TERM1 (1117971), страница 42
Текст из файла (страница 42)
'1аким образом, с помоьцью метода проекций можно понижать размерность Ху объсмлюшеь о пространства до тех пор, пока она нс станет равной 2п+ 1, что и завершает доказательство теоремы Уитни. Упражнение 15.3 у!оказать, пто с по,иоаныч,иетода проекций нельзя вообизе говоря, получить вложение в пространство мень шеи раз,.иерности. Замечание.
!3ообше говоря, мозкно построить вложение и-мерного многообразия в пространство размерности 2п (так назынаемая сильная теорема Уитни!. Ота оценка уже, очевидно, нс улучшаема (пример: о — ~ с"). Упражнение 15с4 ТХоказать с помои1ью метода проекции, ито каждое компакгпное многообразие размерности и .можно погрузи~пь в евклидова пространство размерности 2п. Упражнение 15.5 Доказать теорему Уитни для нскомпатиныл много- образий. 16 Римановы многообразия !3ообще ь оворя, на абстрактном топологическом простршн:тве понятие расстояния между его точками нс определено.
и1тобы говорить о расстоянии, напомним, вводятся дополнительныс структуры, такие как, например, метрика или норма. В случае гладких многообразий, оказывается, в качестве такой дополнительной структуры ложно ввести прямой аналог первой квадратичной формы поверхности так называемую риманову метрику. Этим мы и займемся в настоящем разделе. 16.1 Подмногообразия евклидового пространства Мы начнем с более наглядись о случая подмногообразий свклидового пространства. Итак, пусть 1: М ь.й" вложение гладко~ о многообразия М размерности т в евклидова пространство дп. Рассмотрим произвольную точку Р из ЛХ, и пусть, как обы пто, ТнЛХ касательное пространство к ЛХ в то ~ке Р.
'1огда, напомним, определен мономорфизм д1 линейного пространства ТрМ в пространство Тцг3 " Рп. Определим скалярное произнес)ение (!', %)м двух произвольных касательных векторов И и И' из ТгЛХ, положив (1:, И')м = (д!(1 ),д!(Их!), 197 Римаповы многообразия где справа стары стандартное евклидово скалярное произведение векторов в ,Лемма 16.1 Операция (ч )м действительно, является скалярным произведением на ТрМ, т.е.
она билингйна, симмсн1рични, по.южитсльно определена и нгвырождена. Доказательство. Это немедленно вытекает из свойств свклидового ска- лярного произведения и мономорфности линейного отображения дьц Пусть (х,..., х'") локальные координаты на М в окрестности точки Р, и (у1,..., уо) декартовы координаты в .Р". Обозначим, как обычно, и:рез (и,..., и") и 1и1,..., и1т) компоненты касательных векторов И и И' соответственно, и пусть у'(х~,...,х™), 1 = 1,..., и, координатное представление вложения 1. Тогда координаты векторов йя(11) и а1(Иг) имеют ви,'[ т (дя(И)) = 2, ' (Р)д", и (д1(РИ))~ = ~~ (Р)тя, позтому в др' д Как и в теории поверхностей, обозначим через дря выражение ~,, — ~„--,ф;, и получим окончательно в~ (1г, И')м = ~ ~уря ог'шч.
рл=1 Коэффициенты ура являются, очевидно, гладкими функциями на многообразии М. Обрадованная ими т х т матрица называется матрицсй первой кьадратичной формы подмногообразия М, или л1атрицсй ри.наноаой метриги, индуцированной на М вложгниг..и 1: М вЂ” Ь й". '1'очно так жс как в теории поверхшьстей доказывается слелуюгцая лемма. .Лемма 16.2 Коэффициенты у я образуют нсвырождгнную гиммстри 1- ную посн1жительно определенную матрицу, которая при замене ло1сальных координат меняется как „натрица квадратичной формы. А имгнно, если (21,...,й"') другие,локальные координап1ы на,.иногообразии йй в в дыд окРестности точки Р.
и дрч = ~ ~ 1 ды дехы то дх дхд Увд. те=1 198 Римаповы многообразия Итак, нами доказано еле,лугошее предложение. Предложение 16.1 Пусть задано ьложснис т': ЛХ™ — ~ <" жносообразия ЛХ ь евклидова пространство К". Тосда на каждом кисатсльнон пространтмпвс ТгртХ о!трсдслсно ока !лрнос произведение, котпорос в локальных координатах (х,..., хь') задается р задка ъависятцсй от то !ки Р латриЦса (дрз) индУЦпуованттой Рижановоб „нстпРикп.
Пример. Первая квадратичная форма регулярной поверхности в евклидовом пространстве зто, очевидно, частный случай ипдуцированной рима- новой метрики. 11сно. что раз в каждом касательном пространстве к многообразию определено скалярное произведение, то можно естественно определить длршу произвольного касательного вектора, а значит и длину гладкой кривой. Гнто мы и сделаем чуть позднее, а сейчас дадим общее определение рима- новой метрики на многообразии.
1гт.2 Общий случай Пусть М произвольное гладкое многообразие размерности т,. Опроднюнио. Говорят, что на многообразии М задана рижанова метрика, сели для каждой точки Р Е ЛХ в касательном пространстве ТрЪХ фиксирована невырожденная положительно определенная симметричная билинейная форма, гладко зависяпхая от точки.,)то означает, что кажлой системе (х,..., х'") локальных координат в окрестности бт точки Р ставится в соответствие набор гладких функций д „,, 1 < р, д < т, задании,|х на П, такой что ° матрица (д ) симметрична, нсвырождена и положительно определена: ° сели (хс,..., хт~) другие вокальные координаты в окрестности точки Р, и (дрч) соответствующая матрица, то дх д,хзз -' д дх дад а,З=! Функции дрз называются кожпонснтаажи римановой метрики в координатах (х',...
> хм). Многообразие, на котором фиксирована некоторая рима- нова метрика, называется римановыж .яносообразпсж. Пример. Рассмотрим многообразие 1й"', на котором фиксированы стандартные декартовы координаты (х',..., ро). Заладим в каждой точке 199 Римаповы многообразия Р б йп риманову метрику, положив в координатах [л',..., л") компоненты д д равными символам Кронексра ард. Ота метрика называется евклидовой метрикой. Примор. Пусть ьИ подмпогообразие в ))Г. Индуцированная на М из Р!и метрика является, очевидно, римановой метрикой на М. Замечаниев Риманову метрику в локальных координатах [яь,..., яп) за- писывают в дифференциальном виде, т.с. в виде даз = ~ ~дрддяадяд. гл=ь Смысл отой записи мы осн:уждали в теория поверхностей [см.
таьсже следующуьо главу). Напоъшинь, что одним из преимуществ дифференциальной записи является возможность делать формально замену координат в ней по правилам математического анализа. Имеет место следующее важное утверждение, немедленно вытскак>щсс из теоремы Уитни. Следствио 16.1 Иа произвольном [комппктном) гьидном мноеообразии существует по крайней мсрс одна ри.ниноссь метрика. Доказательство. Действительно, в силу теоремы Уитни, каждое такое многообразие можно ьзложить в ч~. '!огда зто вложешье индуцирует на многообразии некоторую риманову метрику. Доказательство закончено.
Пусть Лд риманово многообразие. Тогда, очевидно, в каждом касательно л пространстве ТнМ задается естественное скалярное произведение ), )м, которое называется иногда снутрсннил скалярным произведением. Действительно, если д' и Ис произвольные векторы пз ТгМ, и (и',..., ст) и [иь',..., иьп') их компоненты в локальных координатах [л,..., г"') в окрестности точки Р, то положим ()с.,11')м = ~ д„игтд. я,д=ь Из опрс,деления ри лановой метрики немедленно вытекает, что полученное число не зависит от выбора локальных коор,пщат [проверьте), т.е.
наше определение корректно. Далее, дьиной нпсапчьс.ььного сектора И назовем .ьисло ]1'] =,/(Р, И),ьь. Определенное только что внутреннее скалярное произведение позво.,ьяет определить длину произвольной гладкой кривой на римановом многообразии. Пусть у: [а, Ь] — ь М произвольная гладкая крива.я на римановом 200 Римаповы многообразия многообразии ЛХ. Тогда, как мы узке знаем, в каждан точки у® кривой ",~ определен ее вектор скорости у'[1) б Т 01М. С помощью римановой метрики можно определить гладкую функцию на отрезке [а, Ь], сопоставив каждому числу 1 длину ] з[с)]] вектора скорости кривой у в точке у[1), вычисленную в имеющейся римаповой метрике.
Наконец, длиной гладкой кривои; но рижиновож,многообразии ~И назовем число гь 1[у) = / ]у'[1)П д! а Если [г,..., и'л) локальные координаты на многообразии, ~'(1) = и'[1) координатное представление кривой у, и дря компоненты римановой метрики в этих координатах, то подинтсгральное выражение из определения длины псрсписывается в виде Следующая лемма доказывается точно так же как в теории поверхно отей. Лемма 16.3 Длина криьой 0 нс зависит от за.ясны паралсстризации Кроме того, на римацовом многообразия ЛР естественно определяется угол между произвольными гладкими регулярными кривыми, проходящими через пскоторую точку Р из Л1.
А именно, если зч . [ — 1, 1] — ь ЛХ и уз . '[ — 1, 1] — ь И гладкие кривые, причем уч[0) = уз[0) = Р, то угол о .нсжду кривы.яи 0 и Уз опРеДелЯстса из соотношениЯ Ы [0):-ао)) ] , [0)] ]]у[[0)]] Ъспражнопио 16.1 Наиолтилц что непрерывном крисам у: [о, .Ь] — ь $1 нозыьостсм кусочно-гладкой, сели суилсствуст конечное разбиение а = ив < ас « ая = Ь отрезка [а, Ь], и~овос что осрттчснис у„кривой з на каждый отрезок [ор з, ар], р = 1,..., Лб мвлмшисм гладкой кривой. 11усть Лй связное раианово,нногообразис. Зададим но нс.я функцию расстомним р, положив Р[Р,Сг) =1прьй[~) 0 кУсочно-глидком куивам, сосдинмнццам Р и ьг).
Показать, <пяо пара [ЛХ, р) .ясисри ~сског пространство. Нровсрить, что .ястричсскам топология, порожденная ЛУ, эквивалентное топологии .нногообразим. Римэповы многообразия 201 16.3 Индуцированная метрика В данном подразделе мы обобщим понятие индуцированной метрики на случай подмногообразий произвольного риманова многообразия, а не обязательно Ь'". 11усть И' произвольное риманово многообразие, и 1; М вЂ” ь Иг вложение многообразия д1~1 в И'. '1огда, точно так же как и в случае подмногообразий в '", определим на каждом касательном пространстве Тр.11 к многообразию М скалярное произведение, положив для произвольных касательных векторов 1'д и 1'з из Тр Ы 1Ъы Ъ~~)и = 1д1)г)1'д), пг)р1'гз))щ. Очещддно, что 1з.)и действительно скалярное произведение, гладко зависящее от точки многообразия ЛХ. Соответствующая риманова метрика на ЛХ называется индуиироеаииоб ололсеяисж 1 рижоиоеов .нетрикой.
Найдем как вьплядят компоненты индупировапной метрики. 11усть Р произвольная точка из М, и 1г,..., я"') локальные координаты на М в окрестности точки Р, а 1у,..., уа) координаты на И' в окрестности точки ЦР). Обозначим через Ь компоненты римановой метрики многообразия И' в координатах 1у,..., у" ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
