TERM1 (1117971), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Полученное многообразие и лсет край, состоящий из двух окружностеи, на каждойл из которых ориентация сферы индуцирует ориентацию направленно обхода. Рассмотрим еще одно многообразие с таким же краем ци,лин,лр [0,1] х У. На каждой из ограничивающих его окружностей тоже возникает ориентация. Склеим цилиндр и сферу с двумя дырками отождествив их края так, чтобы ориентация склеивающихся окружностей была согласована, см.
рис. 2?. В результате, очевидно, получится замкнутое двумерное многообразие, гомеоморфное тору (фактически, мы склеили два цилиндра). Операцию приклейкп цилиндра по двум ориентированным окружностям мы назовем приклсйкой ориснптроьанной ручки. Итак, доказана следующая лемма. Лемма 18.1 Двумерный тор солсо.,яорфсн сфере с одной прин:пенной ру и кой. Рассмотрим теперь проективную плоскость, склеенную из квадрата: ГйРз = ь?(аЬаЬ), и вырежем из нее диск, центр которого, для удобства, поместим на сторону квадрата, см. рис. 24. То что осталось, очевидно, гомеоморфно листу Мебиуса. '1аким образоьл, просктивпая плоскость может быз ь получена из сферы так: нужно вырезать из сферы диск, и заклеить образовавшуюся дырку листом Мсбиуса, отождествив граничные окружности.
Операция приклейки листа Мебиуса по граничнои окружности называется приклсйкой пленки 2|сбиуссс Итак, доказана следующая лемма. Лемма 18.2 Нросктиеная плоскость голсолорфна сфере с одной прикле- енной пленкой,Мебиуса. Упражнонио 18.1 С помощью рис. 28 показании что бутьмка Гбгщйна гомсомоуфна сфере, заклеенной да умя плснками Мебиуса. 212 „с[вузлсрныс замьнутыс многообразия 'и Я 1вис.
24: !1росктивная плоскость склейка диска и листа Мебиуса. '1аким образом,мы определили две операции: приклейка ручки и приклейка пленки Мебиуса,и у нас естественно возникает две серии двумерных замкнутых компактных многообразий. ° Многообразие М„,, д > О, получаюшссся нз сферы с 2д дырками приклеиванием д ручек 1с сохранением ориентации), называется сферой с д ручками. ° Многообразие Мг, р > 1, получаюгцееся из сферы с р, дырками при- клейкой р пленок Мебиуса. Замсгианись Очевидно, что любое двумерное многообразие, в которое вклеена пленка Мебиуса, неориентируемо, так как перенеся репер вдоль центральной окружности листа мы получим репер противоположной ориентации. Кроме того несложно показачтч что многообразие, полученное приклейкой к сфере любого числа ручек 1с согласованием ориснтации), является ориентируемым.
Упражнение 18.2 11оказать, нто сфера, к которой приклеено к ручек и п~ пленок Мебиуса, гомео.,норфна сфере с 21 + т плеюсами Мебиуса. Упражнение 18.3 Докалситс, тпо для любых д и р многообразие М~~ молееен быть влоипено о Рв, а многообразие ЛХ погрузкено в 1еж. и 18.3 Теорема классификации Оказывается две построенных нами бесконечных серии исчерпывакьт все коъгпактные замкнутые связные дву лсрныс многообразия. Теорема 18.1 Любое гладкое компактное связное (замкнутое) дву,керное многообразие го.ксо,иоуфно или сфсрс с д ручкаяи, д > О, или сфере с р плеакаиа Мебиуса, р > 1.
11ы не будем приводить полное доказательство этой теоремы, алиня поясним основные идеи. „г[вуьдсрныс замкнутыс многообразия 18.3.1 Триангуляции. Пусть М компактное замкнутое двумерное многообразие. Будем говорить, что на многообразии ЛХ задана некоторая триангуляция, если на М задан конечный набор отрезков гладких в,южевных кривых у,: [0,1] — г М ребер дприангуляции, пересекающихся между собой только по концевым точкам 'у'„(О), ~з(1) вершинам триангуляции, причем вьяполнсны следующие свойства: ° концевые точки каждо! о ребра триангуляции различны, т.е.;,~0) ф ув (1) (отсутствие пстсль); ° внутри ребра трнанд уляпии нс содержится вершин триангуляция; ° множество М 1, (сгу,), полученное в результате выбрасывания из многообразия М всех ребер триангуляпии, представляет собой несвязное объединение открытых дисков, замыкания которых называются треугольниками триангуляции, причем граница каж,1ого такого, ркка состоит ровно из трех ребер триангуляции; ° любыс два треугольника триангуляции или нс пересекаются, или их пересечение созна,даст с некоторой вершиной или стороной тришьгуля пни.
Ъ'пражнонио 18.4 Построчив пьриангуляции сферы, тора, бутьтки Елейна и проектисной п,яоскоети. Из какого минимального нас да треугольников могут состоять п~риангуляции этик поверхностей у Имеет место следующий результат. Предложение 18.1 гуюбое двумерное сладкое компактное связное за.якну- пьое .яногообразис допускашп конечную триангуляцию. Воспользуемся зтим предложением лля осуществления первого шага доказательства теоремы 18.1. Л именно, пусть М гладкое компактное связное замкнутое двумерное многообразие,и пусть задана некоторая его конечная триангуляция, существующая в силу предложения ! 8.1.
Ориентирусм все ребра триангуляции, т.е. расставим на них стрелки, и помстим ребра триангуляции различными буквами. Разрежем многообразие ЛУ по всем ребрам триангуляции. В результате мы получим конечный набор треугольников топологических дисков, все стороны которых помечены буквами и стрелками. причем каждая буква встречается ровно лва раза (п1ш разрезании вдоль стороны триангуляции мы сохраняем стрелку н букву на обоих берегах разреза). Вудс л теперь склеивать треугольники триангуляции, па каждом следующем шаге приклеивая ровно один треугольник ровно по одной стороне. Из постросния,определения триангуляции и связности многообразия ЛХ вытекает, что мы последовательно приклеим все 2!4 „г[вуьзсрггыс замьнутыс многообразия треугольники, и у цас в результате получится множество Р, гомгоморфнос двумерному диску.
Граница этого множества разбита на четное количество 26 ребер триангуляции. Эти ребра нскоторыхг образом разбиты на пары ребер, помеченных одинаковыми буквами, и, кроме то| о, каждое ребро снабжено стрелкой. Очевидно, множество 1л гомсоморфпо плоскому 2(ьугольннку, па границе которого определена некоторая склейка. Итак, доказана следующая лемма. Лемма 18.3 Каждое ладкое компактное .за,нкнутог деумсрнос „нногообразие может быть полу зено из некоторого 26-угольггика склейкой пар сго спзорон.
18.3.2 Канонические склейки многоугольников. Итак, мы показали, что каждое дву горное гладкое компактное замкнутое многообразие получается пз подходящего 21-угольнпка некоторой склейкой его сторон. Напомним, что казкдая такая склейка задается некоторым словом, хотя разные слова могут приводи гь к одному и тому же многообразию. згпражнонисз 18.5 Показать, что многообразие, получегнзое из 2-угольника Р склейкой Р(аа ~), гол~еолсорфно сфере. Показать, гто многообразие, полученное из 4п-угольника Р склейкой 1з(гзз6пз '6 ап6на„6„~), го.иеоморфно сфере с и ручьами.
((оказатлн чгпо многообразие., полученное из 2п-угольника Р сглейкой 1з(а~аз ага,„), гонеоморфио гфере г и пленками зу(ебиуса. В качестве слсдук1щсго шага доказательства теоремы классификации, следует показать, что произвольное многообразие вида Р(а~' а.'"'), гомсоморфно илн сфере с у ручками, или сфере с р пленками з!ебиуса.
Ото удастся сделать с помощью набора нескольких гомсоморфизмов, которые перестраивают многоугольник Р н слово склейки. Фактически, можно показать, что с помощью стандартных операций, каждой из которых соответствует некий гомеоморфизм, произвольное слово склейки можно преобразовать к одному из трех канонических видов, приведенных в предыдущем упражнении. Казкдое из таких преобразований представляет гобой набор последовательных разрезаний и переклеек многоуголы|ика Р. Мы не будем здесь приводить доказательства, отсылая заинтересованных к книге Д.
С. Мищенко и А. 'Г. Фоменко "Курс дифференциальной геометрии и топологии'. 18.3.3 Последний шаг, Зйлеровн характеристика. Чтобы завершить доказательство классификационной теоремы следует уста- новнты что многоооразия И1-', д > О, н Мз попарно негомеоморфны. ' )то ХХвумсрныс эамкнутыс многообразия можно сделать. например, с помощью групп когоъзологий дс Рама, см. следующую главу.
Здесь же мы приведем более простой способ, связанный с понятием Зйлеровой характеристики. Определение. Пусть т произвольная триангуляция двумерное о многообразия М. Назовем Эйлероьой .гарактеристикой Дг) триангуляции т слсдуюшес целое число: ~(г) = Р— Е+ !", где Г, Е и Г количества трсутольников (граней), ребер и вершин триангуляции соответственно. Имеет место следующее утверждение. ",Утверждение 18.2 Эйлероьо характеристика триангуляции многообразия РХ не зиьисит от триангуляции и определяется только,иногообразиьж 3 Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
