А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Решая эту систему, т.е. умножая на матрицу (д Л) обратную к (д; ), получаем требуемое равенство. Итак, мы доказали, что если риманова связность существует, то ее компоненты однозначно вычисляются в локальных координатах через компоненты метрики, поэтому риманова связность единственна. Докажем теперь существование римановой связности. Для этого сопоставим каждой локальной системе координат (х',...,х") на ЛХ набор функций Г'ь, имеющих вид 1 1 ш (В~а ддьв ддуь '~ 2 ~ дх" дх~ дх'" / Эти функпии, очевидно симметричны по нижним индексам.
Поэтому, в силу транзитивности закона преобразования символов Кристоффеля, в каждой карте мы, тем самым, задали некоторую симметричную связность. Более того, каждая построенная связность является римановой, так как Tд = 0 в силу выбора символов Кристоффеля.
Осталось проверить, что связности из разных карт согласованы, т.е, связаны по закону преобразования символов Кристоффеля. Коварнантное дифференцирование Пусть (х1,..., х" ) и (х1,..., х") системы локальных координат двух пересекающихся карт о' и Г соответственно. Рассмотрим в пересечении Г П о' две системы функций от координат (х1,..., х"); компоненты (Г'я) римановой связности, построенной нами в карте Н, и функции дх' дх' дх" дзхз дх' ' Я дт" дхз дхл дхздхь дхр' + пересчитанные из компонент (Г', ) римановой связности, построенной нами в карте Г, по правилам преобразования символов Кристоффеля. Но так как соотношение ~уд = 0 является тензорным, оно справедливо в области Г П Г' как в координатах (х',...,х"), так и в координатах (хГ,..., х" ), откуда вытекает, что функции Ь' , являются компонентами римановой связности в координатах (х',..., х"), и, в силу уже доказанной единственности, совпадают с Гуы что и требовалось.
Предложение доказано. Упражнение. Показать, что функции г ~ ~а (ддза дды ддуя '1 2 ~ дх" дхз дхв! при замене координат преобразуются как символы Кристоффеля, пользу- лсь только тензорным законом. Замечание. В дальнейшем, говоря о ковариантном дифференцировании на римановом многообразии мы всегда, если не оговорено противное, будем иметь ввиду ковариантное дифференцирование относительно римановой связности. Пример. Пусть М" с ьч'"'+' --. регулярная гиперповерхность в Ь"+'. Для касательных векторных полей на М определим операцию ковариантного дифференцирования по мчой координате на поверхности так: где Л касательное векторное поле, и через ( )г обозначена операция ортогонального проектирования на касательную плоскость к поверхности.
Из материала прошлого семестра (деривационные формулы) вытекает, .что зта операция является ковариантным дифференцированием относительно римановой связности, порожденной на поверхности М ее первой квадратичной формой. Упражнение. Обобщить результат предыдущего примера на случай подмногообразия произвольного риманова многообразия.
Л именно, пусть ПП Коварнантное дифференцирование 1Ф' произвольное риманово многообразие, и Ф операция ковариантного дифференцирования относительно римановой связности на И'. Далее, пусть ЛХ . - подмногообразие в И', на котором мы рассматриваем индупированную риманову метрику, и и - —. ковариантное дифференцирование относительно римановой связности на М. Показать, что для произвольных касательных векторных полей Х и И на М имеет место равенство ~зхт = (ух~ ) где через Нт обозначена операция ортогонального проектирования про- странства ТрИг на подпространство ТрМ (в метрике многообразия И'). В дальнейшем нам также будет полезно следующее утверждение.
Лемма 4.9 Пусть Х, И и г -- произвольные векторные поля на ринановом зьногообразии ЛХ, и ~7 ковариантное дифференцирование относительно рижановой связности на М. Тогда рх(т г) = (~7х1 г) + (т 'гхг). Доказательство. Действительно, если (г~,..., т") произвольные локальные координаты,то 'Рх(1, г) = Хьтуь(у;Р" г ). Воспользовавшись формулой Лейбница, получим с хд;г) = х'(с ь(у;,)Гг +бр,(г)г +у,,гс~,(г )). Первое слагаемое в этой сумме равно нулю в силу римановости связности Г,поэтому окончательно: С~хд:,г) =уб(Х"С7,Г)г +убГ(Х'~ьгз) =(С~хЛ;г)+(У;С7 г).
Лемма доказана. Из предложения 4.2 и теоремы Уитни вытекает следующий важный результат. Теорема 4.3 1Тусть М -.. произвольное гладкое многообразие. Тогда на М существует аффинная связность. Доказательство. Действительно, с помощью теоремы Уитни многообразие ЛХ можно вложить в К~ для подходящего Хг.
Тогда многообразие М можно превратить в риманово, введя на нем индуцированную из Км метрику. Но теперь, воспользовавшись предложением 4.2, можно ввести на ЛХ риманову связность, которая, конечно., является аффинной связностью. Теорема доказана. 102 Ковариантное дифференцирование Определение. Пусть М риманово многообразие с метрикой д.
Локальные координаты (т1,..., л") на ЛХ называются евклидовь ма относительно метрики д, если в этих координатах компоненты метрики д постоянны. Ясно, что если 1л',...,.л~) евклидовы координаты на М, то от них линейной заменой можно перейти к координатам, в которых компоненты метрического тснзора равны Оеь Утверждение 4.1 Система координат '1т1,...,и") на римановом многообразии ЛХ с метрикой д является евклидовой относительно метрики д, если и только если она является евклидовой относительно римановой связности Г на многообразии ЛХ. Доказательство.
Действительно, из явного вида символов Кристоффеля римановой связности вытекает, что если координаты (я~,...,лв) евклидовы для метрики, то символы Кристоффеля в этих координатах тождественно равны нулю, так как компоненты метрического тензора в координатах (ял,...,зь) постоянны. Обратно, если Г'. (л',...,и") = О, то условие римановости связности Г записывается в виде ддп (~д),,ь = =О, для что означает постоянность компонент метрического тензора в координа- тах 1л1,..., хь), Утверждение доказано. Упражнение. Пусть ЛХ вЂ” риманово многообразие, и Т произвольное векторное поле на ЛХ.
Определим скалярную функцию, называемую дивергениией 41т Т поля Т, положив с1Ь Т = С,'ЯТ. Показать, что в произвольных локальных координатах 1л~,..., лв) имеет место 1)авенство с1Ь Т = —, = + Т' —,(1ой 'д), 1 О,дт' дт*, Д где через д обозначен определитель матрицы римановой метрики. Сравнить это определение с определением из предыдущего параграфа, данного для векторных полей в 11~. 4.7 Параллельный перенос Во многих конкретных задачах возникает необходимость сравнивать векторы, определенные в разных точках гладкого многообразия. Даже такое Ковариантное дифференцирование 10З ~ .а йТ' й и 0 (17 Т) йх ~ Т йх (ВТ + Тог1 1 йт + Тог йх Итак, доказана сяедуюшая лемма. Лемма 4.10 Векторное поле Т параллельно вдоль кривой у на многообри- з'ии М с аффинной связностью Г если и только если в любой локильной системе координат компоненты поля Т, ограниченные ни кривую у, удо- влетворяют следуюисей системе дифсХсеренииальных уравнений: йТ о йх йг +Т Г' =0, ' й1 с=1,...,п.
Система уравнений из леммы 4.10 называется уравнениями параллельноео переноса. Отметим, что это --- система линейных дифференциальных уравнений первого порядка на неизвестные функции Т'(с). Определим теперь операцию параллельного переноса вектора вдоль кривой. Пусть Р и О произвольные точки связного гладкого многообразия ЛХ с аффинной связностью Г. Рассмотрим на М произвольную гладкую кривую Т: ~0,1] — ь ЛХ, такую что у(0) = Р, и у(1) = Я, и пусть а Е ТрМ произвольный касательный вектор в точке Р к многообразию ЛХ. Запишем систему уравнений параллельного переноса вдоль у (ьсы для простоты предполагаем, что вся кривая у лежит в одной карте с локальными координатами (х~,..., хп)) йТ' О,. йхп естественное выражение как 'скорость движения лсатериальной точки по кривой постоянна" означает, что мы каким-то образом сравниваем касательные векторы в разных точках кривой, т.е.
элементы разных касательных пространств к многообразию. В случае евклидового пространства й" мы на интуитивном уровне отождествляем все касательные пространства Трй" с самим пространством, а затем совмещаем начала координат всех пространств выполняя параллельный перенос в Кп, т.е. сдвиг всего пространства, на фиксированный вектор. Возникает естественное желание обобщить понятие параллельного переноса на случай произвольного гладкого многообразия. В данном разделе мы осуществим это с помощью аффинной связности. Пусть ЛХ связное гладкое многообразие с аффинной свлзностью Г.
Пусть у -- гладкая кривая на ЛХ. Говорят, что векторное поле Т на ЛХ параллельно вдоль кривой у относительно аффинной св зности ъ, если Т = О. Пусть (х~,..., х") — локальные координаты на ЛХ, и х'Я, ~', = 1,..., и координатноепредставление кривой у в этих координатах. Тогда условие параллельности поля Т вдоль э записывается в этих координатах так: Ковариантное дифференцирование 104 и рассмотрим для этой системы уравнений задачу Коши с начаяьными условиями Т'(О) = а'. Как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, на отрезке (О, 1) существует единственное решение Т(1) этой задачи Коши.
В частности, определен вектор Ь = Т(1) е Те1М. Определение. В сделанных обозначениях, вектор Ь называется результатом параллельного переноса вектора а из точки Ь в таочну ~д вдоль кривой 7 относительно аффинной связности Г. Замечание. Мы определили операцию параллельного переноса по гладкой кривой, лежащей в одной карте. Однако, эта операция легко обобщается на случай кусочно гладкой кривой, лежащей в нескольких картах (всегда можно предполагать, что таких карт конечное число).
А именно, нужно последовательно переносить вектор по лежащим в одной карте гладким участкам, беря в качестве следующего начального условия результат предыдущего перенесения. Ъ"пражнение. Как зависит операция параллельного переноса от замены параметризапии кривой? Из линейности системы уравнений параллельного переноса, единственности ее решения и леммы 4.7 вытекает следующий результат. Предложение 4.3 Каждая кривая ?, соединяющая точки Р и ь„т гладкого многообразия М с адттбинной связностью, определяет линейное отпображение А касательного простпранстпва ТрМ в касательное пространство ТтзМ, переводятцее вектор а из ТрМ в вектор Ь е ТттМ, являющийся результатаом параллельного переноса вдоль кривой ?.
Отображение Ат невырожденно и не зависит отп пауаметризацин кривой 7. Замечание. Операция параллельного перенесения существенно зависит от кривой, вдоль которой зта операция выполняется. Это естественно для случая многообразий. Действительно, если бы например на сфере Яз существовала бы некая естественная операцил параллельного перенесения векторов, не зависящая от кривой, то можно было бы легко построить на Яз гладкое касательное векторное поле не обращающееся в нуль ни в одной точке сферы (ьпричесать ежика без пробора' ). Последнее невозможно (см. доказательство ниже).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
