А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Получим: 1 Х =, (сов д, вш д, — 1'(г)) Мы уже знаем, см. следствие 5.4, что каждый меридиан поверхности врасцения является геодезической. Выясним, какие из параллелей (т.е. координатных линий г = го) являются геодезическими . Каждая из них представляет собой окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси Ог.
Вектор ускорения плоской окружности в точке Р = (д, го) колинеарен вектору (сов р, вш р, О). Этот вектор, очевидно, колинеарен вектору Х(Р) нормали к поверхности, если и только если у'(го) = О. Итак параллель г = го ЯвлЯетсЯ геоДезической, осли и только если фУнкциЯ 1(г) имеет в го критическую точку. Итак, мы доказали следующее утверждение. Утверждение 5.2 Лусть ла С йв поверхность враисения графика положительной гладкой функции 1(г). Тогда каждый меридиан на ЛХ является геодезической. Среди параллелей геодезическими являютпся те и только те, косссорьсе сооспвстгтвунпп критическим тпочкам функции 1. Запишем теперь уравнения геодезических на поверхности вращения. Для этого удобно псрепараметризовать ее, выбрав на графике функции 1 натуральный параметр.
Будем считать, что эта кривая задана как плоская натурально параметризованная кривая в плоскости Охг в виде х = х(с), г = г(с), .где х(с) р О. Тогда поверхность вращения параметризуется так: х(р 1) = х(1) совр, у(р,1) = х(1) в1пу, г(р,1) = г(1). В этой параметризации канонический базис имеет вид дт = ( — х(с) сйп ~р, х(1) сов:р, О), дс = (х (с) сов ср, х'(с) ейп р, г'(с)), поэтому первая квадратичная форма записывается так: ,уг д з, (1)гд г+ ( с(1)г+ с(1)г)д1г, (1)г(д г+ х(с)г г Перейдем к новому параметру т = т(т), такому что дт = дсс'х(с).
Окончательно, первая квадратичная форма поверхности вращения в параметрах (~р,т) имеет вид: дв = р(т)(с6рг + Йт"), Геодезические где р(т) = т(1(т)). Отметим, что геометрический смысл функции р(т) по- прежнему очень прост: это расстояние от точки (1р, т) поверхности до оси вращения. Чтобы записать уравнения геодезических на поверхности вращения, нам нужна матрица С первой квадратичной формы и обратная к ней матрица 0 1, которые могут быть записаны так: р(т)2 О, 1 1(р(т)г О Выпишем символы Кристоффеля для поверхности вращения. Поскольку матрица С 1 диагональна, в выражении для каждого символа Кристоффеля будет ровно одно слагаемое.
Положив и' = 1р и иг = т, обратив внимание на то, что первая квадратичная форма не зависит от и,. получаем: дд„ ди1 д921 ди1 ддтц диг Точно так же,получаем (дд дд дд ') — 2Р( )Р'( ) — Р'( ) 2 1, ди1 ди1 диг ) 2р(т)г р(т) гг ( д9ш ддгг д912 1 29 1 диг ди' д '! Гг 1 22/ддгг ддгг ддгг '1 2Р(т)Р (т) Р (т) 2 ~ диг диг диг I 2р(т)г р(т) В итоге, уравнения геодезических имеют вид: О = 1р' -Ь 2 сгт, р'(т) р(т) Пусть ((я) = (1р(в), т(я)) решение уравнения геодезических. Вычислим Угол а междУ геодезической и меРидианом (1Ре, т), с котоРым геодези- ческаЯ ч пеРесекаетсЯ в точке 12(ае) = сге, те = т(ае).
Касательный вектоР к геодезической имеет вид 2( = (Р, т), а касательный вектор к меридиану (О, 1) (мы обозначаем точкой производную по параметру геодезической а, а штрихом производную по т). Поэтому, тр(т) т соя о— lя )'(Ф+ег 2Я Г (е+'*' Г Г„=-д ( Г' 2 1диг ы (ддш 2' ( диг дд",) =О, дд1г 1 2р(т)р'(т) р'(т) ди' ) 2р(т)г р(т) д -'г) =О. 112 Геодезические и, соответственно в1псг = 'р Д-'+ тг (мы пользуемся предположением, что р(т) ) О). Рассмотрим на геодезической у(в) функцию с(в) = р(т) в1п ец и продифференцируем се по параметру в.
Получилп с(в) = — (ч д / р(т)р 1 (р'т~р+ РД(рг+ тг) — рьг(фр+ тт) дв ~, /-о+ тг) (уг + тг)г!г Перепишем чиглитель последнего выражения в виде 1 рт (р'+ 2 —.'Рт) — рот(т'+ — (тг — ~рг)). Р Р Так как выражения в больших скобках равны нулю в силу уравнений геодезических, заключаем, что с(в) = сопв1 вдоль произвольной геодезической. Этот факт носит название теоремы Клеро. Утверждение 5.3 (Теорема Клеро) Пусть у(в) произвольная геодезическая на поверхности, полученной вращением плоской регулярной кривой вокруг прямой, лежащей в той же плоскостаи, причем ось вращения и кривая не пересекаются. Тогда произведение с(в) расстояния от оси вращения до пгочки у(в) на синус угла между у(в) и соотвтпствующим меридианом есть величина постоянная вдоль 'у: с(в) = р(т(в)) в1п о(в) = сопв1 С помощью теоремы Клеро можно решить, например, следующую задачу, Упражнение, Описать все поверхности вращения, на которых имеются замкнутые геодезические. 5.1 Экстремальные свойства геодезических Геодезические на римановых многообразиях обладают теми же экстремальными свойствами, что и геодезические на поверхностях.
Пусть М --- риманово многообразие. Рассмотрим на М произвольную регулярную кривую у: [1ь 1г) — ь М, иобозначим через Р = ~(П) и ьг = у(ЬД ее концевые точки. Далее, пусть С некоторое подмножество плоскости К с координатами (т,й), ограниченное прямыми т = хтв и двумя кривыми 1 = П(т) и 1 = сг(т), где П(т) < йг(т) для любого т Е ~( — тв,то1 и П(0) = П, а 1г(0) = 1г, см. рис. 3. Гладкое отображение Ф области С в многообразие М называется вариацией кривой у, если Ф(0,1) = Т(1).
Кривые р(т) = Ф(т„П(т)) и д(т) = Ф(т,1г(т)), по которым движутся точки 113 Геодезические Р = Ф(0,8~(0)) = р(0) и 1У = Ф(0,1г(0)) = й(0), называются концевыми кривыми. Если рУт) = Р и й(т) = Я для любого т, то отображение Ф называется вариацией с закрепленными концами. Рис. 3; Область определения вариации Ф Каждая вариация Ф задает, очевидно, семейство кривых у,1т) = ФУт, 1), причем уо(1) = ууу). Кроме того, в каждой точке "у®, вариация Ф определяет векторное поле Е(1) = Ф*~(в,ц ( д ): д которое называется полем вариации. Поле вариации это касательное векторное поле к другому семейству кривых, задаваемых отображением Ф: к кривым оДт) = ФУт, 1). Отметим, что в концевых точках поле вариации вовсе не совпадает с касательными векторами к концевым кривым.
А именно, имеет место следунгщая лемма (здесь и ниже точкой обозначается дифференцирование по 1,. а штрихом дифференцирование по т). Лемма 5.1 Вектора скоросшей концевых крчвых в начальный момент т = 0 рдовлетнворяют следующим соотноигвниям: 1У(0) = 1~ (0)'У(П) + Е(П), й~(0) = 1г(ОЯ1г) + Е(тг). Доказательство. Докажем, например, первое соотношение.
По определению имеем: йФУт,1~(т)) дФУт, П (т)) дФут, П (т)) юг (т) йт дт д1 йт Подставив значение т = 0 и вспомнив, что уг(0) = уы получим: ,,О, дФ(0, 1,(0)) дФУО,1,(0)),, ® ~ . ~ . ,О, дт ду Доказательство закончено. 114 Геодезические Рассмотрим функцию 1[т), определенную на отрезке [ — го, то) и равную длине кривой у . Вычислим производную этой функции в т = О. Дополнительно предположим для простоты, что кривая у[1) натурально параметризована.
Запишем функцию е[т) в виде гм( ) аЯ = / [[7,Цдс, б(т) и воспользуемся теоремой о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра. Получим: Вычислим производную [[у [1)[['. Для этого нам понадобится следующая лемма. Лемма 5.2 В сделанных еыше обозначениях, имеет место следующее раеенстео: '~ ч,[1) = 7~ен,'(т). Доказательство. Пусть на многообразии фиксированы локальные координаты (и1,..., и"). Обозначим через и'[т, 1) координатное представление вариации Ф.
Тогда н-ая компонента поля ~7, у,[1) имеет вид: ди" дзив д н Ф юе о т.е. совпадает с уе-ой компонентой поля Я„о[[с). Доказательство закончено. Теперь, с помощью леммы 5.2, найдем: Подставим полученное выражение в формулу для производной функции длины е[т), положим т = О, воспользуемся предположением о том, что кривая у[1) натурально параметризована, и тем, что Е(1) = н'(О) по определению, Получим: й! [О) = Х„'(О) — 1(0) + / (~~Е[1), у)Ф, Йт 10 Далее, 115 Геодезические поэтому выражение для производной переписывается в виде (О) — 1 (О) + ~ (ч (Е(ь), 'у) — (Е(ь), 17 'у)) ду Х, тФ2 = 1~~(0) — у~г(0) + (Е(йг), у(у㻠— (Е(Я; у(у㻠— / (Е(1),'7г у) й. О Теперь, представив 1';(0) в виде 1',.(0)('у(1;), у(1;», 1 = 1, 2, заметим, что 1((0) + (Е(уг)~ 'у(1~» = (1((0)лу(ут) + Е~ 1г)~ 'у(Уг)) Наконец, воспользовавшись леммой 5.1 и определением производной вдоль кривой, перепишем выражение для производной в виде М(0),, /"' = (д'(О)су(с㻠— (р'(0), у(1,» — / (Е(1),7УВ-'у) й.
йт Итак, доказано сяедуюшее важное предложение. Предложение 5.1 (Формула первой вариации длины) Рассмотрим произвольную вариацию Ф(т,у) кривой у: [ум1г) — ~ ЛХ, и р(т) и су(т) концевые кривые вариации Ф. Тогда первая производная длины с(т) кривой 'у,(1) = Ф(т,1) в начальный момент времени т = 0 существуетп и имеегп вид ,У(0) У и = (о'(О), гу(1㻠— (р'(О), т(1, » — ~1 (Е(1), 1У,-'Д дй Из предложения 5.1 вытекает несколько важных сяодствий. Следствие 5.7 (Стационарность геодезических) Любая геодезическая "у(1) на рамановом многообразии ЛХ является правой стационарной длины по отношению к произвольной вариации кривоп у с закрепленными концамп. Обратно, любая кривая стационарной длиньг по отноигению к вариац ям с закрепленными концами, является геодезической. Следствие 5з8 Если кривая 7 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
