А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Однако эта ориентация соответствует ориентации кривой у векторами скоростей ),так как при обходе кривой у (т.е. при изменении параметра 1 от а до 5) область Г остается слева. Пусть ы = Р(т, у) а>т + Я(я, у) >1у -- дифференциальная 1-форма. Тогда с1ь> = ) — — — ~ длд<1у. По теореме С~окса, имеем >дЯ дР> '> ду дх( э~э>= / А>,. а это и есть формула Грина. Отметим, что все наши рассуждения были проведены в декартовых координатах (х,у) на евклидовой плоскости.
Именно в этих координатах, в которых евклидова метрика имеет вид (д>у), векторному полю Х = Рдл + Цдя соответствует дифференциальная форма ш = Р дл+ Ц а>д. Напомним, что соответствие между векторами и ковекторами зависит, вообще говоря, от выбора римановой метрики. Пусть теперь на плоскости заданы произвольные регулярные координаты (л~,тз), и Х = Х'д, > + Хзд,,> -- векторное поле, заданное в этих координатах. Как записать формулу Грина не переходя в декартовы координатыу Как мы уже знаем, чтобы построить по векторному полю дифференцизльнун> 1-форму, нужно воспользоваться операцией опускания индекса. Пусть (д>1) -- компоненты метрики в координатах (л',тз).
Тогда соответствующая векторному полю Х форма ы имеет вид ы = ыь дх , .где ыь = дь Х . Если х' = л>1>) координатное представление кривой у, то ограничение формы ы на > имеет вид: ь>~т = ыь Йя" ~.„= дя„Х и М = (Х, у) М, где в последнем выражении стоит скалярное произведение поля Х на вектор скорости кривой Т. Таким образом, выражение для циркуляции не зависит от выбора координат. Теорема Стокса утверждает, что Однако, дифференциал от формы ы теперь имеет следующии вид; Вдз»Х Вд» Л Ж|> = Длз Дл> т.е.
окончательно имеем; Внешние дифференциальные формы 3.9 Формула Гаусса — Остроградского Напомним нужные нам определения, известные из курса математического анализа. Пусть х' -- стандартные декартовы координаты в К~, Х --. векторное поле на области П с Б'.з, а Х' -- координаты поля Х.
Тогда функция называется дивергенцией поля Х. Далее, пусть гч — - поле внешних единичных нормалей к границе М = дП области П. В каждой точке Р й М ориентируом касательную плоскость ТрЛХ базисом ем ез так, чтобы тройка (Хч', смех) была положительно ориентирована (мы предполагаем, что в Кз фиксирован стандартный базис, задающий положительную ориентацию пространства 2~). В каждой точке Р е М вычивлим скалярное произведение векторов Х(Р) и д'(Р). Получаем гладкую функцию (Х,Х) на ЛХ.
На поверхности ЛХ определена индуцированная метрика, превращающая ЛХ в риманово многообразие. Поэтому. определен интеграл от любой непрерывной функции на ЛХ (напомним, что интеграл от функции по риманову многообразию -- это интеграл от дифференциальной формы, полученной умножением формы объема на эту функцию). Определение. Интеграл от функции (Х, Х) по поверхности ЛХ называ- етсл потоком векторного поля Х через поверхность ЛХ. Если (и1, из) — локальные координаты на ЛХ, в которых ЛХ задается в виде параметрической регулярной поверхности г(и, и-), причем г„1 х г в д' = ~вга~ х гч2 !я' и (дм) --- матрица индуцированной метрики, а д = бес(до), то поток поля Х через ЛХ задается интегралом (Х, ЛХ),Я Йи' д Йи .
м Теорема 3.4 (Формула Гаусса — Остроградского) Поток векторного поля Х через границу ЛХ = дй области П равен интегралу по области П от дивергеиаии поля Х. В координатах: (Х, Х),Яди д ди = 41чХдх~ д дхз д дхз. м дп Внешние дифференциальные формы 60 Покажем, что теорема Остроградского — Гаусса является частным случаем общей формулы Стокса. Для этого достаточно построить такую дифференциальную 2-форму ш на П, что ее ограничение на Ы совпадает (в координатах и', иг) с (Х, ТУ) д ди' Л диг, а ее дифференциал дьз имеет вид ЙЬ Х дхг Л Ихг Л дх'. Рассмотрим 1-форму Т на Ьг, полученную из поля Х опусканием индексов.
Тогда в качестве формы ю можно взять яТ. Проверим, что ы искомая 2-форма. Пусть Х' —. - координаты поля Х, тогда Тг = Х' (напомним, что метрика у нас евклидова, а координаты декартовы), и ы=~~ ы,.дх'Лдхг =Х'дх Лдх +Х дх Лдх +Х дх Лдх, гсу поэтому дХ' 1 и =(г ' )ь'ь.я'ьм'=а хь'ьь'пь'. дх) Нам осталось доказать следующее утверждение. ш)м = (Х,Ъ),Яди Л диг Доказательство.
Так как дх' = — ~~ ди", то дх' дхг я ~ с дх' дх~ дх' дхз х ди," ди' диг диг диг диг Положим дх' дх' дх' дх' диг диг диг диг ' Таким образом, =(Х Л +Х Л +Х Л' )ди'Лди Далее, г д Й Вя' Ояь Вяь Вьт Вьг Вьт вб о,ь ввьг заьг и в (,1гв 1зг Гьь Х Гьь Напомним, что (д(гд)) это матрица Грамма системы векторов г, г„2. Ъ'тверждеиие 3.2 Пусть Т зто 1-форма на П, получающаяся из по я Х опусканием индексов, а ю = *Т. Тогда ограничение ы~м формы ш на поверхность Ы задается так; 61 Внешние дифференциальные формы Лемма 3.8 Пусть а и 6 два вектора в К", С их,яатрааа Грамма,.
и д = <1еьС. Тогда площадь Я параллелограмма П, натянутого на (а,б), равна Гд, Доказательство. Действительно, пусть у угол между а и 6. Тогда деФС = а-'бз — (а 6) = азу~ — изба сов~ р = а'6~ в1па р = Яэ что и требовалось. Из леммы 38 вьгтекает, что ~~гп х гь~~ = /д, поэтому г 1 х г ь = lддт.
В итоге получаем г~м = (Х,г„1 х г ь) ди Лди = (Х,Х),Яди Л ди, что и требовалось. Упражнение. Проверить, что определение потока векторного поля через поверхность не зависит от выбора координат. Упражнение. Показать, что в криволинейных координатах (х~, хз, хз) ди- вергенция векторного поля Х выглядит так: 61чХ = — ( удХ ). я Гд дх" 3.10 сРормула Стокса для поверхностей в Кз Пусть Й' С Кз -- некоторая область, и Й С Й' замкнутая компактная область с гладкой границей дЙ, состоящей из конечного числа регулярных кривых.
Пусть (и',иа) .— декартовы координаты в Кз з Й' з Й, и г; Й' — ь йз -- регулярная поверхность. Ограничение отображения г на Й называется регулярной, поверхностью с краем г: дй — ь Кз, а область Й параметрической областью этой поверхности. Если г является вложениелц то можно отождествить такую поверхность с ее образом и рассматривать поверхность как подмногообразие с краем, лежащее в йз. В дальнейшем, для простоты, мы будем предполагать, что г вложение. Итак, пусть М регулярная поверхность в йь с краем дМ, заданная параметрически в виде г(й,и ) = 1х (и, а )х (и,и ), х' 1и,и )), где (х~,х~,хз) стандартные декартовы координаты в К~, а ~и~,иэ) координаты на поверхности ЛХ (точнее говоря, в параметрической области Й С Б':э этой поверхности). Внешние дифференциальные формы 62 Обозначим через Лс каноническое поле единичных нормалей к поверхности Л|, полученное так: Лс = гы к гьь ~! ы .
1~' Пусть д; = (гь,,г„,) компоненты индуцированной на ЛХ метрики, а д определитель матрицы (дс ). Рассмотрим произвольное векторное поле Х в есз. Напомним, что роспором го1 Х поля Х называется векторное поле на К~, имеющее в декартовых координатах (х', х-, хз) следующий вид г у Й в а в Ояс дьг дяг Х' Хз Хз дХз дХз дХз дЛ' дУ' дХзь1 дез дхз ' дхс дхз ' дхз дхс / Так же, как и выше, поток векторного поля госХ через поверхность ЛХ равен интегралу от функции (гоь Х, Лс) по ЛХ: (госХ,Л') = / (госХ,дс) сдвиг де)ссз. l. ь, ~ (Х.-а)д1 не меняется при монотонно возрастающих заменах параметра й Этот интеграл называется циркуляцией векторного поля Х вдоль кривой дг Отметим, что если в качестве параметра 1 выбрать натуральный параметр в, то длины всех векторов ус будут равны 1, и, фактически, вектор е = ус в точке Р = Яв) будет тем из двух единичных векторов касательной прямой ТрдЛХ, для которого репер (и, е) положительно ориентирован.
Более того, рассматривая дЛХ как риманово многообразие с индуцированной метрикой,мы получаем,что Дв зто форма одномерного объема (т.е. длины), соответствующая выбранной (канонической) ориентации края дЛХ. Таким образом, циркуляция векторного поля Х вдоль у, это интеграл по канонически ориентированной компоненте у, края дЛХ от функции (Х,е). Далее, .обозначим через ус регулярные замкнутые кривые в Рсз (одномерные подмногообразия), являющиеся связными компонентами края дЛХ. В касательной плоскости ТрЛХ в каждой точке Р Е у, выберем единичный вектор пь перпендикулярный у, и направленный наружу поверхности ЛХ.
Выберем на Т; параметр Х Е ~ас,б,) (и, тем самым, ориентируем ь) так, чтобы пара (и, ус) была положительно ориентирована относительно ориентации, заданной координатами (и',.из). Отметим, что именно такая ориентация края дЛХ является канонической. Поле Х и выбранная параметризация 61г) каждой кривой у, порождают на параьсетризуюшем кривую ус отрезке ~а, Ь,) функцию (Х,'ус). Легко видеть, что интеграл 63 Внешние дифференциальные формы Сумму циркуляций поля Х по всеьл коьлпонентам ус края дЛХ начовеьс цир- куляцией полл Х вдоль края дМ поверхности ЛХ и обозначим через (Х,е) = / (Х,дМ) дг. , =/ влс увлс Теорема 3.5 (с1гормула Стокса для поверхностей) Поток ротора гог Х векторного поля Х через компактную рггу ярную поверхность ЛХ в Кз с гладким краем дЛХ равен циркуляции поля Х вдоль края дЛХ: (гоь Х, Л') = / (Х, е). лг у ам В координатах: сь' (гогх,с1с) Хссах Л ди, = (Х,дМ) сН = ~ / (Х,"сс) сН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
