А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Действительно, потенпиальность поля Х равносильна условию ы = дР для некоторой функции Р (потенциала поля Х), но последнее условие равносильно 1по лемме Пуанкаре) условию дш = О, что равносильно условию гогХ = 0 (операции 1 и ь устанавливают изоморфизмы соответствующих векторных пространств). Таким образом, первое утверждение доказано. Докажем второе утверждение. Бездивергентность поля Х равносильна условию д1ьш) = О, т.е. условию замкнутости формы ььэ.
Последнее условие равносильно 1в силу леммы Пуанкаре) точности этой формы, т.е. условию *ы = дг1 для некоторой 1-формы гр Применяя операцию * к обеим частям последнего равенства, получаем 1(Х) = ьэ = ьдг1 = 1(гогУ), где У векторное поле, соответствующее 1-форме г1. Поэтому Х = гогу, а это и есть условие соленоидальности поля Л . Доказательство закончено. 80 Внешние дифференциальные формы 3.12.7 Гомотопии и когомологии Чтобы использовать группы когомологий для решения задач о не гомеоморфности данных многообразий, следует изучить как ведут себя эти группы при гомеоморфизмах. Как мы вскоре увидим, группы когомологий сохраняются даже при существенно более общих отображениях, а именно, при так называемых гомотопических эквивалентностях. Пусть Х и У топологические пространства, и уь: Х вЂ” ь У, ь = О, 1, непрерывные отображения пространства Х в пространство У.
Отображения 1в и )ь называются гомотоинымьд если существует такое непрерывное отображение Р: Х х [О, 1] — ь У, что Г(х, 0) = ?в(х)ь и г (х, 1) = уь(х) для каждого х е Л. Отображение Е в этом случае называется гомотопивй отобрааиенил Д в отобраивение ~ь. Если Х и 1' гладкие многообразия, гладкие отображения, то мы будем говорить, что отображения ув и уь гладко гомотопны или, для краткости, гомотопньд если существует гомотопия Е отображения ув в )'ьь являющаяся гладким отображением из Х х ~Оь1) в У. Говорят, что топологические пространства Х и У гомотопически эквв; валентны, если существуют непрерывные отображения ~: Х -+ У и д: У вЂ” ь Л, такие что отображение у о д гомотопно 1г, а отображение д о у гомотопно 1х, где, напольним, через 1х обозначается тождественное отображение пространства Х на себя.
Два многообразия называются гомотопически эквивалентвымгь если существуют гладкие отображения 1: Х вЂ” ь У и д: 1' — Ь Х, таКИЕ ЧтО Ь" о д ГЛадКО ГОМОтОПНО 1Г, а д о 1" ГЛадКО ГОМОтОПНО Пример. Пусть Х вЂ” одноточечное пространство, а У . — пространство К". Возьььеьи в качестве у отображение, переводящее Х в начало координат пространства К", а в качестве д отображение всего К" в точку Х.
Тогда, очевидно, д о у = 1х, а у о д отображение всего Е" в начало координат. Покажем, что ь' о д гомотопно 1н . Для этого достаточно рассмотреть отображение Е: К" х ~0, Ц, устроенное так: Е: (ьд,с) ь — ь сд. Очевидно, г (д, 0) = 0 Е Б'," для любого д, и К(д, 1) = д для любого уь т.е. г' (д, 0) = 1 о д, а Р(д, 1) = 1н-.
Более того, гомотопия Р гладкая. Итак, многообразия Х = 1*) и Кв гомотопически эквивалентны. Упражнение. Показать, что К" гомотопически эквивалентно Кь для лю- бых и и й. Упражнение. Показать, что К" 'ь 10) гомотопически эквивалентно Я" Упражнение. Чему. гомотопически эквивалентно Кз с выброшенной прямой? Чему гомотопически эквивалентно Кьь с дву.мя выброшенными точками.' 81 Внешние дифференциальные формы Ъ"пражнение.
Показать, что если два топологических пространства го- меоморфны, то они гомотопически эквивалентны. Оказывается, гомотопные отображения порождают одинаковые гомолюрфизмы групп когомологий. А именно, ил»еет место следующая теорема. Теорема 3.8 Пусть ЛХ и А> гладкие многообразия, и Х и д гомотопные отображения из М в Л>. Тогда соответствуюи>ие гомомор>Х>измь> Х' и д* групп когомологий совпадают. Доказательство. Так как отображения Х и д гомотопны, существует отображение Г; М х 2» †> ЛХ, такое что Г(х,1) = Х(х) при 1 < О, и Г(х,1) = д(х) при 1 > 1. Другими словами, если в;: ЛХ вЂ” > ЛХ х Б.", » = О, 1, вложения вида во(т) = (>»», О) и в» т) = (т, 1) соответственно, то Х = Гово, а д = Гов». Таким образом, Х' = в„*оГ', и д' = в'оГ*. Однако, в силу предложения 3.11, гомоморфизмы во и в*, оба обратны к к*, где я: М х К вЂ” » ЛХ вЂ” проекция на первый сомножитсль.
Поэтому во — — в». Следовательно, Х* = д', что и требовалось. Следствие 3.6 Пуси>ь многообразия ЛХ и Х гомон»апически эквиваленп>ны. Тогда их группы когомологий совпадают. Следствие 3.7 Пусть многообразия ЛХ и А> гомеоморфнь». Тогда их группы когомалогий совпадают. 3.13 Симилектические многообразия Симплектические многообразия играют важную роль в приложениях, осо- бенно в механикс и вариационном исчислении. Определение. Многообразие ЛХ называется сн.нплектическим, если на нем задана дифференциальная форма ш, обладающая следующими двумя свойствами. 1) Форма а> замкнута, т.е, дш = О. 2) В каждой точке Р из ЛХ внешняя форма о>(Р) невырожденна, т.е, для каждого вектора с Е ТрЛХ существует вектор ю Е ТрЛХ, такой что о>(и,»в) ~ О. Форма ш в этом случае называется симплектическай структурой на мно- гообразии ЛХ.
Пример. Пространство Кгь с координатами (х~,..., х", у',..., уь) и формой»о = дх» Лбу»+..+дх" Лбу" является симплектическим многообразием (докажите) . 82 Внешние дифференциальные формы Пример. Пусть М гладкое многообразие, и Т'ЛХ кокасательное расслоение к многообразию М. Обозначим через сы Т'М -+ ЛХ естественную проекцию, сопоставляющую каждому ковектору с е ТрЛХ точку Р е ЛХ.
Определим на Т*М следующую 1-форму а. Пусть Ис = (Р,с) е ТрМ произвольная точка из Т'М (напомним, что И' это ковектор с, заданный в точке Р Е ЛХ), и о Е Тсг(Т" М) касательныи вектор. Тогда х,(о) 6 ТрЛХ. Положим сс(о) = С(к„(и)). Ясно, что а задает в каждой точке И" е Т*М линейную функцию на Ти (Т'ЛХ), т.е, сх . - это 1-форма на кокасательном расслоении. Определим замкнутую 2-форму со так: со = с1сс.
Эта форма оказывается невырожденной. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать эту форму в локальных координатах. Пусть (х',..., хо) некоторая карта на ЛХ, и (х'..., х", ры...,р„) соответствующая карта на Т'М. Тогда легко видеть, что в этих координатах форма а имеет вид а = р,дх', поэтому ш = с1о = сХрс ссс1х' невырожденная замкнутая форма. Имеет место следующее простое утверждение. Утверждение 3.11 Размериостпь симплектического многообразия чепм иое число.
Доказательство. Действительно, если (х,..., хо) произвольные координаты в окрестности произвольной точки Р симплектического п-мерного многообразия М, и сосу -- компоненты симплектической структуры со в этих координатах, то, по определению, й = (ы, ) кососимметрическая невырожденнзя матрица, откуда 0 ф- с1е1 й = с1еС й~ = с1е1( — й) = ( — 1)" с1ес й, поэтому ( — 1)" = 1, т.е.
п четно, что и требовалось. Симплектическая структура ш устанавливает изоморфизм между ковекторами и векторами (как и любое другое невырожденное тензорное поле типа (0,2)). Если И касательный вектор, то ему соответствует ковектор с, такой что для любого другого вектора И' имеет место равенство Ц(И') = со(1', И'). Обозначим через 1: ТрЛХ вЂ” ~ ТрЛХ соответствующий изолсорфизм. Если Н - — гладкая функция на Л1, то векторное поле 1(сХН) называется ее косым градиентом и обозначается через вбгас1Н. Друтимн словами, Ис(Н) = дН(Ис) = со(вдгас1Н, И').
Если М = Гсзо со стандартной симплектической структурой 2, дх' 1с с)ус в координатах (хс,..., х", ус,..., рп), то ссдН дН дН дН ~ Известная из механики система уравнений Гамильтона на этом языке за- писывается так; (х,у) = 1(ЯН(х)) = вбгас1Н. Ковариантное дифференцирование Существования симплектической структуры на многообразии ЛХ накладывает ряд жестких ограничений на устройство ЛХ.
Мы уже видели, что размерность ЛХ в этом случае обязана быть четной. Приведем еще один такой результат. Утверждение 3.12 Пусть ЛХ компактное симплектпическое многообр зие размерности 2п. Тогда Н (ЛХ) у- 'О. Доказательство. Пусть щ --- симплектическая структура на ЛХ. Покажем, что форма ы не точна (это и будет означать, что Нз(ЛХ) ф 0). Действительно, если ы = до, то форма Й =ОРЛ' дщ ь раз также будет точной, так как йь = И(о Л ы Л . д ьз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
