TERM1 (1117971), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В качестве примера рассмотрим прямой круговой пилиндр, па- раметризованный так: 2( 1 2) И; 1 х'(и,и ) =и . х (и, и ) = Ясов и, Выше мы вычислили его первую и вторую квадратичные формы в этой па!эаметризапии. В матричном виде ответ можно записать так: 112 Π— Н О Характеристическое уравнение имеет вид: св ~ = ЛЛ!! + ЛЛ) = О. 2 -Я вЂ” Л112 О О Поверхности.
Вторая фундзл>снтальнзя форма. !)оэтому славные кривизны цилиндра равны О и — 1,1Я. Соответствующие главные направления находятся из линейных уравнений О О Л О' О )>П и, соответственно, имеют вид: )О, 1) и (1, О). Другими словами, главные направления кругового цилиндра это направления его параллелей и мередианов. С помощью главных кривизн и главных направлений можно легко вычислить кривизну любого нормального сечения. Действительно, пусть )> Е '!> М произвольный касательный вектор к поверхности Л! в точке Р, и предположим, что .)лина вектора )' равна е,)ивине, !3ыберем в касательном пространстве !) Л4 ортонормированпый базис, состоящий из единичных векторов главных направлений, Тогда, очевидно, координаты вектора 1> в этом базисе могут быть записаны в виде: 1> = >)сов;оы..., сов,еч >), где )ое угол между вектором 1' в 1-ь>м базисиыл> вектором.
В силу следствия 4.2 и следствия 4.4, кривизна кч)1г) нормального сечения поверхности в точке Р в направлении Г может быть вычислена следую>пим образом: ~А-„Ю = дчз()/,Ъ) = ЕЛ;~сов>о;)2. Особенно полезна последняя формула в случае двумерной поверхности в !)) . Слодствио 4.6 )с)эормула Зйлора) Пусть Мз дьужерная регулярная поверхность ь кз, и Р точка из ЛХ. Тогда кривизна в„)1>) нор.вольного сечения в точке Р в направлении )> Е Тг Л! яозкет быть вы щслена так: ~й„(1) = Л,)сов р)з+ Л,)в).>.~)', где Л>, Лв главные кривизны поверхногпги в >почке М, а )о угол,иелсду векторож 1х и елавныж направлениея, сооп>ветствуюшим главной кривизне Л>. Из формулы Эйлера легко получить следующее интересное следствие. Следствие 4.7 !'лаьные кривизны двумерной регу.трной повереноспщ в точке Р су>пь наибольшая и наи.ясньшая кривизны норяальньях сечений повергност,н в этой то ат.
Иовсрхностп. Вторлл фундллгснтальнля форма. Доказательство. Действительно, дла доказательства достаточно продифференпировать функцию да[а) = Л~ [сов у) + Лз[аьнф по <р. Имеем: Л~ [р): 2 соыр яп~о[Лз — Л1): а|в 2с(Лз — Л1), поэтому, сели Л~ ф Лз, то точки экстремума функции й(ф это точки вида уз = +Йл н ~с = хп/2+2йк, т.е. как раз главные цзнравления. Если же Л1 = Лз, то все кривизны нормальных сечений одинаковы.
Доказательство закончено. Пример. Рассмотрим уже знакомый нам круговой цилиндр. Его главные направления направления параллелей и меридианов, главпыс кривизны равны соответственно 1,1Й и О [нормаль прелполю аетсн внутренней). В этом случае формула,эйлера длн кривизны нормального сечения имеет вид: к[Ф) = График этой функции на интсресукппем нас отрезке [О, 2к) изооражен на рис.
8. Рпс. 8: Кривизна нормальных сечений кругового цилиндра 4.4 Средняя и гауссова кривизна гиперповерхности В предыдугцем пункте мы в каждой точке регулярной гиперповерхности ЛХ ь ч" определили базис из главных направлений и главные кривизны. Однако, как и в линейной алгебре, иногда бывает полезно изучать инвариантцые функции главных кривизн, а не сами главные кривизны. Мы рассотрим две такие функции так называемые среднюю и г ауссову кривизны. Определение.
Сумма главных кривизн поверхности ЯХ в точке Р называется средней кривизной поверхности М в точке Р и обозначается через Н[Р). Произведение главных кривизн называется сауссоеой кривизной и обозначается через К(Р). Поверхности. Вторая фундвлгснтальнвя форма.
Имеет место следующее простое утверждение. огтверждеиис 4.2 Средняя кривизна и еалуссово кривизна поверхности нс зависят от выборгл пара,нетиризации поверхноспш. 11рлл этом, если С и О .палглрллцы пераой и второй квадратичных лллорм поверхности в точке Р, пт средняя и еаусгова кривизны могупл быть вы шсясны такс Н(Р) = гласе(С ~бчЛ). К(Р) = с1е$(С О) = де1 С Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как сами главные кривизны не зависят от выбора парамстризации.
Второе утверждение тоже очевидно, так как оно имеет место в блазисс, составленном из главных направлений, и поэтому, в силу нервол о утверждения и инвариантности слеза и определителя, в любом другом базисе. Знак л ауссовой кривизны двумерной поверхности имеет простой геометрический смысл. Предложение 4.3 Пусть 1л произвольная лычка двуягрной рееулярной поверхноспш М С .чз.
Если в то лке Р еауссова кривизна К(Р) поверхности ЛХ положиплсльна, то достглаплочно малая окргстность плочки Р поверхности целиком лежит в однои из двух полупространств, опредеяяепьм, касаплгльной лллоскостьло 'ГрлИ, рассматриваемой каь аффллллллая гипсрплоскость, прохогдятая через пгочку Р пространства "й . Кс ш зке К(Р) < О, то это не лпак, а именно, лнлбоя окрестност~ точки Р пересекается с внугглрснностьло обоих полупростринслпв. Доказательство. Действительно, пусты ауссова кривизна КЛР) положительна.
В двумерном случае это равносильно тоьлу, что обе главных кривизны поверхности Л1 в точке Р имеклт один и тот же знак. Но тогда из формулы Ойлера вытекает, что кривизна любол о нормального сечении поверхности в точке Р не равна нулю и имеет тот же знак, что и главные кривизны. Последнее эквивалентно тому, что векторы главных нормалей всех плоских нормальных сечений поверхности в точке 1л лежат в одном и том же нолунространстве но отновлению к нлосокости ГрЛХ.
Отсюда следует, что в том же нолунространствс лежат и сами сечения (в некоторой достаточно малой окрестности). Если же К(Р) < О, то из вьнвесказанного вытекает, что нормальные сечения вдоль главных направлений лежат в разных нолупространствах но отношению к 1л М. Доказательство закончено. Ясно, что предложение 4.3 можно обобщить на многомерный случай только потребовав одинаковости знаков всех главных кривизн поверхности в точке Р.
Точка двумерной поверхности, в которой К" > О, называется точкой вьнлуклоспли или сферической олочкой. Точка же, в которой К < О,. называется с гдл о в о й. Повсрхногтп. Вторая фундялгснтпльнвя форма. Теорема Лапласа Пуассона. Понятие ( редней кривизны двумернои поверхности было впервые определено Томасом Юнгом [1805), а затем независимо Пьером Симоном Лапласом [1806).
Лаплас изучал форму поверхности раздо ла двух физических срод, находящихся в равновосии, и выяснил что средняя кривизна поверхности раздела пропорииональна разности давлений в разделяемых средах. Этот результат в механике сплошной среды называется теоремой Лапласа. Коэффицнкнт пропорпионаяьности назьлвастся лазффииие, . и .1, а Прив дем здесь схему ралг уждений Лапласа. Рассмо1рим малый участок поверхности раздала двух физических сред, в одной из которых дав.гение равно рм а в другогй рг [в окрестности поверхности). Пролставим себе малое возмущение поверхности, при котором ка кдая точка поверхности движется влазь нормального поля Х, которое направлено, скажем, в сторону второй среды.
При этом, сели поверхность сьлелгластся на 5%, то, очевидно, объем пространства меж,лу исходной и возмущенной поверхностями равен Золйг', где ан элемент площади исходной поверхности. Полная рабата 51 при чаком во змушенип склад ывае л ся из раба ... с, р .. ь [рг — ггг ) блуди' и работы поверхностных сил, которая, в свою очередь, ость а55. Злесь чероз БЯ обозначоно изменение площади поверхности, а через т коэффициент поверхностного натяжении.
условие тсрмодинамнческого равновесия записывается таси дд = [рг — рг)йлд45-!. а ау = О. Вы гислим площадь возмущенной нов~ рхнолти. ![ля эт(эго рас.мотрим пару главных нормальных сечений, проведенных через фиксированную точку Р, н пусть г,[1,) их натуральныс параметризвции. 1!сно, что элеллонт 4.5' плошали невозмушенной поворхности можно записать в виде длг йлг. Рассмотрим возмущения главных сечений в их плоскоостях вдояь вектора гн[Г) нормали к поверхности в этой точке. Эти возмущения имеют вид г, -1- е!ЛЗ Однако, по определению, вектор нормали ай и вектор главной нормшш п, к кривой О коллинеарны, позглгглу наши возмущения иьле~от вид г, .1- ез,и,.
где з, = [а,,ыу). Из пллкких формул Фр~ не выл~ кает, что ил~ мечи длины возмущенной кривой г, имеет вид [1-';ел, й]41,, что, в силу слсдсгвия 4 3 н слодствн» 4 5, можно переписать в нида [1 йеЛ )41,. Здесь через .Л, обозначена гл вн ы кривизна, соочвсч г*гвующая ному главному направ.линию. Паконсп, э.лсмент плошади возмущенной поверхности равен пропэве гению элементов длин возмущенных кривых Л [эти кривые ортогонвльны). поэтому прирапгение плошали имеет вид: 55 = [1-1- Лг)[1-1-еЛг) йгг длг — дб = г[[[г -! Лг)л-1-о[л)) фй П эдставив полу генный ре лульта| в у~говне тормози~лампи~ ского рав~лонесия, .ым ипв в нем на ан и пршлебрегая членами порядка о[с), получим: [[рг — р,) + .[Лг 4 Л,))дердс = О. откуда, окончательно получаем уравнение Лапласа а[Р)П[Р) = рг — рг.
Итак, доказан следуюпгий результат. Предложение 4.4 [Теорема Лапласа Пуассона) Средилл криаизиа ааосрхносши раздела деус раеиаоссиьи: физических сред идаиадииоиальил разно иш даелеш б зших средих вблизи ооесул кости раздела. Средняя кривизна поверхности обладает следующим важным свойством. Предложение 4.ог С!фимв кривизн норд!олыпят сечений реерлярной гипсргговсрхносгггп М о !почке Р по любому [п — Ц попарно !гор!генг)пкуилярному нппрвв,лснию ровня средней кривизне поверхности М в то !ке Р. Поверхности. Вторая фундллгснтальная форма. Доказательство.
дто вытекает из следствия 4.4. Действительно, пусть вы.... на ~ произвольный ортонормированный базис в 7р44, и А = !а~) матрица, столбцы которой суть координаты векторов в; в ортонормировапном базисе из главных направлений поверхности ЛХ в точке Р. '1'огда, по определению, матрица .4 ортогональна.
Кривизна !ч нормального сечения вдоль вектора в, в точке 1' равна !ч = Л1(О1)з + ... + Л„ 1~а". ')2, поэтому, суммируя все 1;, меняя порядок суммирования и пользуясь тем свойством ортогональной матрицы, что скалярный квадрат любой ее строки равен единица, получаем й, = ~ ~~~ Л„~ав)") = ~ (Ла ~ 1аи) ) = ~ Ла1 = Н(Р), а что и требовелоа,. Приведем примеры вычисления средней и гауссовой кривизны. Пример. !!усть двумерная поверхность задана парамстричсски, (и, в) координаты на этой поверхности, и пусть метрика с?зз и вторая форма 4тз и леют вид: г!яэ = Е диз+ 21 г!и й, + С ЬР, йгз = ( низ + 24! с!ион+ % г!гз. Тогда матрица, обратная к латрице метрики, имеет вид: Еб; — Еэ — Е Е поэто лу СŠ— 2ГМ+ ЕЯ ХЯ вЂ” ЛХз ЕС вЂ” Гэ ' ЕС' — Ез Пример. Пусть поверхностьзадана графиком функции = = Ди, у). 1огда, как мы уже вычислили, первая и вторая фундамснтальныс формы имеют вид: а 1+Х! )'-А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
