А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Общее определение тензора 23 Пример. Нам также будет полезен следующий пример. Пусть фиксированы локальные координаты (х1,..., х"), и дх",... » дхм произвольные о ковекторов соответствующего канонического базиса. Построим тензор типа (О, д), положив дхг» З З Пхг» Нам будет полезна следующая лемма. Лемма 2.8 В сделанных выше обозначениях, длл произвольной переспьа- новни о Е Яю ииеели ьТ = дх'. цо З " . З дх*.
ц ) Доказательство. Действительно, по определению операции перестановки, для любых векторов канонического базиса де *, ...,Ви» имеем: .ТР,„...,В.-,) = ТР:.о„...,де-.„,) (дх 3' 'Зих»)(д (»~»...,де»»)) дх" (д,кио). дх" (д,-.~о) =б„",о..б,",, Полученное число отлично от нуля (и равно единице), если и только если а ~ь» = ьь для всех в' = 1»... » о. Это условие переписывается в виде аь = ь' -ц»ьр Лемма доказана. Замечание. Отметим, что по определению тензорного произведения имеет место следующее тождество для произведения базисных элементов: (д, З...д, Здхз» З...д 3») З (д З...д „Зд д» З...д ь») =бн» З ..ди*, Зд,-, З ..д,-, Зйхл З йх" Зйхр' З..дх'. В частности, Их' З де» = ди» З Пх'. Ъ"пражнеиие. Пусть Т произвольный тензор типа (р, д), а (',..., с" и Ъы...,1», произвольные р ковекторов и о векторов.
Рассмотрим тензор В = Т З 4" З ' ' З ~ З 1'1 З ' З " а типа (р+ о, о + р). Показать, что полная свертка тензора Я С,',( . ~С,"~,(Ст+'~... (О,""(В)...) равна значению тензора Т на наборе с1,..., с"; Ъы..., Ъ;,. Общее определение тензора 24 2.4.5 Опускание и поднятие индекса. Предположим, что фиксирован некоторый тензор А типа (О, 2). Тензор А называется невырохсдвннь»м, если в какой-нибудь, а значит и в любой локальной системе координат (х',...,ха) определитель матрицы (А» ) компонент тензора А отличен от нуля.
В этом случае существует обратная матрица (А,») ', элементы которой мы обозначим через А'». Лемма 2.9 В сделанных выше обозначениях, набор чисел 1А»») задает тен- зор»пина (2,0). Доказательство. Действительно, пусть (х»,..., х" ) другая система локальных координат, А, р --- компоненты тензора .4 в этих новых координатах, и (А' » ) элементы матрицы, обратной к невырожденной матрице (А, д). Последнее означает, что А, а А" » = б», Применив тензорный закон к тензорам А и б, получим дх» дх' дх» дх у ВхР Вхв ч Вхо Вта' поэтому В р Вха о Вху (,Вхв Вхс/Вха' Ра В»' В а' о»а Отсюда, в силу единственности обратной матрицы, заключаем; т.е. для элементов матрицы, обратной к матрице тензора .4, выполняется тензорный закон,что и требовалось.
Таким образом, если фиксирован невырожденный тензор А типа (О, 2), то определен однозначно и тензор типа (2, 0), компоненты которого в каждых локальных координатах образуют обратную матрицу к матрице компонент тензора А. Это тензор будем обозначать через А » и называть обратныгл по отношению к А. Пример. Важным примером невырожденного тензора типа (О, 2) является риманова метрика. Именно она обычно используется для подъема и опускания индексов тензоров на римановых многообразиях.
Итак, пусть в точке Р фиксирован невырожденный тензор А типа (О, 2). Пусть, далее, Т тензор типа (р,д), причем р > 1. Определим новый Общее определение тензора 25 тензор Е типа (р — 1, д+ 1), положив Е = С'$АЮТ). Таким образом, тензор Е получается в результате применения двух последовательных операций тензорного произведения и свертки. Говорят, .что тензор Ь получен из тензора Т опусканием первого индекса с помощью тензора А. Аналогично можно определить опускание к-го индекса: С~ь (А й Т), где 1 < й < р.
Далее, если Т тензор типа (р, у), причем у > 1, и 1 < й < у, то можно построить новый тензор С типа (р$+ 1,у — 1), положив С = С~я(А ~ я Т). Говорят, что тензор С получен из тензора Т поднятием И-го индекса с помо$иью те вора А. Выясним, как выглядит операция опускания и поднятия индекса в локальных координатах. Следующая лемма очевидна. Лемма 2.10 Если тпензоры Е и С получены из тензора Т типа (р,д) операциями опускан$ я и $$однятия первого индекса с помощью тензора А типа (О 2), то в произвольных локальных координатах (х$,...
$ х") их компоненты вычисляются $пак: С$$ $Я$$ А$$ОТ$2 "$Р2$ Ь -$$ — $ ь1$ "д$ — $' 1$.,о, $, Непосредств$$нно из леммы 2.10 вытекает следующий полезный факт. Лемма 2.11 Операции опускания и поднятия индекса взиимно обратны в следующем смысле: если у тензори Т сначала, скажем, о$$устыть а зитем поднять индекс с помощью одного и того же тензора А, то в результате получится исходный тензор Т с точностью до перестановки индексов.
Доказательство. Действительно, если Т "' " . -- коьшоненты тензора Т в 1$ -3$ координатах (х~,..., х"), и мы опустим у Т верхний к-ый индекс с помощью тензора А = (А; ), то пояучиги тензор Ь с компонентами г $" Р-$1 Т$$" $$ — $м$$" $Р-$ — $$,$$ з$ дд Если мы теперь поднимем у Ь первый индекс, то получим тензор С с ком- понентами г$$$. $ $$$вт$$" $~ А$$вА Т$$" $$ь$$$ч$" $Р Т$$.
м$1$$+$"з$ 1$" 1$ в1$ -д$ ' ' д -3$ В,ь 1$ " $$ Тензор С, очевидно, отличается от исходного тензора Т на перестановку $ 1 2 ... 1 — 1 й 1+1 ... пч1 2 3 ... й 1 й + 1 ... и / ' что и требовалось. Замечание. Если фиксирован невырожденный тензор типа (О, 2), то операции опускания и поднятия индексов задают каноническое, т.е. не зависящее от локальных координат, отождествление двойственных пространств ТрлХ и ТрМ. Действительно, опустив индекс у вектора, мы получим ковектор, и наоборот, подняв индекс у ковектора, мы получим вектор.
Общее определение тензора 26 Замечание. Если нсвырожденный тснзор А типа (0,2), с помощью которого мы опускаем или поднимаем индекс, в некоторой системе координат имеет вид д, — символы Кронекера, то в этих координатах операция опускания и поднятия индекса тривиальна: соответствующие компоненты тензоров просто совпадают. Поэтому, в этом случае, все индексы можно считать, например, нижними. Так например в математическом анализе, работая в пространстве Н" с декартовыми координатами (х',..., х"), не различают векторов и ковекторов, молчаливо предполагая, что индексы поднимаются и опускаются с помощью евклидового метрического тензора б, имеющего, по определению, в декартовых координатах компоненты б, Отметим, однако, что тензор, соответствующий набору чисел б,.
в координатах (хд,..., х~), не является, к сожалению, постоянным: при замене координат его компонен гы меняются по тензорному' закону: дх' дхУ у дх' дх' дну =,,А,, =7 дх" дхд д ~- дх" дхд Таким образом, равенство компонент бну символам Кронекера есть в точности условие ортогональности матрицы Якоби замены координат. Поэтому, пока мы в математическом анализе делаем ортогональные замены координат, никаких проблем не возникает. Однако, как только замена координат перестает быть ортогональной, возникают, например, "странные", с точки зрения математического анализа, формулы для вычисления компонент "вектора градиента функции".
В математическом анализе иногда градиент определяют как вектор, компоненты которого равны компонентам дифференциала. Так можно поступать, как мы теперь знаем, только в декартовых координатах. На самом деле, кажущаяся странность формул для градиента объясняется тем, что дифференциал является ковектором, и чтобы получить из него вектор градиента, чего обычно и хотлт в математическом анализе, нужно поднять индекс с помощью непостоянного тензора о. Упражнение. Выписать формулы для вычисления дифференциала функции (ковектора) в цилиндрических и сферических координатах в йз.
Поднять у полученных ковекторов индекс с помощью евклидовой метрики б. Сравнить ответ с формулами для градиента из стандартного справочника по математическому анализу. 2.4.6 Симметрирование и альтернирование. Пусть Т произвольный тензор типа (О,д). Построим по нему новый тензор д(Т) того же типа, положив Общее определение тензора 27 где суммирование берется по всем перестановкам и множества из а элементов. Говорят, что тензор Я(Т) получен из тензора Т симмеп~рированисм или симметризаиией. Ясно, что симметризация — это результат последовательного применения перестановок индексов и взятия линейной комбинации тензоров, поэтому Я(Т) действительно тензор.
Компоненты тензора 5(Т), очевидно, вычисляются так. Лемма 2.12 Компоненты тензвра Я(Т), полученного из твнзвра Т симметрчзаиией, имеют в локальньлх координатах (х~,..., хн) следующий вид: 1 ЖТ)„„= —, ~,Т,„,, „,. ~' аен, Далее, .по тензору Т построим тензор А(Т), положив А1Т) = — ~ (-1) .Т. 1 д! ел« Про тензор А(Т) говорят. что он получен из тензора Т альтернированием. Альтернирование это результат последовательного применения операций перестановки индексов и взятия линейной комбинации, поэтому А(Т) действительно тензор. Компоненты этого тензора, очевидно, вычисляются так. Лемма 2.13 Ьсли тензор А(Т) получен из тензора Т альтернированивм, тв егв компоненты в локальных координатах (х1,...,х") выглядят так: .4(Т)„„= —, ~(-1) Т, „...,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
