А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 25
Текст из файла (страница 25)
- вектора из канонического базиса. Так как координатные векторные поля коммутируют, см. предложение 6.1, можно переписать это выражение в виде Ло рд = (~Удр "Удьду~ дт) ( УдьУ дрдз~ дг) Тензор кривизны Вычислим первое слагаемое (второе получается из него перестановкой индексов). Для этого, воспользовавшись тем., что свлзность согласована с метрикой, перепишем это слагаемое в виде (7 о„7 в~д/,дг) = ч о„((~ о~д/,д~)) — (ч вддз17в„д~). Так как в силу леммы 4.5 17в, д/ — Г д а (д,, д ) = д, — — компонента римановой метрики, имеем: (~'в ьв д„д,) = (Ге д„) +д вГ Г~.
Далее, вспомним, что символы Кристоффеля римановой связности выра- жаются через компоненты метрики так: 1, б дд„ддь ддхь ) Г„= -д" ( + 2' ( дхь дх/ дх Поэтому .ь 1 (ддзт ддо' дд/в 2 ~ дхь дхз дх' /' откуда дхь ~ зь ' / 21дхьдхг дх/дхь дх'дхь/ Таким образом, дз 1+ Г дх'дхь г Поэтому Хц ьь = (71о,'9в,01 д*) — (Tо, Tв„д,, д*') = г з г г + . +дед( 1( д дсо д д/ь д дм д д/Р ') ТьГВ 1ь1-в) 2 1,дх/дхь дх~дхь дхздхь дхьдхь/ Таким образом, доказано следующее предложение. Предложение 6.5 Пустив М вЂ” риманово многообразие. Тогда компоненты тензора кривизньл римановой связности на многообразии ЛХ в координатах (х',..., х") могут быть вычислены по формуле з з Л.; „== ~( д.дел — д.дго —,д.дгл + д.д'" )+д.в(Г Г,' — Г" Г,'), дав 2~д /д ь дхгдхь д /д а д здхь/ ~ив /ь о л' и где д; компоненсаы римановой метрики, а Г'ь символы Кристоффеля в координатах (х',..., хп).
Тензор кривизны 132 6.4 Тензор кривизны двумерной поверхности В качестве иллюстрации, мы вычислим тензор кривизны римановой связности для регулярной двумерной поверхности М2 в евклидовом пространстве 1аз (метрика на М, естественно, индуцируется из 1аз). В частности, мы получим еше одно доказательство знаменитой теоремы Гаусса о независимости гауссовой кривизны от изометрии поверхности.
Итак, пусть ЛХ2 С мз регулярная двумерная поверхность, и Р произвольная точка на ней. Введем в мз специальнук1 декартову систему координат: поместим начало ее в точку Р, оси х и у расположим в касательной плоскости ТрМ, а ось 2 по нормали к поверхности. Тогда, очевидно, поверхность М в окрестности точки Р представляет собои график гладкой функции 2 = Х~х, у), причем 6гае)(Х) ~р = О. Поэтому в координатах (х, у) на поверхности ЛХ матрица первой квадратичной формы имеет вид Ьу 1+Ля/ В12 12 — В21 12 — В21 21 — В12 21. В силу предложения 6.5 и равенства символов Кристоффеля в точке Р нулю, компонента В12 12 может быть вычислена так: 1 дяд„д'д„д'д„дзд„1 д'.д.
дзд„дяд„ + 2(дудх дхдх дуду 1 -Ь дхдуХ 2 1 дуда дхдх дуду )' где х = х и х = у. Воспользовавшись явным видом метрики д,, найдем; 1 2 В1212 = (2(Хх,Ху)ху (1+ Уу) )хя (1+ (2::) )уу) 1 2 2 2 (Ь.яА+ Ь*.Хуя)у — (У2Ь*у)у — 1Ху1;)' Наконец, запишем значение компоненты Вг2 11 в точке Р, в которой, на- помним, все первые частные производные функции Х обращаются в нуль, поэтому соответствующие слагаемые можно не писать: В1212 = 1ххХуу+ Х~ууху ХхуХху ХухХух = Ххх,Хуу хухХух = О(Р) где нижними индоксами обозначено частное дифференцирование по соответствующей координате.
Поэтому в точке Р метрика (ду) — это единичная матрица, а символы Кристоффеля 1"'1 — — О, .так как все частные дд„ производные „ в точке Р равны нулю. Теперь все готово для вычис.кения тензора кривизны. В случае двумерного многообразия тензор кривизны В имеет, вообще говоря, 16 компонент В, ру. Однако, в силу косых симметрий тензора кривизны, среди этих компонент отличны от нуля лишь те, у которых первые два и последние два индекса различны. Таких компонент четыре, причем все они отличаются знаком; Тензор кривизны 133 где через С(Р) обозначена гауссова кривизна поверхности ЛХ в точке Р. (Напомним,что гауссова кривизна вычисляется как отношение определителей первой и второй квадратичных форм. Определитель первой квадратичной формы в точке Р равен единице.
Вторая квадратичная форма поверхности М в точке Р в координатах (х, у) совпадает с матрицей Гессе функции 1.) Итак, компонента П121 в координатах (х,у) совпадает с гауссовой кривизной поверхности. Вычислим теперь скалярную кривизну К(Р) поверхности М в точке Р. Но определению, К(Р) = у" зП„'1в — — д вд'1П. 1В.
В Силу кОСых СиммЕтрий твнэара Л „,11 имЕЕм: д д Пггш+д д Пш и+д д Пггш +у д П1221 = гг и 1г ш гг 11 12 ш П(дггд11д1гд12+д22д11д12д12) с)е1(д,г) К(Р) В частности,в точке Р имеем К(Р) = 2С(Р). Отметим, что последнее равенство это равенство скаляров, поэтому оно не зависит от выбора системы координат.
Итак, нами доказан следующий результат. Предложение 6.6 Пусть ЛХ регу ярная поверхность в Из. Тогда ее скалярная криоизна равна удвоенной еауссовой кривизне. Доказательство. Это очевидно, так как компоненты тензора кривизны римановой связности полностью определяются компонентами метрического тензора. 6.5 Независимые компоненты тензора Римана В предыдущем разделе мы убедились, что тензор Римана двумерного многообразия имеет лишь одну независимую компоненту, а именно П12 12.
Это означает, что все остальные компоненты ли равны нулю, или вычисляются по П12 12 ~на самом деле, не нулевые компоненты или совпадают с П1212, или отличаются знаком, см. выше). Сосчитаем теперь количество независимых компонент тенэора Римана в общем случае и-мерного Риманова многообразия. Для этого воспользуемся известными нам симметриякли этого тензора, см. предложения 6.3 Следствие 6.1 (Теорема Гаусса) Рауссова кривизна двумерной регуляр- ной поверхности полностью определяется первой квадратичной формой этой поверхности. В частности, гауссова кривизна не меняется при изо- метриях. Тензор кривизны 134 и 6.4. Во-первых, тензор Римана Л; и кососимметричен по первой 11 и последней й ) парам индексов.
Это означает, что каждая из этих пар принимает Х = Сз независимых значений. Далее, тензор Римана симметричен относительно перестановки первой и последней пар индексов. Другими словами, если 1 = 11 и К = й1 мультииндексы, то Лкк = Лкы Таким образом, у нас имеется симметричная "матрица", индексы 1 и К которой принимают Х значений. Такая "матрица" имеет 11'(Х + 1)~2 независимых компонент. Итак, мы учли все известные симметрии тензора Римана, кроме тождества Якоби, и получили Х(Х+ 1) п(п — 1)/2(п(п — 1)/2+ 1) (пз — п)(пз — и+ 2) компонент. Итак, нам остается учесть тождества Якоби.
Вообще говоря, тождество Якоби следует записывать для каждой четверки индексов. Каждое такое тождество представляет собой линейное уравнение на компоненты тензора Римана. Вычислим, сколько среди этих уравнений нетривиальных и независимых. Имеет место следующая лемма. Лемма 6.5 Если, среди четверки индексов г, у, к, 1 есть пара совпадаюи~их, то тождество Якоби вытекает из друзих симметрий тензора Римана. Если две четверки индексов г', у, к, 1 и 1ь, уы ки 11 получены друг из друза перестановкой, то соответствующие тождества Якоби равносильны. Доказательство. Докажем первое утверждение леммы. Если, например, совпадают первые два индекса, то имеем: 1ьи ь1 + Ць и + Ло 1ь = О + Льь в + Лп м = Вм н + Веь и = Леь и — Лм и = О.
Остальные случаи разбираются аналогично. Второе утверждение леммы достаточно проверить для транспозиций. Сравним, например, тождества Якоби Ц;ь, +Вин+В,„, =О. Цв и + Ць и + Ва дь = О Так как ЛК и = — Цо и, Ввь в = Ц уь = — Ва вь, а ВД сь = йы К = — й ь и, имеем: Ц и + Лдь и + Лз~ м = — В*; и — Лн,ь — Л ь и, т.е.
второе выписанное нами тождество вытекает из первого. Остальные случаи разбиршотся аналогично. Лемма доказана. Из доказанной нами Леммы 6.5 вытекает, что среди тождеств Якоби следует учитывать в точности те, которые отвечают различным упорядоченным четверкам индексов. Таких тождеств имеется С;к Таким образом, Тензор кривизны 135 число независимых компонент тснзора Римана равно (п~ — п)(п — и + 2) п(п — 1)(п — 2)(п — 3) пз(пз — Ц 24 12 Мы доказали следующий результат. Утверждение 6.3 Количество независимых компонент тснзора Римана и;мерного рчманова многообразия равно и (и — 1)/12. Упражнение.
В частном случае и = 3, число независимых компонент тензора Римана равно 6, т.е. их ровно столько же, сколько компонент у тензора Риччи в этом случае (напомним, тензор Риччи --- это симметричный тензор типа (О, 2)). Показать, что компоненты тензора Римана в трехмерном случае выражаются через компоненты тснзора Риччи. В своих лекциях о тензоре Римана М. Громов приводит следующее рассуждение, объясняющее правдоподобность теоремы, обратной к утверждению 6.2: если тензор кривизны риманова многообразия равен нулю, пш в окрестности колодой точки существуют координаты, в которых метрика постоянна.
Громов предлагает воспользоваться соображениями размерности. А именно, пусть (у~,...,у") некоторые координаты на и-мерном римановом многообразии в окрестности точки Р, и (дб) компоненты метрического тензора в этих координатах. Наша пель выбрать новые координаты х' = х'(у1,..., у"), такие что в них компоненты метрического тензора бу дут постоянны. Хорошо известно, что линейной заменой координат можно добиться того, что в точке Р компоненты метрики будут иметь вид Л, .
При этом, очевидно, линейная замена определяется первыми производными — ". Далее, нетривиальным, но тоже хорошо известным дя' др . является тот факт, что можно подобрать замену координат, такую что и первые производные компонент метрического тензора (в новых координатах) окажутся равными нулю в точке Р. Соответствующая конструкция была описана выше, однако эта возможность может быть предсказана из размерностных соображений. А именно, различных первых производных дввхх метрики имеется М = пз(п+ 1)/2 штук (п(п + 1)/2 функций и п дифференцирований).
Первые производные метрики определяются, очевидно, дчх* вторыми производными —; — г координат, которых в нашем распоряжении имеется тоже Лу = пз(п + 1)/2 штук (и функций и п(п + 1)/2 дифференцирований). Таким образом, управляя ЛХ параметрами мы зануляем Л1 функций. Следующий шаг состоит в попытке обратить в нуль вторые производные метрики, управляя третьими производными координат. Вторых производных от метрики пз(п -~- 1)з/4 штук, третьих производных от координат пС„з.
Таким образом, количество производных больше имеюще- з Элементы дифференциальной топологии 136 гося у нас в распоряжении количества параметров на пэ(п + 1)з (и + 2)(п + 1)пэ пз(пз — 1) 4 6 12 что в точности равно числу независимых компонент тензора Римана. Оказывается (мы и не думали этого доказывать), как раз обращение в нуль компонент тензора Римана позволяет обратить в ноль вторые производные метрики, а вслед за этим сделать метрику. постоянной в целой окрестности точки Р. 7 Элементы дифференциальной топологии В данном разделе мы приведем несколько иллюстраций, демонстриру|ощих связь дифференциальной геометрии и топологии. А именно, мы постараемся продемонстрировать как с помощью методов дифференциальной геометрии (тензорного анализа, например) можно получать топологические результаты (скажем, доказывать негомеоморфность многообразий).
Эта область современной геометрии иногда называют дифференциальной топологией. Один пример конструкций и результатов подобного рода у нас уже был, а именно, теория когомологий де Рама. Здесь мы рассмотрим ряд конструкций, связанных с понятием степени отображения, к определению которого мы и переходим. 7.1 Определение и основные свойства степени Пусть М и Х гладкие связные компактные замкнутые ориентированные многообразия размерности и., и у: ЛХ вЂ” у Х гладков отображение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
