А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Таким образом, в каждой точке Р многообразия ЛХ задано отображение П: ТрМ х ТрМ х ТрЛ1 — > ТрМ. Лемма 6.3 Отпображение Л трилинейно относительно умножения на функ- иии, поэтому задает тензор четвертоео ранеа. Тензор кривизны 126 Доказательство. Пусть У гладкая функция на многообразии ЛТ. Покажем сначала, что Л(Х, У) (Уг) = УЛ(Х, У)г. Действительно, Л(Х,У)(Уг) = 7хЯгУг — 7у'7хУг — '7~х,~1Уг = ~х((~,У)г+У~кг) — ~,((~ У)г+У7 г)— -~~~,бу)г- ус7,,,)г = (17 ~ у)г + (~ у)~ г + (~7 у) 7,г + у~7 ~7 г— -1~;'7 У)г- (;7хУ)"7,г — (С иУ)7 г- У'ри*7хг— -(~7(хг1у)г — Л'~хх~г = у(~х~,-г -ч,ч г — ут„,)г) + +г(~7х~'иУ вЂ” ~7~ ~хУ вЂ” '7~х,~1У). Второе слагаемое в этой сумме равно нулю, так как ЧхЧ, У вЂ” 17к~хУ = Х(У1У)) — У(Х(У)) = [Х, У]1У) = С )„,У, поэтому окончательно: Л1Х,У)1Уг) = У([7х~,.г — С7,.С~ -г — У~д,1г) = УЛ(Х,УКг), что и требовалось.
Покажем теперь, что Л(УХ, У)г = УЛ(Х, У)г. Действительно: Л1уХ,1 )г = ~ух~уг — ч«аунг — ~~ухдбг. Пользуясь очевидным равенством ч'ухг = У~ухг и правилом Лейбница для коммутатора получим: Л(УХ У)г = У~х~кг — ~7у(У~хг) — ~Лх,г) — г~у~хг = У~ух17 г — (~7 У)~7хг — У17 ~7хг— -У~,х, |г- У(У)~хг= у(Чхчгг — ~г~хг — у~~х,г1г), что и требовалось. Равенство Л(Х, УУ)г = УЛ(Х, У) г проверяется точно так же.
Лемма доказана. Покажем теперь, что тензорное паче Л, соответствующее оператору кривизны, совпадает с определенным нами выше тензором кривизны. Пусть (и~,..., и") локальная система координат на многообразии. Чтобы вычислить компоненты поля Л, следует найти значение Л(д,, д,~ )д ~ оператора кривизны на векторах канонического базиса. Поскольку коммутатор ~дяю дия) координатных полей равен нулю, имеем; Лфхг дхч)джа = '7д рата,ядах — 7д,д '7д рди~"'.
Тензор кривизны 127 Проделав вычисления, анаюгичныс приведенным в разделе о координатном определении тснзора кривизны и воспользовавшись симметрией аффинной связности, получим Л[д„,д.,)д,, = Л„„дио что и требовалось. Замечание. Отметим, что 17о „ч о „д ь — это векторное поле, а 17р17цдль тензор типа (1, 2), поэтому их приравнивать нельзя.
Итак, доказано следующее предложение. Предложение 6.2 Тензорное поле типа [1,3), задаваемое на многообразии с симмесаричной аффинной связностью оператором крив зны, совпадает с тензором кривизны Римана этой аффинной связности. Инвариантное определение тензора кривизны мы используем для доказательства еще нескольких симметрий этого тензора. Предложение 6.3 (Тождество Якоби) Пусть ЛХ вЂ” многообразие с симметричной аффинной связностью, и Н тензор кривизны этой связности. Тогда для любых векторных полей Х, 1 и Я имсеса место равенство Л[Х,1)И+ Л[У;И)Х+ И[к,Х)1'= О, или, в локальных координатах Л' + Л' д + Л' = О.
Доказательство. Нам понадобится следующая лемма, сформулированная нами ранее в виде упражнения. Лемма 6.4 Для симметричной аффинной связности имеет, место тохсдество [Х,у) = ~. 1' — ~кХ, где Х и 1' .- произвольные векторные поля. Доказательство. Вычислим компоненту правой части проверяемого ра- венства в локальных координатах [х,..., х"). Имеем: [кху' — ~кХ) Х1дУ угдХ + )'Ть -гуь 1 ь Хауч~ дх' дх' ио Слагаемое в фигурных скобках равно нулю в силу симметричности связ- ности. Поэтому (17х~ — 17кХ)" = Х', -1" д, = [[Х,у))", что и требовалось. Тензор кривизны 128 Теперь для доказательства предложения осталось заметигь,чго в силу полилинейности отображения кривизны В тождество Якоби достаточно проверить для базисных векторов д...
коммутаторы которых равны нулю. Поэтому тождество Якоби сводится к равенству ~дх оти ~ — ~т 17х ~ + ~к~хХ вЂ” ~х~гХ + ~них У вЂ” ~7х ~дгУ, где Х, У и Л координатные векторные поля. Последнее равенство очевидно, так как в силу леммы 6.4 '~~хг7гу =Чхгддг%, ЧгЛ гХ =~~гЧхЯ, 'цх'~хУ =г7и'цгХ. Предложение доказано. 6.3 Тензор кривизны римановой связности (тензор Римана) Коли многообразие ЛХ риманово, и связность Г согласована с метрикой, то тензор кривизны этой связности обладает дополнительными симметриями.
Замечание. Отметим, что тензор кривизны римановой связности часто называют тензором Римана соответствующего риманова многообразия. Предложение 6.4 Пусть ЛХ риманово многообразие, Г риманова связность и Л соответствующий тензор кривизны. Тогда тензор кривизны обладает следующими дополнительныяир пимметриями. ° Для любых векторных полей Х, У, 2 и 1У имеет место равенство (В(Х,У)гцИ') + (Л(Х,У)И',л) = О, где (ч ) скалярное произведение в римановой мегприке. В локальных координатах имеем: Вц рд —— — Л,, „, где Вц „— — у,„В;' ° Для любых векторных полей Х, У, о и И" имеет место равенспдво (В(Х,У)л, РИ) = (В(Е,И')Х,У), или в локальныхкоординатах: В, рд —— Врд ц Доказательство. Для доказательства первого равенства воспользуемся следующим приемом. Рассмотрим оператор Л(Х,У) = р'хек — цудух— 17~х гр и посмотрим, как он действует на функпиях.
Очевидно В(Х,У)(7) = Х(У(~)) — У(Х(7)) — ~Х,У)(Д = О для произвольной функпии 7. Поэтому проверяемое равенство можно пе- реписать в виде О = В(Х,. У) 11л, Иг) ) = (Л(Х, У) гц И') + (Е, КХ, У) 1Ф ), Тензор кривизны 129 т.е. как анаюг правила Лейбница для оператора Л(Х, У) и постоянства метрики. Вычислим леву.кь часть этого выражения. Л(Х,1)((г.ц)) = 17х((С7уг,И)+(Я,~уИ))— С у ((~хг, И ) + (г, 17х И )) — (~(х у~ К, И) — (г, ~ (,, ) И ) = (Тх\'уЯ, И') + (~уЯ, \'хИ') + (~хЯ, ~уИ') + (~ъ ~7х'и'~ И') — (Гу~хЕь И') — (Гх~, 17уИ')— (7~7, 7ъхИх) — (У, 17у7хИ') — (~~ху1У, И ) — (У, ту~ха И ).
После сокра> пения получаем Л(Х,1)((г,и')) = (~х17уг,и') — (17уС~хг,и) — (С7(х, )г.иИ)+ +(У, ~7хУуИ ) — (Я,'7уъухИ') — (Я, У~х у)И') = (Л(Х, 1') к, И') + (Е, Л(Х, У) И'), что и доказывает первое свойство. Второе свойство вытекает из уже доказанных нами симметрий тензора кривизны. Действительно, умножив тождество Якоби для полей Х, У и и скалярно на И', мы получим равенство <я<к > >к ъъ >+ <н<ъ; к>х и >+ <я<к х>х и > = и. Аналогично, сделав в первом слагаемом циклические перестановки всех четырох аргумонтов, найдем <я<ъ;к>их>и<я<к и >ъ;х>,-<я<и;ъ >их> <н<к,и>х,ъ'>и<я<их>къ>и<я<к,к>и',ъ'> О, <я<и, х>ъ; к> + <я<хи >и к>+ <я<к и >хи> Заметим теперь, что слагаемые, помеченные О, 1, 3 и 5 отличаются знаком в силу тождества (Л(Х, 1')л, И') = — (Л(Х, 1')И', х ), а слагаемые, помеченные 2 и 4, совпадают в силу того же тождества и косой симметрии Л(Х, У) = Л(1, Х).
Поэтому, обозначив слагаемое, помеченное цифрой и через 4г>к, и сложив все четыре уравнения, получим (4)О+4(1+4~2)+( — ф1+~3+ф4)+( — 4~3+4~5+4~2)+( — фб — 4~0+ф4) = 2(ф2+ф4) = Оъ т.е. (Л(Л,Х)1;И:)+ (Л(И;1)г,х) = (Л(г,х)1;И:) — (Л(1;И )г,Х) = О, что и требовалось. Предложение доказано. Тензор кривизны 130 Поскольку свклидовы координаты в смысле рилвановой связности это, как мы у.же знаем, то же самое. что евклидовы координаты для римановой метрики, тензор кривизны на римановом многообразии отвечает за возможность выбора локальных координат, в которых метрика постоянна. А именно, имеет место следующее утверждение.
Утверждение 6.2 Если тензор кривизны на римановом многообразии не равен нулю, то на этом многообразии нельзя ввеспт координаты, в кохпорых компоненты метрики были бы посапоянны. Замечание. Отметим, что тензор кривизны можно вычислять в любой системе координат, поэтому это утверждение действительно эффективно.
Замечание. На самом деле имеет место и обратное утверждение; если тензор кривизны риманова многообразия равен нулю, то в окрестности колебай точки суи1ествуют координаты, в которых метрика постоянны Сам тензор кривизны это очень сложный объект: он имеет (йш Л1)" компонент (на самом деле, в силу симметрий независимых кол~понент меньше) . Упражнение. Сколько независимых компонент имеет тензор кривизны и-мерного рилванова многообразия' ? Разобрать отдельно случаи и = 2 и и=3.
Часто изучают различные свертки тснзора кривизны, которые, оказывается тоже несут в себе определенную геометрическую информацию. Особенно часто встречаются две таких свертки. Тензором Риччи римановой связности называется тензор С~~(Л), где Л -- тенэор кривизны этой связности. Компоненты тензора Риччи Л, очевидно, выглядят так: Л; = Л, . Далее, скалярной кривизной К риманова многообразия называется полная свертка тензора Риччи, у которого предварительно поднимают индекс: Л = д"дЛ„в = д"вЛ'; . Один пример использования этих сверток мы разберем ниже.
Нам также полезно будет найти явный вид компонент тензора кривизны римановой связности в терл~ивах компонент римановой метрики. Ясно, что если (х',..., х") локальные координаты на римановом многообразии ЛХ, то компонента Лп „„тензора кривизны, у которого опущен верхний индекс, может быть вычивлена так: Л,:,, = (Л(дюд,)д,,д;), где дь - д ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
