЬ(Е Лииии. Упражнение 5.8 О»(исав(ь гсодезичс(кис на следующих новсрхностпях( ° ст(»ндартная су»ера ч л радиуса К, заданная в евклидовом пространств( й уравнение.и х + у + 2: Л ь прямой цилш(др в 1[»з над плоской кривой, з ° круговой конус, виданный в Рз уравнением х' + уэ — гэ = О.
Примор. Изучим геодезические на поверхности вршцения, заданной в евклиловом пространстве [а парамстрнчески так: х(р, х) = [( ) сов(р, у(уй х) = [(х) ыпуй л(р, х) = где 1( ) стра(о положительная гладкая функция. Поскольку канонический репер имеет вид ди = ( — 1(з) з»в (о( 1(л) сов »о. 0), д, = ( » (х) сов уб [ (з) в»п »о, 1). первая квадратичная форк»а поверхности вращения записывается так: [вэ = Ф')) "-з+ ('+ Фл)) ) "=' Вектор нормали к поверхности вращения найдем кбк нормированное век- торное произведение векторов канопп »еского репера. Получим: 1 1 + [ (л) зу =, (сов л,вщ(р, — [ (х)) Выясним, какие из параллелей и меридианов (т.е. координатных линий х(» и»с = »сб соответственно) являются геодезическими.
Начнем с параллелей. Каждая из них представляет собой окружность, лел(ашую в плоскости, перпендикулярной оси Ож Вектор ускорения плоской окру»кпости в точке Р = (;о, хв) колцнеареп вектору (сов [о, вйпр, 0). Этот вектор, очевидно, колинсарсн вектору (У(Р) нормали к поверхности, сели и только если 1 ( б) = О. Итак параллель з = (» является гео,чезичсской, если и только если функция [(х) имеет в хв критическую точку. Рассмотрим теперь меридиан р = [ос(. Оп тоже является плоской кривой, лежащей в плоскости, содержащей ось Ох и получающейся из координатной плоскости Охх поворотом вокруг О на угол (рб. Пусть сначала (о(» — — О. Тогда лсридиа(» лежит в плоскости Ох и задается в этой плоскости так: х — [(з) = О.
Поэтому вектор нормали к меридиану в этой плоскости может быть записан в виде (1, — (((з)). Вернувшись обратно в [Р~, получим вектор (1, О, — [ч(х)). Случай произвольного (рв получается кз Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. 77 рассмотренного поворотом на угол р вокруг оси Ож Итого, вектор нормюви к меридиану р = ре в точке !э = (рв, ») имеет вид (сов р, сйп р, — ~'!»)), т.с.
колинеарен вектору»э'(Р). Таким образом, любой меридиан является геодезической нв поверхности вращения. Итак, мы доказали следующее утверждение. э'тверждение 5.7 !Русть Л7 С'.йз поверхность вращения графика палалштельной гладкой У!ункиии Д»). Тогда каждый меридиан на 57 яьлястся геодезической. Среди параллелей геодезически.аи являются тс и только тс, которые соотвстствуюпь крита севки.я тачкам функ1!ии 7. Следствие 5.4 Геодезические на стандартной де у вернои' сфере эиьа большие круги и только ани. Доказательство.
! о что большие круги являются геодезическими вь~текает из утвари дания 5.7. То что других гео,чсзических нет вытекает из слелствия 5.3. Доказательство закончено. Запишем теперь уравнения ьсодезичсских на поверхности вращения. Для этого удобно перспараметризовать ес, выбрав на графике функции 7 натуральный параметр. Будем считать, что эта кривая звланв как плоская натурально параметризованная кривая в плоскости Ои» в виде и = л)!), » = »(!), глс и(ь) ф О. Тогла поверхность вра|цения парвметризуется так: л(р,!) = и!!) сов р, у(рД) = л(1) в!и |р, »(ЭэД) = »!!). В этой параметризации канонический базис имеет вид дг — — ~ — »(!) тп рр, и(!) сов ьс, 0), дй — — (л'ф сов ~р, а'~!) вгпп р, »'(!)), поэтому первая квадратичная форма записывается так: цз д з, р)зд,з ! ( 1~!)з +»1(!)з)д!з,р)з(д, з ! ) .)7)') Перейдем к новому параметру т = г!!), такому что аг = а!7»!!).
Окончательно, первая квадратичная форма поверхности вращения в параметрах (,р, г) имеет вирр дв = р~г) (Н рз + Йгз), где Р(г) = л(!(г)) . Отметим. что геометрический смысл функпии р(г) попрехснеыу очень прост: это расстояние от точки (р, г) поверхности до оси врашсния. Чтобы записать уравнения геодезических на поверхности вращения, нвм нужна матрица О первой квадратичной формы и обратная к ней матрица О ', которые могут быть записаны так: Р(г) и с — 1 ! |Р!г) Элеъленты дифференциального исчисления на поверхностях. Выпишем символы Кристоффеля для поверхности вращения.
Поскольку матрица )т диагональна, в выражении для каждого символа Кристоффеля будет ровно одно слагаемое. Положив и' = р и ил = т, обратив внимание на то, по первая квадратв швя форлла це зависит от ил, получаем: 1 11рдд11 2' ), ди' 1 „,дд„ 1 Г,, = ,1 Г22 Точно так же,получаем ддлл дд11 — 2р(т)р'(т) †)У(т) .2 1' 2 Г,л 2 Г,з —— В итоге, уравнения геодезических имеют вид: Пусть Т(я) = (лр(я),т(а)) решение уравнения геодезических.
Вычислим Угол о 11сждУ геоДезической и меРиДианом (Ре, т), с котоРым гсоДези- ческаЯ 1 пеРесекаетсЯ в точке Р(лс) = 1Ре, те = т(ае). Касательный вектоР к геодезической имеет вил лл" = (р, т), а касательный вектор к меридиану (О, 1) (мы обозначаем точкой пронзво,)ную по параметру геодезической л, а ппрвхом производвукл по т).
Поэтому, тр(т)л г соя о дЖТМ'-~")СЖ|' ~дт.~"' и, соответственно, вша = 'т ,Я~ + тз ' (мы пользуемся предположением, что р(т) ) О). Рассмотрим на 1 еодсзической ~(я) фупкпило с(я) = р(т) ялп о, и продифференпируем се по параметру 1 2 (дд12 — д 2 дил 1 22(дд12 2 дил 1 2 (ддзз — д 2 диз дд11 сЭд11 1 — ) =О, ди' ди' с)д21 дд12; 2р(т) р' ( г) 1 1 ) Р'(1 ) сЭи ди 2р("г) р( ) дд21 дд22 ) дил ди' ) диз ) 2р(т) 2 р(т дд1 2 2 с)и' — =О=Г-„, — )= =: ддл ') 2р(т)р'(т) р'(т) и диз! 2р(т)л р(т) + д ддгз + ди' ддзл + д О= р+2 фт, , р'(г), р(т) ! О = т'+ (т — 1рз). р(т) Элементы дифференциального исчисления на поверхностях.
в. Получим: с(в)— р(т)ф (р'тф+ рлр)(лрз + тз) — рф(фр+ тт) (фз + тз) "лл з Перепшпем числитель последнего выражения в виде л ! рт" (лр+ 2 фт) — ррт~ т'+ (тз — ф )). р р '1'ак как выражения в больших скобках равны нулю в силу уравнений геодезических, заключаем, по с(в) = сопя!, вдоль произвольной геодезической. Этот факт носит название теоремы Клеро. злтворжденисл 5.8 (Теорелма Клезро) .11уенш;:(в) произвольная геодезическая на поверхности, полученной вращение.ч плоской регулярной кривой оокруг пря злой, лежащей в той лес плоскости, причем ось вращения и кривая не ллересекаютея. Тогда произведенш. с(в) расстояния от осн ьращсним до точки у(в) на синус угла .иезиду т(ь) и соответствующим меридианом есть ве.нлчинсл постомнноя вдоль с(в) = р(т(в)) вш о(в) = сопя! С помощью теоремы Клеро можно решить, например, следуюлпую задачу.
Ълцражнонио 5.9 Опллсилпь все повертности враи!еллия, на которые илш- юплся замкнутыс геодезические. 5.5 Экстремальные свойства геодезических Пусть М как обычно, регулярная поверхность. Рассмотрим на М произвольную регулярную кривую у: [!л, !з] — ч ЛХ, и обозначим через Р = л(!л) и Гчл = у(!з) сс концевые то лки. Далее, пусть !л некоторое подмножество плоскости ~ з с коордлшатами (т, !), ограниченное прямыми т = ште и двумя кривыми ! = !л(т) и ! = Ь (т), где !л(т) ( Ь (т) для любого т б [ — те, то), и !л(0) = !л, а !з(0) = !з, см.
рис. 10. Гладкое отображение Ф области С в поверхность М называется ослриацисй кривой т, если Ф(0, !) = ";(!). Кривые р(т) = Ф(т, !л(т)) и у(т! = Ф(т, !з(т))), по которым движутся точки Р = Ф(О,!л(0)) = р(0) и Гд = Ф(ОЛз(0)) = д(0), называются концевыми кривыми. Если р(т) = Р и д(т) = лл для любого т, то отображение Ф называется ьариоцисй с закрепяенньл ни концами. Калсдая вариация Ф задает, очевидно, се лейство кривых, (!) = Ф(т, !), причем уо(!) = 0(!).
Кроме того, в каждой точке з(!), вариация Ф определяет векторное поле дФ(0, !) дт Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. 80 ~г('(у Рис. 10: Область определения вариации Ф которое яазывается поле.н еарнацит Г!оле вариш1ии зто касательное векторное поле к другому семейству кривых, задаваемых отображением Ф: к кривым нс(т) = Ф(т,1). Отметим, что в концевых точках пояс вариации вовсе не совпадает с касательными векторами к концевым кривым. А именно, имеет леото следу|ошая лемма (здесь и ниже точкой обозначается дифференцирование по 1, а штрихом дифференцирование по т). Лемма 5.1 Оентора скоростей нош1ееыт криеыт е начильный момент т = 0 удиилетьорлюгп слсдунэщи.н соотношениям: р'(0) = 11(0) у(П) + Е(П), у'(0) = 11з(0) у(Хз) + Е(1з). Доказательство.
Докажем, например, первое соотношение. По определению имеем: дФ(т, П(т)) дФ(т, П(т)) ОФ(т,1~ (т)) М1(т) сГт дт д1 и'т Подставив значение т = 0 и вспомнив, что П(О) = 1ы получим: ,(О) дФ(О,П(ОИ+ дФ(О,П(ОИ1',(О) =:(П)+ (~,У',(О) дт д1 Доказательство закончено. Рассмотрим функцию ь(т), определенную на отрезкс ( — те, те) и равную длине кривой у,.
Вычислим производную этой функции в т = О. /1ополнительно предположим для простоты, что кривая у(1) натурально параметризована. Запишем функцию У(т) в виде ты,' 1 г(т) = / )-;, )а, и воспользуемся теоремой о дифференцировании интеграла, зависяшего оз параметра. Получим: дб(т) Гиг1т1 ' = 1з(т) Ь(1з(т))Ц вЂ” 11(т)! ),(1,(т)) !+ / Ц7, (1) !'Й, дт Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. 13ычнслим производную ~;н(1)~ '. Для этого нам понадобится следующая лемма.
Лемма 5.2 В сдсланньсл еьсюс обозначениях, пжссш жессио следующее раас.нсшоо: ~,7,(1) = ~,о,'(т). Доказательство. Пусть ца поверхности фиксированы координаты (и',..., ио '). Обозначим через н'(т,1) координатное представление вариации Ф. Тогда й-вя компонента поля ~,,Н(1) имеет вид: д а с я т.с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
