А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть д Е Х регулярное значение отображения 1. Последние, напомним, означает, что отображение у регулярно в каждой точке л прообраза 1 '1(р) точки р при отображении у. Другими словами, если (л1,..., л") и (у',...,р") локальные координаты в окрестности точки л Е у (р) и точки р соответственно, и у'(л',...,.л") координатное представление ду' отображения у в этих координатах, то определитель матрицы Якоби в точке л отличен от нуля.
Отметим, что если прообраз точки у пуст, то у . регулярное значение. Из компактности ЛХ, как легко видеть, вытекает, что прообраз у '(у) состоит из конечного числа точек (проверьте!). Отметим также, что в силу ориентируемости рассматриваемых многообразий, можно считать, др' что знак определителя матрицы Якоби в точке и не зависит от выбора локальных координат. Из сказанного вытекает корректность следующего определения. Элементы дифференциальной топологии 137 Определение.
Пусть Х: ЛХ -+ Лт гладкое отображение гладких компактных связных замкнутых многообразий одинаковой размерности, и у Е Х вЂ”. некоторое его регулярное значение. Степенью отображен я Х по отноиьению к регуллрному значению у называется число ду1 с1е Х(у) = ~ ~в1дпдес( ' „(х')).
я,еХ ~го) Важность понятия степени определяется следующим результатом. Теорема 7.1 Пусть Х; М вЂ” ь Х -- гладкое отображение гладких компактных связных многообразий одинаковой размерности. Тогда степень отображения Х не зависит от выбора регулярного значения. Более того, степень отображения сохраняется при гомотопии, т.е. гомотопные отображения имеют равные степени. Доказательство.
Нам понадобится следуиьщал лемма. Лемма 7.1 Пусть Р иР' две произвольные точки связного многообразия М. Тогда суьаествует гладкое семейство диффеоморфизмов ре . М -+ М, 1 Е [О, 1], епакое что до — тождественное отображение, а сз~(Р) = Р'. Более того, если многообразие ЛХ ориентировано, то диффеоморфизмы ~р~ сохраняют ориентаапю. Доказательство. Пусть и = с11щ ЛХ. В силу связности многообразия М, точки Р и Р' можно соединить непрерывным путем, поэтому можно выбрать открытое множество С С ЛХ,. диффеоморфное Ко и содержащее обе точки Р и Р'. Более того, в П можно выбрать такую систему координат (х',...,х"), что Р = (0,,,0), Р' = (1,0,...,0). Рассмотрим открытые подмножества П' и Г' в (Х, обладающие следующилеи свойствами: (Р, Р') С Г С Г' С Со С С, и замыкание Со компактно.
Тогда существует ф --- гладкая функция на С, равная 1 в Г и нулю вне Г'. В окрестности С, во введенных координатах (х~,..., хь), рассмотрим векторное поле Х = фд,, и пусть р', однопараметрическая группа диффеоморфизмов, соответствующая Х, т.е. Х = Щ/д1~ь — о, существование которой известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. По определению, при 1 = 0 диффеоморфизм у~~ является тождественным преобразованием, а ~р', (Р) = Р'. Более того, все р~ являются тождественными отображениями вне Г'.
Продолжим семейство диффеоморфизмов со', вне окрестности С тождественным преобразованием. Тем самым мы построим искомое семейство сзь Осталось заметить, что в локальных координатах (х~,...,х") отображение юс — это просто сдвиг вдоль координаты х", поэтому оно сохраняет ориентацию. Доказательство закончено. Элементы дифференциальной топологии 138 Из леммы 7.1 вытекает, что первое утверждение теоремы является следствием второго. Действительно, пусть д и д' регулярные значения отображения Х. Тогда, в силу леммы 7.1, существует однопараметрическое семейство диффеоморфизмов р~ многообразия Х, такое что ре = 1м, и ~р~(д) = д'.
Ясно, что точка д является регулярной для всех отображений р~ с Х. Из второго утверждения теоремы вытекает, что бебе(д) = бебе~ о Х(д). Поэтому., в частности, <1е8 Х(д) = с)обвар~ о Х(д). Осталось заметить, что якобиан отображения у~ с Х в каждой точке из (д~ с Х) ~(д) равен произведению положительного якобиана отображения ~р~ в точке д и якобиана отображения Х в точке д', откуда йсб ~р~ с Х(д) = с1еб Х(д'), что и требовалось.
Итак, для завершения доказательства теоремы достаточно проверить инвариантность степени отображения при деформациях этого отображения. Пусть Х и д два гомотопных отображения многообразия ЛХ в многообразие ХХ, и Е; [О,Ц х ЛХ -+ ХХ гладкая гомотопия, их соединяющая; Х = Х1о1хм а д = ~01хм. Пусть д Е Л' регулярное значение обоих отображений (такое найдетсл в силу теоремы Сарда). Из теоремы о неявной функции вытекает,что каждая достаточно близкая к д точка д' Е о' также является регулярным значением для обоих отображений.
Кроме того, для любого достаточно близкого к д регулярного значения д' имеем, очевидно: <1е8, Х = с(е8„Х, а <1е8„д = Деб„у. Далее, снова по теореме Сарда., в любой окрестности точки д существует точка д', являющаяся регулярным значением для отображения Е. Итак, выберем д' столь близкой от д, чтобы д' была регулярным значением Р, Х и д, и выполнялись условия йе8я, Х = йе8„Х и йе8„, д = с1еб„д. Ясно, что доказательство достаточно провести для такой точки д'. По теореме о неявной функции, прообраз Г '(д') является одномерным подмногообразием в [О, Ц х ЛХ. Более того, легко показать,что край дЕ ~(д') лежит в крае многообразия [О, Ц х ЛХ, т.е.
в объединении ((О) х ЛХ) О ((Ц х ЛХ). Так как прообраз дЕ ~(д') замкнутое, и, значит, компактное подмножество в ЛХ, этот прообраз состоит из конечного набора замкнутых кривых, диффеоморфных окружности э'~, и незамкнутых кривых, диффеоморфных отрезку. Обозначим через Хь незамкнутые кривые из дЛ' '(д'). Как мы уже отметили выше, концы аь и Ья отрезков Хь составляют множество Х ~(д') О д ~(д'). Более того, так как точки аь и Ьь являютсл регулярными для отображений Х и д, векторы скоростей каждой кривой Хь в этих ее концевых точках не касаются края многообразия [О, Ц х ЛХ.
Для завершения доказательства теоремы, покажем, что если концы аь и Ьь отрезка Хь лежат в одной компоненте связности края многообразия [О, Ц х ЛХ, то знаки якобианов ограничения отображения г' на эту компоненту (т.е. знаки якобианов одного из отображений Х и д) в точках ав и Ьл противоположны, а если аь и Ьв лежат в разных компонентах связности, то знаки якобианов отображений Х и д в этих точках одинаковы. Это за- Элементы дифференциальной топологии 139 вершит доказательство теоремы, так как в первом случае точки ал и Ьл дают нулевой вклад в степень соответствующего отображения Х или д, а во втором случае .-- дают одинаковый вклад в степени обоих отображений Х и д.
Для каждого Хл рассмотрим стандартную координату лл, такую что точка ал соответствует ло = О, а точка Ьл соответствует д = 1. На многообразии [О, Ц х ЛХ рассмотрим систеллы координат следующего вида. Пусть стандартная координата на отрезке [О, Ц, а (х',..., х") - -- координаты на ЛХ из ориентированного атласа, определенные в некотором открытом множестве Г С М.
Тогда (1,хЦ...,х") это координаты на [О,Ц х Г, порождающие ориентированный атлас на [О, Ц х ЛХ. Пусть ал и Ьл, лежат в одной связной компоненте края многообразия [О,Ц х ЛХ. Предположим для определенности, что ал и Ьл лежат на компоненте (0) х ЛХ. Пусть Г„С М и Гд С Л1 некоторые окрестности точек ал и Ьл соответственно, а (х~,...,х") и (хл,...,х") координаты в Г„и Гн из ориентированного атласа на ЛХ.
Как и выше, рассмотрим на [О,Ц х ХХ„и [О,Ц х Гн координаты (Х,хл,...,х") и (1,хдл.....,хф. Тогда в некоторой окрестности точки ал в [О, Ц х М кривая Хл имеет вид 7„(ф = (1(~~),х„(~Р),...,х" (:р)), а в некоторой окрестности точки Ьл вид 'ун(~р) = (1(сл), х~~ (~р),..., хй (лл) ), Ясно, что реперы (дм д,,, д,- ) и ( у' (0), д ~,..., д ° ), определенные в точке ал, имеют одинаковые ориентации, таккакй/лЬд(0) > О, ареперы(дмд, ~,...,д ) и(ф1),д. ~,...,д ° ), определенные в точке Ьл, имеют противоположные ориентации, так как 11!ар(1) < О. Рассмотрилл вдоль Хл систему из и векторных полей Х" (ф, такую что в точке ал семейство векторов (Х" (О)) совпадает с репером (д ~,..., д в точке Ьл вектора (Хг(1)) образуют некоторый репер крал (0) х ЛХ, и в каждой точке кривой Х система векторов, получающаяся из (Х" (ф) добавлением касательного вектора к 1л в точке Хл(чл), линейно независима, т.е.
образует репер Е(у). Ясно, что ориентации всех реперов Е(лл) семейства одинаковы, в частности, одинаково ориентированы реперы Е(0) (ч' (0),д Ь,...,д -) и Е(Ц = ( у„' (1),Л (1),...,Х (1)). С другой стороны, 1-компоненты векторов у' (0) и у' (1) имеют противоположные знаки. поэтоллу реперы (Х" (1)) и (д * ) имеют противоположную ориентацию. Остается заметить, что отображение Е в каждой точке кривой Хл переводит семейство векторов (Х" (ел)) в некоторый репер на многообразии Хл', приложенный к точке р', причем ориентации всех полученных в у' реперов одинаковы. (Последнее вытекает из непрерывной зависимости этих реперов от параметра ла.) Таким образом, мы видим, что реперы (л[Х(д,, )) и (л(Х(Х"(1))) одинаково ориентированы, и их ориентация противоположна ориентации репера (л(Х(д * )).
Следовательно, знаки якобиана отображения Ь Х в точках ал и Ьл противоположны. Случай когда точки ал и Ьл лелкат в разных компонентах края много- Элементы дифференциальной топологии 140 образия [О, Ц х ЛХ разбирается аналогично, и остааяяется в качестве обя- зательного упражнения. Доказательство теоремы закончено. Замечание. Доказанная теорема 7.1 позволяет определить степень оп~о- йраженил с1ея/ как с1ея„ / для произвольного регулярного значенил р. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
