TERM1 (1117971), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если задана риманова метрика на области П, то в каждой точки Р б П можно естс~ твенно определить скалярное произведение касательных векторов и и тв из 'Ггттт' так. Если в обтисти фиксированы регулярные координаты, то относительно этой системы координат определены компоненты (тд,..., и") и (ид,..., ттг") векторов и и ит в и компоненты метрики д, .
Положттзт: (тб и ) = д„,ити,т. э'тверждение 7.1 Оттрсдслсннос вытис снилярное произведение нс зттви- сита ота выбора координаиь римапова и пссвдоримапова метрики. Доказательство. Деиствительно, если в новой системе координат у' векторы и и и имеют соответственно компоненты и' и ил', а компоненты римановой метрики выглядят как д,, то ду' ду' ду' „. ду' длл и' ш' =, '.,длл,' и ', лс =д, ц5~ь лл~ =д„ли'лил, ду" дуд ' ду" ду' где через оЛ обозначены символы Кронекера.
Доказательство закончено. '!'акллм образом, сели в области Й задана риманова метрика, то по отношению к этой метрике можно вычислять все то, что мы вычисляли,лля евклидовой метрики, а именно, длины касательных векторов и длины кривых в области Й, углы между касательными векторами и углы между пересекающимися кривыми в точке пересечения. Кроме того, можно вычислять и-мерный объем подобластей Г в Й, а именно, если у' криволинейные координаты, то объем области Г в метрике С = (д, ) это интеграл по области Г вида ), дду' длу"', где д = дел, л ' (проверьте.
что для евклидовой метрики это определение совпадает с данныял в курсе математического анализа). Более того, если в области Й с римановой метрикой задана регулярная А-мерная поверхность, то на ней можно определить индлуллллроьпнллуло жещрику точно так я,е, как мы ато проделали для случая евклидовой метрики. Замечание. Практически все конструкпии, описанные нами выше для индуллированной ялетрики на поверхности, дословно переносятся на случай римановой метрики в обласги.
В частности, определены изометрии областей с метриками, геодезические в области с метрикой, и т.п. Замочанио. Естественно поставить слелуюплую обратную задачу, Пусть дид(лл~,.... ил) нскотоРаЯ Риманова метРика в области Й С Р~. ЯвлЯ- ется ли эта метрика индуцллрованной? Другими словами, существует ли такая регулярная параметрическая поверхность и: Й вЂ” л Р", что соответствующая индуцироваппая метрика на Й совпадает с заданной. Это так называемая задача о локальном ллзо,,ллеплрллчно и погрлуииелллт. Она весьма сложна и выходит за рамки нашего курса. Оказывается, сели нс требовать бесконечной гладкости поверхности, то эта задача разрешима положительно. В противном случае все становится существенно сложнее (схл., например, обзор Нэша в У.'л!Н). Отметим, что в доказательстве утверждения 7.! мы нигде нс пользовались ни симметричностью, ви поло>кллтелльллойл определенностью матрицы С' = (длу).
Ото соображение приводит к общему определению билинейной !ллллл квадратичной) формы б„л на поверхности (или в области евклидова Римапопа и пссвдоримапова метрики. пространства) как заданного н каждой системе коорлинат у" набора гладких функций 6„(у), которые при замене этих координат па координаты у' меняются по закони Ейроз!е того, рассуждения! аналогичные приведенным в доказательстве утверждения 7Д, показывакхг, что для любых двух каса сельцы х векторов с координатами и! и т! выражение 6! и!т! нс зависит от выбора системы координат (инвариантно).
Последнее означает, что ногино корректно определить значение билинеиной формы на паре векторов и и т, положив его равным 6!!и 7!!' Билинейная форма называется симметричной, если в некоторых координатах д' сс компоненты 6П симметричны по ! и Е, т.е. 6; = 6зо Легко видеть, что симметричность нс зависит от выоора координат у'. Е(ействительно. если у' новые координаты, то ду! дФ ду' ду! дуг ду' ду" ду!' " д,у" дру ' ду!' ду" Таким образом, если компоненты оилинсйпой фор лы в некоторых координатах симметричны, то они симметричны и в любых координатах.
х1астным случаем симметричной билинейной формы является так называемая псевдоримаиова .метрика, определяемая следуюгпик! дополнительным условием: в некоторых координатах у! для любой гочки Р й й матрица (6!;(Р)) невырогкдена. Из явного вида преобразования билинейной формы при замене координат вытекает, что это свойство также не зависит от выбора координат у'! сели в некоторой системс координат матрицы (6,!(Е')) невырогкдены, то зто же имеет место и в любой системе координат.
рассмотрим пример пссвлоримановой метрики в .Р.", заданной в стандартных координатах в виде двг С,"(д )г + ~~, ' (д л)г ю=! !=л+! Такан метрика назывангся ассвдоевклидовай метрикой индекса в. Эта метрика порождает в каждом касательном пространстве Ен.йп пствдоска.- е!яЕгпое произведение ( ! ),,: если и = (и',...,ип) и т = (и',..., т ) два вектора из ТрХп, то (и,гв), = — ~ в'аз+ ~ ~г'и!!. !=1 л=, -!-! Пространство я.", наделенное псевдоснклидовой метрикой индекса в (псевдоскзлярным произведснием (, ),), будем обозначать через Ь," и называть псевдосвклидосы.и, пространство.я индекса в. Римапова и пссвдоримапова метрики.
Назовем пссвдос!угробь Л" ,' (Л'! индекса и и радиуса Л множество точек пространства ",, удовлстворяюших уравнению Нсевдосфера может быть положительного вещественного радиуса, нулевого радиуса и чисто ынимог о (комплексного~ радиуса, т.е. радиуса Л = 1р 2 (при этом Л~ = — р" !, Ясно, что псевдосфера нулевого радиуса является конусом, который называется изотропниж. Примо!и В качестве примера рассмотрим плоскость .йз~, на которой фиксированы стандартные координаты (х, х ), в которых пссвдоскалярное произведение записывается в виде — (дх') + (ах ) .
Тогда изотропный конус это пара прямых .с' = ххз. Псевдосферы вешественного радиуса расположены в области, ограниченной изотропным конусом, и определяемой неравенством (хз! > (х'!. Они представляют собой гиперболы. Аналогично. в ограниченной изотропным конусом доно:шительной области )и ! > х, см. рис, 11, расположены псевдосферы мнимого радиуса. Они тоже суть гиперболы.
!эис. 11: Плоскость Минковского и псевдосферы э'пражнение 7.1 Г)писать в(с линсйныв преобразования плоскости ЯХинковского АН сохраняюи!ис пссвдосьалярнос произведение. Показать, что эти преобразования образуюгп группу гиперболических повара|лов, когпорал согпгошп, из всех иатрнц вида с ж совЬ,р х юп1ыо хв1п!э р ~сов!э!. )! ' где знаки в казкдо.я из сшолбцов одинаковы. Рассмотрим важный для физики частныи случай псевдоевклидова пространства пространство Р1ы называемое просшранствоя Минковского Римапова и пссвдоримапова метрики.
или пространстаснно — арелснныл континуунол. Это пространство возникает в специалыгой теории огггосгггтеэгыгости. '1очки;этсэго пространства имеют координаты [1, и', и', и ) и называются событилли, причем координата[ соответствует времени !эсалггзаггигг события, а пространственные координаты [и~, и", яз) месту реализации этог о события. В качестве пеева доевклидовых координат принято брать координаты [аз = с[, и~, лс, аз), где с скорость света в вакууме. Таким образом, псевдоевклидово скалярное произведение векторов Р = [Р = с[, Р, Р, Р ) и ск' = [сгг сэ[сэ, с1", сд-, с1з) имеет вид: Робзо+ Рг[кг+ Рз -)з+ Рз кз з„[Х+ Рг[кг + Рзбкз+ Рсг[зз Псевдоевклидово расстояние между точками Р и СХ, т.е.
величина, ран° э Ся — а, я — аг,, .гол между собыпгияни Р и бг; нулевые векторы, т.е. векторы И, гакис что (!', 1с)г = О, назывщотся саепгоаыни [псэсэтому изотроаиыи конус называетсн саетоаыл), векторы Р, ллн которых [Р, Р) ( О, называются арслсниподобныли, а векторы Р, для которых (Хэ, Р) > 0 пространстаснноподобны.,яи. Из постулата тсории относительности, гласящего, что скорость любого объекта не ложет превосходить скорости света с, вытекает следующее описание траекторий движения материальных точек: это вссвозможныс траектории в . сг с времепиподобными векторами скорости. Пусть М регулярная поверхность в пространстве .Й",+', заданная параметричсски в виде г: й — э .с',.'Ъ .
Точно также, как и в случае евклидова пространства, заданное в !и",+ пссвдоевклилово скалярное произведение индуцирует в каждой касательной плоскости Тр гХ поверхности ЛХ псевдосвклилово скалярное произведение индуцироаанную пссадорп наноау нетрину. !",сли это псевдоскалярное произведение положительно определено для каждой точке Р поверхности 1Х, т.с.
являстся настоящим скалярным произведением, то поверхность г[Х назьгвается пространстаюшо подобггог!. Пример. Рассмотрим в пространстве г[ипковсгсого з[ псевдосферу 5)' а-г-г чисто мнимог-о радиуса г11. По определенинэ, псевдосфера Я' задается уравнением — [лг) + [л ) + + (лп+ )г = — !1 . Ясно, что пссвдосфсра Яг состоит из двух компонент, разделенных координатной гиперплоскостью л' = 0 [скажехгг при и = 2 это обычный двуполостный гиперболоид).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
