TERM1 (1117971), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Графики координатных функнии л [1), ~, = 1, 2, и сама гладкая кривая 1 изображены на рис. 2. | л оьрлг 1 л Риг. 2: Координатные функции и образ гладкой кривой / Так как у гладкой параметрической кривой вектор скорости непрерывно завигит от параметра, то в "точках излома' [таких как вершина угла в упражнении ).3) скорость равна нулю.

Запрещая точки с нулевой скоростью, приходим к следующему определению. Определение. Гладкая парамстри геская кривая назьгвастгя рг, улярноб, если се вектор скорости всюду отличен от нуля. Таким образом, подмножество плоскости из упразкнения [.3 нельзя задать как образ регулярной параметрической кривой [если угол отличен от развернутого). Если две регулярные параметрические кривые пересекаются, то можно определить угол между этими кривыми как угол между векторами скоростей кривых в точке пересечения. згпражнение 1с4 Ейтишинлс в явном ьидс ьыралсеиис для угла жсаис)с/ пс- рвсехающи,.яися.

Ргерлярныжи парал1етричегки.ни кривы.ип. Крявыг на плоскости. Пусть «: [а, 6] — > .2" непрерывная параметрическая кривая. Рассмотрим произвольную [нспрерывную) строго монотонную функцию то: [о', 6'] — ~ [о, 6], отображаютцую отрсзок [а', 6'] на весь отрезок [о, 6] [это отображение, очевидно, является тт«таттмно-о«тнозттачттьтат).

Каждая такая функпвя порождает новую непрерывную параметрическую кривуто -«о,о: [а', 6'] — т и называется зожснои' гт«тра„ттетртт«тат«тт кривой «. Отметим, что «и «о:р совпадают как подмножества пространства Х", т.е. имеют совпадающие образы. Кроме того, если то замена парамстризштии, то то ' также является заменой параметризации. В случае, ког,ла кривая «гладкая, мы будем дополнительно предполагать, что замены параметризапии ~р и р гладкие. При этом, как легко видеть, произво,лныс функций р и ;о ' всюду отличны от нуля.

Поэтому в сделанных предположениях замена параметризации сохраняет свойство параметрической кривой быть непрерывной, гладкой или регулярной. Опроделонио. Крнаой в пространстве 2а называется семейство всех параметрических кривых, каждая пара которых отличается на замену параметра. Замечание. Из сделанных соглашений относительно возможных замен параметризапии вытекает, что понятия гладкости и рет улярности естественно переносятся и на кривыс. Замечание. Ясно, что задание кривой равносильно заданию произвольного представителя этой кривои. Последнее приводит к тому, что, говоря про параметрические кривые, слово "параметрический' традиционно опускают.

Кроме того, переход от параметрической кривои; к ттараметрической кривой «о:р, тде тр замена параметризации, называют зо.ясной парожстро на кривой у. Ъ!ы также будем следовать этой традипии там, где не возникает путаницы. Замечание. В некоторых тастных случаях кривую можно задать пс только с помощью параметрической кривой, но и другими способами. Например, на плоскости 'й график любой гладкой функции я ' = ![я ) задает рсгуляр-,з ную кривую -«[«) = [«, «'[«)). Другой способ задания кривых на плоскости состоит в рассъто трении множеств уровня гладких функций. Если Г[я, л ) такая функция, причем в некоторой точке Р = [лт,, яс) ее дифференциал отличен от нуля,то в нскоторой окрестности точки Р хтноткество уровня «тР[я ,я ) = Р[яс, л„)) представляется в виде графика функции и поэтому задает регулярную кривую. Отметим, что с локальной точки зрения все псречислснныс три способа задания регулярной кривой на плоскости эквивалентны [проверьте).

Определим теперь длину параметрической кривой э:[и,6] †~ . Пусть нскоторос разбиение отрезка [а,6] точками а = «в < «т « «„ = !(рсьвыг на плоско гти. Ь. Напомним, что диаметром Ьь разбиения б называется максиаьальног из чисел «, — «, ь, .ь = 1,..., и. Разбиение «ь и кривая у порождакп ломаную ЛЬ, последовательные вершины которой суть точки «(«;). Лез>анук> ЬЬ будем называть впигааной в «ломаной, гоответстврьоиссй разбьсеньью Ь. 11апомним, что длина «(Е) произвольной ломаной Е это сумма длин всех ребер иэ «,.

"!'аки л образом, и ( й ) ~ ~ ! ] ( «) ( «) ] Непрерывная параметрическая кривая; называется и>>мери.иой, если существует предел 1пп с(!«). гс-ьв Предел Ь(;) называется длиной измеримой криьой;. Упражнение 1.ог Доказать, что гладкая параметрическая кривая 1 из- мсрильа, и ес д.сина равно На самом леле, в дифференциальная геометрии интеграл иэ упражнения 1л> обычно принимается за определение длины гладкой параметрической кривой. Определение. Д.ьиной «.'(-«) г,ьодкой ььараметри щекой крьлаой «: [а, Ь] — + ь ЬС" называется величина интеграла 1 ]]ф(«) ] с««. Предложение 1.1 Длина гладкой парамгтричгской кривой не менястгя при золььснс ььаральсьпризации. ~ь' л (,„(«)) ~ь' с«Ь> /,, с««д«ь с««' = й-, «ь «1 й«'= ««д«=Ь(;), ««с««',/в д« что и требовалось.

Из предложения 1.1 вытекает, что,ллнньь всех гладких параметрических кривых, входящих в одну и ту же кривую, одинаковы. 1!оэтому имеет смысл говорить о длине гладкой кривой, понимая под нгй длину произвольного представителя этои кривой. Доказательство. Пусть «: [а, Ь] — > 'йв гладкое отображение, и д: [а', Ь'] — > [а, Ь] гладкая замена параметризапии. !ак как со монотонная функ- пия, имеем: 1(ривыс на плоскости. оспражноние 1.6 Доьазать аналог пргдлозксния Е 1 для произвольной из- ,нос!!с,исус! кривой.

Понятие длины позволяет выбрать на кривой некоторос естественное семейство параметризаций. Опред! ление. 11араметр я измеримой кривой у[в) называется натура.сьны.и, если в — а равно длине части кривой;: между точками -с[сл) и;[я) для любо! о в б [а, 6]. Если С произвольный параметр гладкой кривой С: [а, Ь] — у Ск", то с отображение ср[С) = ]„[ С[т)[ 11т задает замену параметра, приводящую к натуральному параметру в = р[1), если и только если со гладкая — 1 функция.

11 частности, на кривой из упражнения 1.3, для которой угол стыковки отрезков отличен от 180о, нельзя ввести натурачьного параъсетра [проверьте). Тем не менее, если кривая регулярна, то проблем нс ВО:псикае,"г. Предложение 1.2 Па гладкой кривой лсоакно ооести насаурольный пара- метр! соли и пгояько если зта кривая рсеу,сярпа. Доказательство. Если кривая С[С) регулярна, то отображение ,р: с у [ [[.с [т) [[ йг е имеет гладкое обратное, поэтому ср заъссна параметра С на натуральный параметр в = у[С).

Для доказательства обратного утверждения достаточно заъсстит!ч что всякая натурально параметризованная гладкая параметричсская кривая регулярна, поэтому любая кривая, отличающаяся от цее заменой параметризации также регулярна. что и требовалось. Примеры вычисления натуральной параметризации. 1'ассмотрим отрезан пуя.кса, заданный параметричоски так: ъзсС) = о,С Р Ь„С Е [Со, Сс), !' = 1,..., о. Данная параметризапия но явяяесся натуральной, и мы, как н в доказательство пред зоження 1.2, вайлем натуральный парам! гр, вычислив длину отр!,зка: 2 .11)ю/ ~( и) Ысю[с — сс) ~ ~с. се Если «рнвую из упражнения 1.3 рассмагривачь н «ак гладкую, а как непрерывную измеримую кривую, то, коне шо, натура ! Если зке мы ! д "у Р .

!ня, .!ам!на параметра до!окна сохранять гладкость кривой, а переход к остоствонному натуральному парамоуру г !адкость нарушае!. 1(ругвыс на плоскости. Поэтому в натуральной параметризапии отрезок выглядит так: ол и'[з) = л -~- сВс -~- Ь', 1 = 1,..., я. Е .' з[2)= / ВИ=2В. о Поэтому натуральная параметризапия з[з) окружности ралиуса В имеет вид г г [з)=Ввш В' е [з) =Всов —, В гд~ з Е [0,2 гВ). Натуральные параметры обладают следующими свойствами. эгпражнение 1.7 Если вз и в даа натуральных параметра на кривой у, пзо вз = ва+ с длл некогпорого тела с Е .. Предложение 1.3 Параметр в на усгуллрной ьриаой и[в) лвллси~сл на- гауральныж, если и только если [[ ~[в)[ = 1.

Доказательство. Пусть в натуральный параметр, т.с. + ~ !!Зэ[)) ![а. Дифференпируя левую и правую части равенства по я, получаем требуемое. Обратно, если ~ з[в)[[ = 1, то ,з — а ье / гИ = [ [-)[1)! гИ, поэтому в — а равно длине части кривой З между точками у[а) и у[в), т.с. л натуральный параметр. Что и требовалось. Прежде чем формулировать следующее свойство, напомним, что ескпзоро,н ускорения гладкой паражгтричсской хриаой у в точке 2 [1) называется вектор у = [зу [1),..., йв[/)). Предложение 1.4 Пугть в натуральный пара.нгтр на регулярной красой ~с '1 огда е каждой то ~кс лриеой; еелтор угкорения -') перпендикулярен аекгпору скороспзи З.

Слсдумший пример окружностьрадиуса В на плоскости'Р . Зададим окружность парамстричсски так: е1[2) = В совб из[в) = В ыпд Ь Е [0,2я). ',Зта парамстризапия снова нс натуральная, а натуральньзй параметр имеет вид: 1(рллвыс на плоскости. 2(у (я), 17: (я) ) = О, по и требовалось. '1тобы охарактеризовать степень искривления отдельных участков кривой, обычно поступают следующим образом. Будем двигаться вдоль кривой с единичной по модулю скоростью.

Тогда на участках с болыпсй кривизной ускорение движения будет больше, чем на участках с меньшей. Величина этого ускорения и задает фупкпию кривизны. Болег формально, пусть у произвольнвл регулярная кривая. Выберем на; натуральный параметр ь. Тогда величина к)ь) = ~~Яв) ~ называется кривизной криоой 7 в то 7кс у(в). Ясно, что к(я) не зависит от выбора натурального параметра.

Характеристики

Список файлов лекций