TERM1 (1117971), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть Й область, в точках которой заданы две квадратичные формы д и д, гладко зависящие от точки. Если фиксированы координаты, то можно считать, что просто заданы матрицы гд и Я этих форм, гладко зависьпцие от координат. 11редположим. что форма д невырождепна и по.ложительно определена. Можно ли задать на Й параметрическую поверхность г так, чтобы ес первая квадратичная форма совпадала с д, а вторая с д? Оказывается, в общем случае ответ отрицательный.
Дело в том, что первая и вторая формы пе являются независимыми. Связь между ними выражается в так называемых усьовиях 37енмрсона Хьодаиии. Мы поговорим о них в следующем разделе. Воино удалось показать, что этих условий достаточно для восстановления поверхности. Теорема 4.5 (Бонне, 1867) Бели заданнььс на Й пояожиопс,ььно огьусделенная квадратичная форма д и произвольная квадрата ьная фор,.иа д ддоьле тьоряюпь условиям Пеьгьсрсона Кодаици, то существует единстт иная (с точностью до двилсения объсмлюьцсео просьпранства) ььоаерхносьпь на Й, такая ьто ее первая квадраоитная форма совгшдает с д, а вторая квадратичная форма совпадает с д.
э Впервые часть этих условий была найдена Гауссом. Полная система уравнений была независимо найдена Петерсоном 11853), Майнарди 118З6] и Кояании (1867). Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. Случай произвольной кораэмсрности. В ланпомразделсмывсюдуограпичивались случаем гиперповерхностсй. Здесь мы вкратце овсу лип общий сяучай. Итак, пусть М произвольная и-мернав поверхность в 2 . Рассмотрим произвольную точку Р Е М, и пусть ТгМ касательное пространство к поверхно.тн в .той точь., а 17гМ) ортогональное дополнение к Тг ХХ. 7[лл пропана.зьного»лектора Х Е Не обо.шачим чер» з Х и Х его ортогональные проекции ца пздпростран»тва 7гбй и угг»М) с»очветт .у ствснцо.
Пусть Д!) произвольная кривая, .лежащая на М н такая, что з!О) = Р, и б вектор скорости '.10) кривой З в точке Р. Обозначим через д)Е) вектор уз)И. Пусть »1»»Ц..., иа) параметрическое задан»»е поверхности М, и пусть кривая 1 заластся в координатах!»»Ц..., иь) так: и' = »»'1!), » = 1,..., Л. Тоглай = (ил,...,и ), у = (~гш и') ю ~~ ги,и, и'и» -Г ~гш и', поэтому д® = ~~» )гк,к,) и и»» паек ольку )» „, )»У = О. Таким образ зм, величина я)Е) зази ит не оч конкретного вида кривой у, а лишь»»т л компонент вектора скорости с и векторов д»1Р) = (»'и, „,1Р)) 1Р). Пу»ть 3, = Н ПР) ! Г .
„л. Фиксируем в»»ргагона.зьнл»м Допошешли 1ТГа|) к 7ГМ оРтоноРмиРавш»ный базш»»Л = зй»1Р),... »1»ни О »У'и л)Р), такой ччо»зеклары вил»..., ди», »у'л,..., гр„ь образую» и »лолли тельно орион» ировшшый базис в Ив..1е» к проверить, что векторы .О»',Я) можно выбрать д»ля каждой достало шо близкой к Р точки сс чак, глобы их коордицагьл гладко зависели от точки. Тогда д»»Р) = 7' 1~ „,„,,и )Л' Мол»но пока»ать, чго в» к горы»1, 1Р)»адают билни»иную форму на линейном просзранстве ТгМ со знач»пнями в !Тифу) !те. билинейную функцию, значении которой л вект ры и.» 1тгМ)' ). Зчл билинейная форма назывезся отарой !р)»он»1оис»»»»»»»»о»лой я фор.иой воосрекости. Многио конструкции, обсуждавшиеся выше, могут быть обобщены на общий случай. В час гное ли, сюд этой билинойцой формы иазывае»ся оскшар он средней криоионм поверхности. Поверхности нуяевой средней кривизны '1назь»ваемыс, как и в двумерном сяучае» минимальными поверхностями) также обладалот рядом вазкных и нигере»ных»вой».лв, по д»»леч их пр»»лме»ам инте»поивного изучении.
5 Элементы дифференциального исчисления на поверхностях Материал, собранный в данном разделе обычно нг входит в стандартный курс лекций по классическая диффереш!ивльной геометрии..Зто связано с тем, что этот материал (в существенно более общей случае случае многообразий) излагается во втором семестре. Однако, по нашему мнению» знакомство с данным разделом не только углубит понимание классической теории поверхностей» но, что более важно, облс! чит пониълание су»щестузенно более сложных конструкций тепзорного анализа, излагаемых в следующем семестре. Элеи»сить» дифференциального исчисления на поверхностях.
5.1 Деривационные формулы Вейнгартена — Гаусса В практических задачах часто приходится рассматривать на поверхностях разные функции, в том числе, и векторно значпые. Последние, обычно, называются аскторныии поляжи на поверхности. Особь»й интерес имеют так нюываемые касательные секторные полн отобра>ке>»»ля, ставящие в соответствие каждой точке Р поверхности некоторый вектор из касательной плоскости 1) М. Говоря формально, касательное векторное поле Х на й-мерной поверхности зто, по определению, гладкое отображение Х парамстризующсй области П в векторное пространство Рь. Если (и,..., ил) координаты на поверхности М, то каждое касательное векторное поле Х может задается как набор функций Х»1и,..., и ), »' = 1,..., к.. По этим функциям однозначно восстанавливается вектор их 7рМ как линейная комбинация векторов канонического бюиса с коэффициентами Х': Х Х 1 д, + + Х ь д л Фу»»»г»»ии Х' называются киатонента.ш> касательногг> асктирносо гномы Х а кооудиналпах 1и,..., и ).
Наша ближайшая пель нау шться дифференцировать вскторныс поля па поверхности. )1ля простоты »»вложения мы вновь ограничимся случаем гиперповсрхностей, т.с. к = и — 1. Пусть поверхность задана парамстрически в ндс г: П вЂ” > .'й'. Чтобы продифферсппировать поле Х, нужно научиться дифференцировать векторы канонического репера. Напомним, что вектор д„каноничсско» о репера в точке Р это производная дгггди» радиус вектора поверхности по координате и' в точке Р.
Поэтому производная вектора д„. по координате и> зто вектор, равный второй производной радиус вектора: д , дзг .д„, = ди> " ди»ди) ' Для краткости, мы будем обозначать дифференцирование по ил нижним а' индексом л, например, —,,', = г,, а д„, = г,.
Как и,шобой другой вектор в точке Р, вектор г„раскладывается по базису обьсмл»ошего простра»»- ства .х", составленного из векторов г, канонического репера и вектора Л» нормали к гипсрповерхности. Соответствующие формулы и наз»знаются г)срг»ааил»онл»ь»ни у>ор.ну»аии Гаусса — Всйнгартсна. Выведем их. Рюложим вектор г,, по векторам бюиса л», ..., »„», »У: г; = ~Г„"т„+>1» Л», с где через Г~ и г)л обозначены соответствующие коэффициенты.
Умножив равенство (л) скалярно на >У, найдем, что у, = (г»>,,'У), т.е. матрица у, это ни что иное, как матрипа второй квадратичной формы поверхности. Элеъгентьг дифференциального исчисления на поверхностях. Найдем теперь г осффициенты Г~з. Прежде всего заметим, что так как гсг и д„симметричны по г и д, то из равенства )э) вытекает, что то же верно н для любых Г,", т.е. 1 ь = Гсг Далее, .умножим равенство 1*) скалярно па вектор г ь.
Получиъг: (г„, гь) = ~ Г;, диы гДе дед = (г,с, гь) матРиЦа пеРвой кваг1Ратичной фоРмы повеРхности. С другой стороны, очевидно, дд;, д1гч, г,) ь = <гзл:гг) + <с гйь) = 2 !гьд 3+ 2 Г яу ди" дил и дуг! х а 1 сьУиг ои а дде а =С, Г"д ь дуьс ч = ЕГ;ь,.~и, диг + ~~', ! гьУсп, + ~~, 'ГР"гд„,, + ~ Г.,'",д„, и Теперь вычтем первое уравнение из суммы двух последних. Воспользовавшись си лметрисй Гг, получим: :й дчуя дди дчб, ч ди' ди1 дил 1!так, мы зависели систему линейных уравнений на неизвестные ГЯ с матрипей д а первой квадратичной формы (ггндексы 1 и г произвольные, но фиксированныс). Эта система, очевидно, всегда имеет единственное решение, которое легко записать в терминах матрицы, обратной к матрице (д„). Оту матрицу в дифференциальной геометрии обычно обозначают через дсг.
Тогда ответ записывается в виде: 1 х ( „~дд, дуи, ду„.,)') 2 ~ 1х' ди' дггг ди" С-(д- Определение. Набор чисел Г~р заданный только что выписагшыми формулами, называется еижеолааш !Српстсгфдгеля поверхности лХ в точке р в системс координат (и,..., и" ). !1оследнее равенство справедливо для любого набора индексов г, Г' и 1ь По- этому можно записать систему из трех таких уравнений, добавив к нему ешс два, получающихся пиклической перестановкой индексов. В итоге по- лучим систему следующего вида: Элементы дифференциального исчисления на поверхностях. К деривациопным формулам также, обычно, относят выражения для произволных нормально| о векторного поля»1 поверхности вдоль регулярных координат. Получи л их.
Прежде всего, так как поле Х по определению имеет единичную длину, его производная "»', вдоль координаты и' перпендикулярна исходному вектору |У. !1озтому вектор 1»'» принадлелсит касательной плоскости и может оыть разложен по векторам каноническо| о базиса. Запишем это раэложешле: Ж, = ~ авда,, где Ь;,' некоторые числа.
Умножив зто выражение скалярно на д„, получим: (и' дч»1 = У Ьз(с!»»~; с1„») = У Ь|93 где, как обы шо, через д,» обозна |сны коэффициенты первой квадратичной формы. Чтобы вычислить скалярное произведение в левой части последнего равенства, заметим, что (|»', дч») = О, поэтому О =,'," = (йод„»)+ (Жги,), д(|У, да» ) где через гы обозначена, как и выше, вторая производная радиус вектора поверхности. Однако, (»»|», г»») = в»», где в»» элемент второй квадратичной формы поверхности. Поэтому, получаем еле,|уюшие ливеицые уравнения на коэффициенты Ь~» (индскс | фиксирован): — вя» = ~Ь»йзя, Ь =1,...,п — 1.
Матрица этой линейной системы совпадает с матрипей первой квадратичной формы поверхности, поэтому система имеет единственное решение, которое можно легко записать через обратную к матрице (д| ) матрицу (йЧ ' Ь~ = — ~ сй»„. д '1. ь Таким обрж»ом, коэффициенты Ь выражаются через первую и вторую квадратичные формы поверхности.
Итак, нами доказано следукппее предложение. Предложеэние 5.1 Для вторых производных радиус вектора неособой поверхности ЛХ имеют мссл|о следующие деривационные формулы Гаусса Вейнгартена: д а„. =.„= У ГР..„+й„д, » .» сдс д» .матрица второй квадратичной формы повсрхностц а Г| си.кволы Е'ристоффс.т поверхности Л1. Символы Л!риси|оффсля оычис.тн»тся в терминах первои'. квадратичной формы поверхности и сс псрвыт Элементы дифференциального исчисления на поверхностях.
производных так: 1 С „,Лсы ль; Лг,)) 2 ~,' Оп' Оллл ди" Проллзводлльлс нормального оеклпорного поля Л вдоль рсгулярнытх координат на слоьерхноспт илсеют вил) О)л' 6,'"О„, ь где коэффиииснплы 6~ ьыражоютсл через первую и вторую квадрапличные фориы поверхности таке 6, '= — ~ ~ульд"'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
