А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ОО лен,. л(ц В .л(п1 ен Тс Т, „деС(, ). Таким образом, нами доказана следующая лемма, которая нам пригодиться в дальнейшем. Тс „= Тс „дес( ., ). Компонента Т1 „называелся существенной компонентой тензора Т из Л" (ТрЛХ). 3.2 Алгебра внешних дифференциальных форм Пусть ЛХ вЂ”.-- гладкое многообразие. Определение. Внешней диффсренци льной формой степени о на ЛХ назы- вается тензорное поле кососимметрических тензоров типа (О, с1). Пусть сов внешняя дифференциальная форма степени о на многообразии ЛХ.
Если на ЛХ фиксированы некоторые локальные координаты (т',..., то), то в каждой точке Р из области определения ХХ с ЛХ этих локальных координат, кососимметрический тензор сов типа (О, с1) может быть записан, в силу предложения 3.1, в виде сов(Р) = ~ сон мСР)дхн д .. д дх", с<ь«" ч<о где сос,, л, (Р) -- гладкие функции, определенные на области П многообра- зия ЛХ. Если точка Р принадлежит пересечению П П Г областей определе- ния П и Г локальных координат (т~,..., к") и (в.',..., ло ), то форму шв можно записать в этих координатах в виде со~(,Р) = ~ сэг л (Р)дв" д..
ддх", ц<~', <" <с' <и Лемма 3.2 Компонента Тс „кососимжетпричного тензора типа (О, и) на и<мерном многообразии при галене координат улновкается на определи- тель матрицы Якоби этой замены: 35 Внешние дифференциальные формы Функции ш... (Р) и шг, (Р) это компоненты одного и того же тени,.л„ зорного поля шЯ, поэтому они на пересечении ХХП Г связаны по тензорному закону.
Если ьсЯ внешняя форма на многообразии ЛХ, то в каждой точке Р многообразия ЛХ задано тем самым кососимметричное полилинейное отображение из (ТрМ) в числа, которое мы обозначим через ис~~р. Пример. Пусть на многообразии ЛХ = Кз фиксированы стандартные декартовы координаты Сх, д), Зададим на Кз внешнюю форму шз степени 2, положив ш = (л + у)сХл Л с1д. Вычислим значение формы сэз на касательных векторах И = (1, 2) и Ис = (3,4) из касательного пространства Трез к плоскости в точке Р = (5,6). Форма сэ'-'~р имеет вид сэз~р = (5з + 6)с1т Л с1д = 31с1т Л с1д.
Поэтому сл~~рЯ И') = 31дх Л с1дс)сИ) = 31с1еС = — 62. 3 4 ( Пример. Пусть Х произвольная гладкая функция на многообразии М. Тогда ее дифференциал сХХ является 1-формой на многообразии ЛХ. Если 1х',...,и") локальные координаты, то форма с1Х записывается в виде дХ сХХ = — йс. ди' Пример. Пусть ЛХ" и-мерное ориентированное риманово многообразие. Обозначим через д гладкую функцию на ЛХ, равную определителю матрицы метрики в точках многообразия. Определим на М внешнюю форму эо1„степени и, положив ее равной зо1„= т/дс1л Л .. Л с1ин в локальных координатах, согласованных с ориентацией многообразия М, и го1„= — ьГдсХт' Л .
Л с)и" в остальных локальных координатах. Легко проверить, что приведенные формулы действительно задают на ЛХ дифференциальную форму. В самом деле, если дб компоненты римановой метрики в координатах 'си~,..., т"), и 1х~,..., и" ) другая система локальных координат на ЛХ, то компоненты дгу римановой метрики в новых координатах выглядят так: дх' длэ дхс диХ Поэтому д.с з с)ес(дн, ) = с1ес(,) с1ес(до), Внешние дифференциальные формы 36 откуда, пользуясь леммой 3.2, заключаем что 1го1о)1 „= 11о1„)1 вс1ес(,) = )??деС(дд)с1е1(,) = дхс = ш8п дет (, ) де с Сдсар ), т.е.
выражение сд меняется при замене координат как существенная компонента дифференциальной формы степени и, что и требовалось. Форлса ио1в называетсл фоРмой объема Рименове многообРвзил ЛХ 1ПодУлсайте, почему?). Так как результат альтернирования зто кососиммстрический тензор, Р Л С,) действительно представляет собой элемент пространства йе+г?ЛХ). Форма Р Л Я называется внешним ссроизведением форм Р и с ), а сама опе- рация л; 1)е?ЛХ) х й21ЛХ) л й" ' 21ЛХ) --.
внешним умножением. Пример. Пусть 1хс,..., х") . система локальных координат, и дхс и дхг --. базисные ковекторы. Найдем, чему равно внешнее произведение дх' Л дхз, Воспользовавшись определением и леммой 2.8, получим: 2! .ссдт1 Р дх2) 2 ~ 1 1)а ?дх1 а) 11 11 аенг с 1)~ д, г )ЦЗд а 12) ~~,~~( 1)ад,а?1) уд ас2) аЕЯг сев с?тс Л дхг 1Тут мы воспользовались тем, что четность перестановок сс и сс одинакова.) Но тогда, в силу леммы 3.1, мы получаем, что внешнее произведение Очевидно, линейная комбинация внешних дифференциальных форм степени д 111 функциональными коэффициентами) является дифференциальной формой степени д. Поэтому дифференциальные формы степени д на ЛХ образуют линейное пространство, которое мы обозначим через й21ЛХ). Объединение 0" ейв)ЛХ) обозначим чеРез й*)ЛХ) 1напомним, что пРи д > п все дифференциальные формы степени д на и-мерном многообразии тривиальны, т.е.
равны нулю). Превратим пространство й*1ЛХ) в алгебру, введя на нем операцию умно- женин. Обычное тензорное произведение не подходит, так как тензорное произведение кососимметрических тензоров не обязано быть кососимлсетричным. Пусть Р Е й'1ЛХ) и сХ Е йв1ЛХ) -- дифференциальные формы на ЛХ. Обозначим через Р Л Я дифференциальную форму степени р+ д, определенную так: Внешние дифференциальные формы ковекторов дх1 и дхз совпадает в каждой точке с элементом дх»Лдхь базиса > пространства Л». В частности, дх~ Лдхз(1'1,1тз) =деь 1 12 у), и2 и2 где »1 = (о1~, о12), и 1'2 = (и21, о22). с1уть ниже яды увидим, что и вообще все базисные элементы (дхп Л .
Лдхда) на самом деле внешние произведения соответствующих базисных ковекторов. Докажем простейшие свойства внешнего произведения. Предложение 3.2 Внешнее произведение билинейно, ассоциативно и но- сокоммутативно в следующем смьшлвд Р Л Я = ( — 1)Р»Я Л Р. Доказательство. Билинейность немедленно вытекает из дистрибутивности тензорного произведения и линейности альтернирования. Проверим ассоциативность. Пусть Р Е й", (~у Е й», и В е й".
Тогда Осталось воспользоваться следствием 2.1 и ассоциативностью тензорного произведения. В итоге, получаем (Р Л О) Л В =,, А(Р З Я З В), что и доказывает ассоциативность внешнего умножения. Для доказательства косой силдметрии вычислим сначала значение поли- линейного отображения А(Р З Ц), где как и выше Р Е й", и () Е йд, на произвольном наборе векторов 1:1,..., 1'ртд. Получим: ЯР З Я) Я,...,1„тд) 1 ~ (-1) (РЗЮН1'.Пр...,1'.(р,»1) 1 +И' ' екала 1 ( 1) Р(1 а(1р 1 а(р1)1уУ(1а(р~-В ~ ~ 1а(у~»1) (р+ ч)~ асяааа Обозначим через т перестановку из Яру», переводящую набор чисел (1,..., р+ о) в набор (й+ 1,..., о+р, 1,..., о). Очевидно, ( — 1)' равна ( — 1)" д. Вычислим значение тензора,А(Р З О) на том же наборе векторов уы..., »род.
Полу чилп ,А(РЗ1)ИЯ,...,Уруд) = А(РЗЯ)(1» 1,...,1» р,11,...,1~») ( 1) 1 (~ а(»11В. ~ 1а(ддр])Я(1с (1р . ~ 1 а(»1) Ь+ ч)'.„„ АЯ З Р)(11 . 1 ред). Внешние дифференциальные формы 38 С другой стороны, тензор А(РЗЯ) кососимметричен, поэтому, А(Р З Я) = ( — 1)сА(Р З с,)).
Окончательно получаем: АЮЗР) = „.МРЗФ = ( — 1) А(РЗФ, что и требовалось. Предложение доказано. Выясним, как устроены внешние произведения базисных 1-форм дх'. Лемма 3.3 Длл произвольного набора 'целых чисел (оы..., оь), такит. что 1 < о, < и, и произвольного набора векпсоров Ъы..., 1сь имеет меспсо ра- венство дхлсС11) дхо~(~ ) дхаьеус) дх"'Л .Лдх '®,...,$се) = с1ес д с(1' ) д " 1г' ) 1. ~(1;) В частности, внешнее произведение форм с1х"с, ..., дх„, еде 1 < ос < оь < п совпадает с базисным элементом дхо' Л...Лдх™" пространства Ль, определенным в предыдущем разделе.
Л (дх"' Л 1.. (Их"ь-' Л дх ') ..)) = 2! Яьс — г Л [ ' Асдхоь с Здхоь)~)) ) 1с 1с 3! 2! [ А(дх""-'ЗА(с1х""-'Здх'""))1 ..) 2! 1! 1! 1! З дх '). дх"' Л ..Лдх"' = дх ' = дх~с Л (с1х~' Л дхо~ Л (ахль Л = ИА(дх ' З Но тогда, в силу определения альтернирования и леммы 2.8 можно перепи- сать последнее выражение в виде ИА(дх ' З.
Здх ') И вЂ”, ~ ~( — 1) (дх 'З ..Здх'") 1 ' лезь ( — 1) с1х" 'со З..Здх 'сь) лезь ~~,'( 1)чд а с,;З З 1,ь дх"' Л .Лс1х ' лезь где через к мы переобозначили перестановку о с. Поэтому дхсп Л .. Л дх"" (Гы..., Ул) = Е ( — 1) лдхо го (111) .. дха ьо Ю, лги что и доказывает лемму. Доказательство. Действительно, воспользовавшись ассоциативностью внеш- него произведения, и следствием 2.1, запишем форму дхос Л .
Л дх ' так: Внешние дифференциальные формы Следствие 3.2 Пусть (о1,...,оь) произвольный набор целых чисел, таких гто 1 < о1 < п.. Рассмогприм внешнее произведение аг~ = дх~г Л Л дха", Тогда ° форма агь равна нулю если и только если среди чисел ог встречаюгпся одинаковьге; ° для любой перестановки о Е Яь имеетп место равенство дх~г Л ..
Л дх"' = 1 — 1)~дх" го Л .. Л дх~ 1"'. В дальнейшем нам также будет полезно следующий технический результат. Следствие 3.3 Пусть Т произвольная внешняя форма степени д. Тогда 1 Тг, з„дхи л . Л Йх1" = — Т„мдх" Л . Л Йх1г. 1<гг«" г„<п у! Доказательство. Действительно, Тн г,дх" Л - Лдх" = ~ ~+ всв г ралли*гггвг и.' ввв г, рвали шм причем вторая сумма равна нулю. Представим теперь первую сумму в виде (~ Т ~Хг1О г г11) Е 1.(г1- 1.И, 1<гг« "гг<п ввзг Ног для каждого упорядоченного набора 1 < 11 « гч < и соответствующее слагаемое в скобках в силу кососимметричности тензора Т и следствия 3.2 переписывается в виде Тг „,, м,д" Л "Лдг'- =Тн мдх Л" Лдх1 ~ (1-Ц.1-Ц.), веял аезг и, таким образом, это слагаемое равно г11Т1 и дх л'''лдх Поэтому окончательно Т„мдх" Л .. Л дхгг = й! ~~г Тб „л,дхгг Л ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
