А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 28
Текст из файла (страница 28)
с)ебДс~осу = с„с шс1Х, вц Лс'(Й) = с„.с .6еяЛ'~он, = с„. с1пс)р Л, откуда, учитывая ориентации, заключаем: шс1Х = ~шс1р Х что и требовалось. Элементы дифференциальной топологии 146 Следствие 7.2 ('Хеорема Брауера) Всякое сладкое отображение шара Р" на себя и иссш неподвижную точку. Доказательство. Предположим противное, т.е. существует такое отображение чо: Р" — у Р", у которого нет неподвижных точек. Тогда на Р" имеется векторное поле Х без особых точек, определенное так: Х(Р) = фР) — Р. Ясно,что индекс этого векторного поля равен нулю. С друтой стороны, поле Х, ограниченное на В" 1 = ВР" нигде не обращается в нуль и направлено строго внутрь шара Р", поэтому су.ществует гомотопия, переводящее поле Х~и.— в поле вну.тренних нормалей сферы В" '.
Следовательно, индекс поля Х совпадает со степенью отображения сферы В" 1 на себя, переводящего каждую точку в противоположную ей. Но у такого отображения степень равна х1. Это противоречие и завершает доказательство. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
