А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Л йхсе)(йхи Л .. Л йх") дИ . йх Л (йх" Л "Лйх' )(йхсн Л ..Лйхэ ) дха д+ у ) йх Л (йлм Л .. Л йх' )(йхп Л .. Л йху ) =( ) ду дд) дх ' дт ) йх Л (йхп Л .. Лйх'е)) Л (д йхм Л . Лйхэе) + =( ду дхо +( — 1)п(у йхм Л. Лйхс') Л ( йхо Л (йхд Л ..Лй лй)) с дд дх' = й(Р) л б~+ (-1) и л й(с,)), что и требовалось. Отметим, что здесь ( — 1)п четность перестановки, меняющей местами йх" и моном йх" Л Л йх' . Третье свойство также достаточно проверить для мономов вида у йхм Л Л йх''.
Оно немедленно вытекает из симметричности вторых частных дг( производных, и косой симметрии внешнего произведения йх' Л йхэ. дх'дхэ В силу линейности внешнего дифференцирования и операции перенесения, последнее свойство тоже достаточно проверить для монома Р у йх" Л . Л йхсе. Обозначим через (сс,...,1ю) локальные координаты на Х, и пусть х' = х'(с~,..., Р") координатное представление отображения Г.
Тогда Е*(йР) = Р'(с1Цйхм Л ..Лйх'")) Г'( йх Лйх" Л. Лйхс ) ду дхо й1 Лйр' Л ..Лйсэе ду дх дхс дх" о дхо дсд дфй д11 — „(у(х(1)) . " )й1олй1" л" лйре й((Р. У) — "' .. ',,ы йР Л .. Л Ы ) с1(Г'Р), что и требовалось. Предложение полностью доказано. Па самом деле, мы определили только дифференциал формы фиксированной степени р, а не произвольного элемента алгебры й*, каким является ссР+ сэСС.
Поэтому для р ~ о формула сС(Р+ СС) = сСР + йСг имеет место по определению. Внешние дифференциальные формы где, как мы вычислили в лемме 3.2, функции Х и д связаны так; 1 дх д(Х1,, Ха ) = Х(Х (Х1,..., Х" ),..., Хо(Х1,..., Х" )) НЕФ ( Но тогда, воспользовавшись формулой замены переменных в кратном интеграле и тем фактом, что якобиан функции перехода 1оо(уз') 1 положителен, запишем интеграл от формы 1о" по И' в координатах (х1,..., х" ) так: /- = И(" еЧУг) . / Х(х (х,..., х" ),..., х" (х,...,.
х" )) . , цид "'(д* )"'- '*'= . / Х(х1(Х1,..., х" ),..., х" (х',..., х" )) ейш1 . с1еФ( .,) 4Х . дх" .../' Х(.1 .-) .1 (ро1„Ч-'Це (1гр ../ Х(х',...,х")дх' дх". е111'1 Оставось заметить, что в правой части мы получили в точности интеграл от формы 1о'", записанный в координатах (х1,..., х"). итак, мы доказали следук1щую лемму. Лемма 3.6 Интеерал от формы 1оа но области И С ЛХ, целиком лежа1ией в одной карте, не зависит от выбора ориентированных локальнь1х координат..
Чтобы определить интеграл от формы шв в общем случае, нам придется вспомнить кое-что из прошлого семестра. Напомним, что в прошлом семестре было доказано существование разбиения единицы, подчиненного локально конечному покрытию (ХХ ) топологического пространства М. Это означает, что существует набор функций ( Х ) на ЛХ, таких что ° множество значений каждой функции Х лежит в отрезке (О, 1); ° носитель функции Х содержится в соответствующем множестве ХХ:, 48 Внешние дифференциальные формы ° для каждой точки х из М имеет место равенство ~ Х 1х) = 1. Более того, было отмечено, что если К„открытые множества в И"., то все функции Хь могут быть выбраны гладкими. Поскольку координатный гомеоморфизм ~р отождествляет каждую карту П с областью в 2", отсюда вытекает следующий результат.
Предложение 3.6 Пусть М произвольное гладкое многообразие, и((Г„,у )) локально конечный атлас на ЛХ. Тогда суьцествует разбиение единицы, подчиненное покрьппию (ХХ ), состоящее из гладких функции на многообразии М. Итак, пусть снова шь Е Х1п(ЛХ) форма с компактным носителем, и (1ХХа, уь)) --. ориентированный локально конечный атласна ориентированном многообразии ЛХ.
Пусть Х разбиение единицы, подчиненное атласу (Г ). Так как носитель формы ш" компактен, он содержится в объединении конечного числа карт ХХы...,. ХХк. Определим интеграл от формы шп по многообразию ЛХ, положив Отметим, что все интеграяы, стоящие в сумме справа берутся по областям, целиком лежащим в карте, поэтому определены. Лемма 3.7 Определение интеграла от формы ш" по многообразию М нс зависит ни от выбора разбиения единицы, ни от выбора ориентированного атласи на ориентированном многообразии ЛХ.
Доказательство. Беэ ограничения общности можно считать, что атлас карт ((ХХ, р )) конечен. Действительно, для этого достаточно вместо многообразия ЛХ рассмотреть его подмножество Ц~, ХХп которое тоже, очевидно, является многообразием. к и Итак, пусть имеется два конечных атласа ((Г,,о )) и ((Ид, фв)) и (Х„) и (до) подчиненные им разбиения единицы. Рассмотрим набор функций (Лад = Хьдд). Легко видеть, .что этот набор функций представляет собой разбиение единицы для системы множеств (Ъ;,О = ХХ О И'в). Действительно, первые два свойства из определения разбиения единицы очевидны, а что и требовалось.
Внешние дифференциальные формы Проверим теперь совпадение интегралов от формы ш, определенных с помощью разных атяасов. Имеем: =~/ (~,,ув)Х-ш='~,/ (Х уд) Ььв~~l = ~ / ьзьг~ ав т.е. интеграл, определенный с помощью покрытия (ХХ ) совпадает с инте- гралом, определенным с помощью покрытия (К„д). Аналогично проверя- ется и что интеграл, определенный с помощью (И'В) совпадает с интегра- лом, определенным с помощью (Г З).
Лемма доказана. Сформулируем простейшие свойства интеграла. Предложение 3.7 Пусть ЛХ -- гладкое ориентированное многообразие. ° Интегрирование внешних форм по ЛХ линейно: (Л1ш1 -ь Лхьгз) = Ль ш1 + Лг шз м зм зи длл любых форм ш1 и шг с компактным носителем и любых чисел Л1 и, Лз. ° Обозначим через ЛХ многообразие ЛХ с противополохсной ориентацией. Тогда длл любой формы ш с компактным носителем. Доказательство.
Первое свойство очевидно. В силу аддитивности интеграла, второе свойство достаточно проверять для формы, носитель которой содержится в одной карте. Пусть ((ХХь, со )) ориентированный атлас на ЛХ. Тогда атлас с противопололсной ориентацией, т.е. атлас на ЛХ можно получить заменив знак первой координатной функции в каждой системе локальных координат. Другими словами, если (х1,..., х") --- локальные координаты на ЛХ в карте (ХХ, ~р), то в качестве локальных координат на ЛХ можно взять (у',..., ун) = ( — х', хз,..., хв). Соответствующую карту на ЛХ обозначим через (ХХ, ф). Пусть в карте (ХХ,ф) форма ш имеет вид Х(у1,...,у")ду1 л ..
д ду". Тогда в силу леммы 3.2 рю / ю = / ../ Х(у',...,у")ду~. ду" = г(ц~ дх' /'д(х~(у1,...,у ),...,х (у1,...,у )) сЫ( )др1 д;, дуг 51 Внешние дифференциальные формы если его можно покрыть не более чем счетным семейством открытых множеств, каждое из которых гомеоморфно некоторому открытому. подмножеству в полупространстве К" = ((х1,..., х") ~ х~ ) О). Последнее означает, что точки пространства ЛХ разбиваются на два класса: точки, обладающие окрестностью, гомеоморфной пространству Й" (такие точки называют внутренними); и точки, обладающие окрестностью, гомсоморфной полупространству Р„" (такие точки называют краевыми). Край дЛХ это множество всех краевых точек из ЛХ. В качестве примера многообразия с краем можно рассмотреть любую область в К", граница которой задана неявно гладкой функцией в виде Х(х) = О, причем дХ ф 0 на этой границе; в частности, многообразием с краем является замкнутый шар Л ',,(х')г — Вг < О.
Упражнение. Покажите, что полноторий, ограниченный тором, полученным при вращении вокруг оси г окружности радиуса г в плоскости хг с центром в точке (ХХ, О, 0), 0 < г < В, является многообразием с краем. В каждом конкретном случае удобно пользоваться то одним, то другим из приведенных определений. Отметим, что все понятия, введенные нами вылив для случая многообразий без края дословно переносятся и на случай многообразий с краем. Для них также легко можно переформулировать и доказанные нами теоремы.
В качестве примера, рассмотрим аналог теоремы о задании многообразия системой уравнений. Пусть Р: К" — у Кь, Л < и, вектор-функция, и предположим, что во всех точках множества уровня ЛХ = (Р Е К" ~ Г(Р) = 0) дифференциал ИЕ отображения Р имеет максимальный ранг, равный й. Обозначим через (х",..., х") и (у1,..., уь) декартовы координаты в Й" и 11Я соответственно, и пусть у' = Х'(х',...,х") - . координатное представление функции Р.
Рассмотрим систему из к — 1 уравнения и одного неравенства: Х'(х',..., х") = О, 1 = 1,..., й — 1, Х~(х',..., х") ) О, и пусть ЛХ множество решений этой системы. Теорема 3.1 Если во всех точках множеслпва ЛХ = (Р 6 К" ~ Р(Р) = 0) дифференциал дР отображен л Е имеет максимальный ранг, равный й, и в каждой точке. Р й М ранг. матрицы равен к — 1, то множество М многообразие с краем дЛХ = ЛХ. Доказательство.
Действительно, во внутренних точках множества ЛХ, т.е. в точках из множества М у ЛХ, атлас карт, задающий структуру гладкого многообразия размерности и — й -Ь 1, существует в силу теоремы о 52 Внешние дифференциальные формы задании многообразия системой уравнений, примененной к системе Х~ = =Хи '=О. Рассмотрим теперь точку Р из М. В некоторой окрестности точки Р множество решений системы уравнений Х' = . = Хь ' = О по прежнему является гладким многообразием размерности а — Й + 1, которое мы обозначим через Хз'. Функция Х" является гладкой функцией на этом многообразии, причем дифференциал этой функции в точках из М по условию отличен от нуля, т.е, функция Хь является субмерсией в точках из ЛХ. Поэтому множество ЛХ является многообразием размерности б1ш Х вЂ” 1 = п — к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
