TERM1 (1117971), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

нспрсрьтных огпо- бражсний непрерывно. В дальнейшем нам будет полезен следующий критерий непрерывности отображения. Предложение 10лб ЕЭгггобрсгжсние Э': Х вЂ” ь У нспрсрывно гпогда и только тогда, когда выполнено одно из с.ьедующщ эквивалентных услооийг ° прообраз любого открытого множества А С У" опгкрыт в Х, ь прообраз любого замкнугпого .яножеапва гзичкнгугп. Доказательство. Пусть сначала Е непрерывно. Пусть -1 С У произвольное открытое множество, и обозначим через Э' г(А) его прообраз при отображении Е. Пусть х б Э' (з1) произвольная точка нз прообраза, и обозна гим через у = Е~х) образ точки х при отображении !'. '1огда, .очевидно, у принадлежит отк1згятому множеству А, и существует окрестность 1З(у) точки у, целиком лежащая в Л.

'Так как отображение Э' непрерывно в точке:.с, существует окрестность !Э!х) точки гс, такая что зь!Ег!х)) С 1с(у). Но тогда Э~ЕЕзгх)) С Л, и поэтому ЕЭ1х) С Э' г5А), т.с. (Л) открыто. Пусть теперь прообраз произвольного открытого подмножества из У открыт в Х. Фиксируем произвольную точку х к Х, и пусть, как и вылив, у = Цх). Рассмотрим произвольную окрестность У !ЭЭ) точки У. По определению, 1 1у) открытое множество, значит ! (1'1у)) открытое подмножество в Х, причем х Е Э 11 (у)). Но тогда существует окрестность ЕЭ(х) точки Х, целиком лежагцая в Э '(Цу)). Осталось заметить, что ЯУ(х)) С 1г(у), поэтому отображение 5' непрерывно в произвольной точке х,что и требовалось.

Элементы общей топология. Дззя завершения доказательства прел„южения, осталось показать, что сформулированные в нем ус,ловия непрерывности зквнввлснтны Это немедленно вытекает из следующего соотношения, справедливого для произвольно!'о множес'з'Ва А С У: 2)оказатсльство закончено. огпражненне 10.15 Вообизе говоря, образ отпкрызззого )замкнугззого) .ннозкешпьа при непрерьтно.я отобразкении не обязан быть огззкрьззгзым !'замкнутьззз).

Поппроить соотвь тствующие гзрилзсры. огпражненне 10.16 Пусть топо,зогичгское пространство Х представлено и оидс объединения двух своих замкну>пых подмноакесзпв Гз и Г . Показать, что отобрпзксние З" простргтствп Л в произвольное топологззчегкое простраттво У непрерывно т:ли и тогзько если огратзчетм ! на калсдос из Гб ! = 1, 2, непрерывно. !3 случае метрических зз!зостраззсзчз непрерывность отображения, как и многие другие понятия, можно определить на языке сходящихся последовательностей.

Пусть )хч) произвольная послсдовательногть точек из метрического пространства (Х,р). Говорят, что последовательноспзь хп сходится к х Е Х, если для лзобого е > 0 сзчпсслвует такое Х)е), что для лкзоого гз ) Лз )е) выполнено не$завепство р)хп, х) ( е. огпражненне 10.17 Пуспп (Хз, рз) и (Хз, рз),иь*трическис ззроспзранства. Показать, что отооРазкение З: Хз — З Хз негйзеРывззо в точке ть сели и ггзолько если для любой сходяизсйся к хс последовательнонпи !гхп) предел !ппп „... ~(хо) совпадает, с 1)хо). огпражненне 10.18 Показать, чгззо подмноокестоо А лзезгзричсского пространства Х замкнуто сспз и только гглзз для любой стодящейгя в Х последовательности (х„) с А точек из А предел хз = !нпо, х„таклсе ле.кит в А.

Этот же подход естественно переносится на случай топологическнх пространств общего вида с помощью следующего определения. Пусть !хо) прозлзвольная последовательное и, точек топологического пространства зХ, т). Говорят, что последовгзтсльность хп гтодипня к т. Е Л", если для любой окрестности П(гх) точки т в Х сущестззует такое Ж, что для любого п ) Лзг все точки х„лежат в П)х). ,згпражнезнно 10.19 Переформулировгзтпь и г)оказаггзз два п!зедьздуизих угзрзалс- нсния для зпопологичсских пространсто общего видо. Элементы общей топологии. '!еперь введем ца множестве всех топологических пространств естественное отношение зквнвьн>снтности. Определение.

Пусть [Х>, г>) и [Хз, тз) топологнчсскис пространства. Взаимно однозначное непрерывное отображение у>: Х> — > Хз называется гояео,норфизяом пространств Х> н Хз, если обратное отображение также непрерывно. !',ели существует гомеоморфизм пространств Л> и Лз, то сами пространства называются го.чеояорфны.,ии. Отображение у>: Х> — > Хз называется вложением Х> в Лг, если опо залает гомеоморфизм между Л> и р[Х>) С Лз. Свойство пространства называется тонологичгским, если оно сохрш>ястся прн гомеоморфизме. з'пражненне 10.20 Показать, т>о следу>вгц»е подпроапранства Р попарно не гояео.норфны: ш>тервал [а, !>), полуинтервал (а, Ь], отрезок [а, !>]. Упражнение> 10.21 Построить пример двух топологических прог>правите Х и У, >яаках, что ° су>цвствуют нспрерывныг взаимно однозначные опш>бра>кениг ф и д, еде !:Х вЂ > У, и у: У вЂ > Л, ° пространства Х и У нг >оягонорфны.

В дальней>пем нам также будет полезно перенести па случаи топологичсских пространств понятия связы>ные с функциональной сходимостью. Пусть )!и) последовател>,ность вещественных функций на топологичсском пространстве [Х, т]. Последовательность [уп) называется сходящейся в то >кс х, если множество чисел ( !„(х)) образует сходящуюся числовую последовательность. Если последовательность ! !и) сходится в каждой точке х б Л, то определим предельную функпию 1: Л вЂ” > ч, положив Д[х) = !ппп, >'„(х).

Прсдпо.южнм теперь, что все функции !и непрерывны. Предельная функция в атом слу >ас, вообще говоря, не обязана быть непрерывной. Однако, можно усилить определение сходимостн так. Последовательность ! !в) функций на топало> ичсско>л пространствс Х называется равномерно шюдл>лейся к функции р, если для любого в > 0 су>пествует такое >>'[г), что ] ![х) — рп(х)] ( для всех х к Х и всех и ) М[г). Ъ'пражненне 10.22 Показан>ь, что равномерном сходи кость функций на отрезке [а, !>] >то нс чпш иное как сходияость в л>втричвскоя пространстве С[а, !>]. Имеет место следуя>щее простое предложение.

Предложение. 10.6 Пусть последовательность непрерывныхфункций (!и) топологическоя пространстве Х сходи>пел раьнимсрно к некоторой функции !. Тогда функция ф пспрсрывнв на Х. ;Элементы общей топология. 146 Доказательство. Пусть лэ Е Х произвольная точка, и с > О произвольное положительное число. Выберем и = п[с) так, чтобы [/[л) — /„[и) [ < с/3 для всех л б Х. Далее, функция /, непрерывна, поэтому существует такая окрестность Г точки ло. что лля всех л из П выполнено неравенство /о[во) /[л)[ < е/3.

В итоге для всех л из П игаеем. /[ля) — /[л)[ < [/[ло) /и [во)[ + /и [во) /и [а) + [/~ [л) /[л) < с/3+ /3+ с/3 < Доказательство закончено. 10.3 Связность, отделимость, компактность Среди огромного множества топологических пространств естественно выделять некоторые классы, обладающие специальными топологнчески ьчпзарнантными свойствами. В данном разделе мы рассмотрим некоторые нэ таких классов. 10.3.1 Связность '!аналогическое пространство Х называется солэньсн, если его нельзя представить в виде объединения двух неперссекаюпщхся пспустых подмножеств Аь н Аз, каж,лое из которых является открытым в Х.

Если такое пре 1ставлсннс возможно, пространство Х называется иссолзиыж. Ясно, что если Х = Ль О Лз, где Л, открытые подмножества в Х, и э!с О Аз = И, то кажлое из А, замкнуто в Х. Полмнозкество А топологического пространства Х называется совзнаки, сс:ли связным является топологичсскос пространство Л с.топологией,индуцированной из Х. Пример. Отрезок [а,6] С эсь связан. /!ействительно, предположим противное, и пусть [а, 6] = ЛОВ, где множества А и В открыты, не пусты и нс пересскелотся.

Предпололсим для определенности, что а б Л. !эассмотрнм множество всех таких ", что полуннтервал [а, а+с) содержится в А, я пусть со верхняя грань этого множества. Тогда, так как А открыто, о > О. Так как множество Л вЂ” замкнуто, точка а+со принадлежит Л. По тогда. если только а+со ф 6, .существует открытый интервал [а+ "с — Б, а+со+6),.

целиком лежащий в Л, и поэтому полуинтервал [о, а + [ся + б) ) содержится в э1, что противоречит выбору со. Поэтому а+ со — — 6. По тогда Л = [а, 6], и В пусто. Полученное противоречие завершает доказательство. Упражнение 10.23 Показать ьипо иисасроол (а,6) солзси. Упражнение 10.24 Пусть Х О У иесьязиал сунжа произеольиыл тополоэичссьил пространств. Показать тьо простронстоо Х ОУ иссоязио. 147 ;Элементы общей топология. Упражнение 10.25 Покагапть тпо букгт связныт, тополоепчсгких про- стпранств по лтобой паре точек мв.гмгаюя свжтны.н. Максимальные по включению связные надпространства пространства Х называются его связными компонснатами. 'Упражнение 10.26 Показать, чпто сггязньтс компонгнпгы протпранапва.

Х потгарно не ттересскаюптся, и являютпсм отпкрьппьтлги и залгкнупгы.пи тгод.нноясегтваяи пространгтва Х. Упражнение 10.27 Сколько ломпонент связности имеет. пространство Х, наде.генное дискртпной топо.гогисйр Приведем несколько утверждений, позволяющих проверять связность топологического пространства. Предложение 10.7 Пусть топо.гога юског. ттросптраттсптгго Х представлено в аиде объединения своих подмножеспгв Ха, каждое из кооторых связно. Врсдпояожгтм, что пгрсссчсниг ОоХа непусто.

Тогда проспгршттво Х связно. Доказательство. Предположим противно, т.е. Х = А 1Э В, где А и В открыты, пепусты, причем А Гт В = )). '1огда, очевидно, каждое Х, можно представить в виде Хь = 1ХаГтЛ)гд(ХьГ1В). Однако, так как Хь связно, то или Х„Г1 Л = т), или Х„Г1 В = )тз, т.с. каждое из Х„целиком лежит или в Л, или в В. С другой стороны, так ьак Л и В нс пусты, существуют Х „С А и Ха, С В. Однако А Г1 В = 1), поэтому и Ха„Г1 Ха, = т), что противоречит условию.

П1эсдложенис доказано. Предложение 10г8 Пугать в тотголоеическом простпуансгпос Х длм каждой пары гго разла гных точек, (х, у) найдюпсм связное подлттолсгстппо С „, содержащее как х, таак и у. Тогда простнранстьо Х связно. Доказательство. Предположим противное, и пусть Х = Л тд В, где А и В открыты, пгпусты, причем А Г1 В = т). Выберем точки а Е Л и о Е В, и рассмотрим связнос множество С,ь, содержащее а и 6.

Однако множество С,ь разлагаетгя в объединение двух своих нспустых, открытых и непересекщощихся подмножеств Счь Г1 А и С„ь Г1 В, что противоречит связности С„т,. Доказательство закончено. Предложение 10.9 Образ связного подмножества пгопологьтеекоео про- странства при нгпрсрыонолт отобралсгоии гаязгн. Доказательство. В самом деле, сгли образ У = С~Х) связного множества Х при непрерывном отображении Г несвязен, то, по определению, У = Л 1Э В, где Л и В открыты, непусты и нс пересекаются.

Характеристики

Список файлов лекций