А.О. Иванов, А.А. Тужилин - Лекции по дифференциальной геометрии и топологии (1117963), страница 23
Текст из файла (страница 23)
С1в) = (в = дв сопв1. Это означает, что кривая у(в) = ехрр1г1в)~е), т.е. у(в) совпадает с радиальной геодезической, с точностью до параметризации. Следствие доказано. Следствие 5.11 Пусть точка ьг лежит в геодезическом шаре с центром в точке Р доста>печно малого радий>са е (такого, чп>о отображение ехрр является на этом шаре диффеомо1нфизмом). П>реть >.,) = ехрр С. Тогда геодезическая у11) = ехргЯ), является единственной кривой наименьшей длины> соединяющей точки Р и Я. Доказательство.
Д.ля доказательства достаточно в следствии 5.10 пе- рейти к пределу при г' -> О. Кривая у на римановом многообразии, соединяющая точки Р и Я,называется крап>чай>аей, если длина любой другой кривой, соединяя>щей те же точки, не меньше чем длина кривой у. Мы уже видели, что для любых достаточно близких точек риманова многообразия сугпествуот единственная кратчайшая их соединяющая. Эта кратчайшая является геодезической. Оказывается, имеет место также и следующее утверждение.
Следствие 5.12 Пусть ( некоторая кратчайшая, соединяющая произвольные точки Р и Я риманова многообразия М. Тогда у --. геодезическая на И. Доказательство. Это немедленно вытекает из следствия 5.П. Действительно, раз О кратчайшая, то она яачяется таковой и для любых двух достаточно близких точек. Поэтому каждый маленький кусочек кривой у является геодезической, следовательно и вся кривая 0 --- тоже. Следствие доказано. 121 Тензор кривизны Упражнение. Привести пример риманова многообразия и двух точек на нем, которые не соединяет ни одна кратчайшая и ни одна геодезическая. Упражнение.
Показать, что если ЛХ компактное риманово многообразие, то любые его две точки можно соединить кратчайшей геодезической. 6 Тензор кривизны Пусть К" стандартное евклидово пространство, и 1з1,..., з") декартовы координаты в нем. Тогда, как мы знаем, операция тензорного дифференцирования в координатах 1з',..., я") 1в евклидовой связности) совпадает с операцией частного дифференцирования, поэтому для любого векторного поля Т имеет место равенство ,эзтг Взт~ Таким образом, .в евклидовой связности ковариантные производные по координатам перестановочны.
А как обстоит дело в произвольной связности? Итак, пусть ЛХ многообразие с аффинной связностью Г, и Т векторное полена М. Вычислим ~рЯ Т') в локальных координатах(и~,..., т"). Получим: чт(АУТ ) = Ги( + Гает ) — ( + Гнут ) + диядиг див ~ див ' " дия + 1 др1 - дт 1 др а в 1 ~~Г чт где подчеркнутые слагаемые симметричны по р и е.
ясно, что 7 р(~~ет') получается иэ предыдущего выражения перестановкой индексов р и и. Поэтому дг'„дг' + (г,', — г,",)(, +г'„дт"). Отметим, что во втором слагаемом стоят уже известные нам компоненты тензора кручения й аффинной связности Г. Обозначим множитель, стоящий перед Т" через и' . Тогда последнее выражение перепишется в виде 1;р„ч, — су, у„)т* = к.*„,т +а„", абдт, Тензор кривизны 122 где дГ' дГ'„ К„д=, „-,, +Гз„Г.д-ГздГ,„. Из того обстоятельства, что все слагаемые в равенстве 1д), за исключением Х,„'.
Ть тензорные, и Т" компоненты произвольного векторного поля, вытекает следующий результат. Лемма 6.1 Соответствие, сопоставляюиес локальным координатам (х~,..., х") набор функиий Л' „задаст на многообра ия Ы тснзор Л таина (1,3). Определение. Тензор Л типа (1,3), компоненты которого в локальных координатах (х~,...,х") на многообразии И с аффинной связностью Г задаются в виде дГ,',д дГ,'„ Ль рд оо я — д + ГдяГад — Г(3дГор называешься тснзором кривизны Римана аффинной связности Г. Очевидно, что тензор кривизны обладает следующей косой симметрией; Л' = — Л' „. Именно этим объясняется пробел, который мы ставим между первым и остальными двумя нижними индексами тензора кривизны он позволяет визуально выделить кососимметричные индексы.
Упражнение. Пусть ЛХ = Ио с евклидовой связностью Г. Тогда тензор кривизны этой связности Г равен нулю. Действительно, он, очевидно, равен нулю в декартовых координатах, и поэтому, в силу тснзорного закона, и во всех остальных координатах тоже. Тензор кривизны удобно использовать для ответа на следующий важный вопрос: можно ли на данном многообразии с аффинной связностью Г ввести такие локальные координаты, в которых символы Кристоффеля связности Г тождественно равны нулю 1напомним, такие координаты мы назвали евклидовыми).
А именно, имеет место следующее утверждение. Утверждение 6.1 Пусть И гладков многообразие с аффинной связношпью Г. Если тснзор кривизны связности Г в окрестности нскодпорой точкдд Р отличен от нуля, то в окрестности точки Р нельзя вьлбрить свклидовы координаты (в смысле связности Г). Доказательство.
Это очевидно; тензор кривизны в евклидовых коорди- натах равен нулю. Замечание. На самом деле, верно и обратное утверждение: если тснзор кривизны симметричной связности Г равен нулю, то суидсствуют свклидовы координшаы. Однако доказательство этого утверждения лежит за рамками нашего курса. "1тобы дать инвариантное определение тензора кривизны,нам понадобится понятие коммутатора векторных полей на многообразии. Тензор кривизны 123 6.1 Коммутатор векторных полей Пусть ЛХ вЂ” гладкое многообразие, и à — — произвольное векторное поле на ЛХ. Тогда определено отображение пространства У (ЛХ) гладких функций на ЛХ в себя, переводящее произвольную гладкую функцию Х е У'(ЛХ), Х; М вЂ” > К' в функцию 1г(Х), значение которой в точке Р есть производная по направлению вектора 1' (Р) от Х в точке Р. Пусть теперь имеется два векторных полл 1' и 1Г.
Рассмотрим отображение [Г,1Ц пространства У(М) в себя, заданное так: [1'., И']: Х > 1'(1ГЯ) — УГ(Г(Х)), Х е У'(ЛХ). Имеет место следующая лемма. Лемма 6.2 В сделанных вьпие обозначениях, существует единственное гладкое векторное поле А нв ЛХ, такое чпю А(Х) = [Г, И'](Х) для произвольной гладкой функции Х е У(ЛХ). Если (х',...,хь) -- локальные координаты нв М, то компоненты этого векторного поля имеют вид: д ь д ь дхв дхв Доказательство. Нам нужно проверить, .что отображение [1Г, И'] является дифференцированием в каждой точке многообразия ЛХ (напомним, что касательный вектор можно определить как дифференцирование). Для произвольных функций Х и д из У (ЛХ) и произвольных чисел а и д имеем: [1",1Г](аХ+,Зд) = Г(ару(Х) + ДИ'(д)) — УГ[а1'(Х) + дГ(д)) = а(1'(И'Ф) — И'(1'(Х))) + д(Г(1Г(д)) — 1Г(Г(д))) = а[1; ГГ]Щ +,3[Г, И"](д), поэтому операция [Г, И'] линейна.
Проверим правило Лейбница. [Г,1Г](й) = Г(1Г(У)д+ ХИ'(д)) — И'(Г(Х)д+ ХГ(д)) = Г(1Г(Х)) д+ И'ФГ(д) + Г(Х) 1Г(д) + ХГ(1Г(д))— — И'(Г(Х)) д — Г(Х) 1Г(д) — 1Г(Х) Г(д) — Я'(Г(д)) = [1:,И](Х) дь Х [1;.И](д). Итак, мы показали, что [Г, И'] -- это операция дифференцирования. По- этому ей однозначно соответствует векторное А поле на М. Тензор кривизны 124 Пусть [х~,..., х") локальные координаты на ЛХ. Вычислим в зтих координатах [У, Ис][1).
Имеем: [У, Ис][Д = 1" [И'[Д) — И'[1 "[1)) = 1'( ю') — И'( и") = .. (..--) —.хд(.х- )— ах-О е"" а -Охео О да -' " ох-О ди,'* дпь Положим ап =, пд —, ид'. Тогда дхд дхд [1',Ис][1) = а" = А®, ду Таким образом [а1,..., ап) это компоненты векторного поля А. Лемма доказана. Определение. Векторное поле [У, ИИ] называется ком,мутатором вектор- ных полей У и И'.
упражнение. Пусть Г симметричная связность на многообразии Лй. Показать, что для любых векторных полей Х и 1' на ЛХ имеет место равенство [Х, У] = 7~хУ вЂ” '17гХ, где ч' ковариантнос дифференцирование в связности Г. Приведем несколько простейших свойств коммутатора. Предложение 6.1 Операция коммутирования векторных полей обладает следуюп1ими свойствами: 1) Косая симметрия: для любых полей Х и У имеет месит равенство: [Х,У] = — [1,Х]. в) Линейносгпь пад й1: для любью полей Х, 1 и л и любых чисел о и а имеет .место равенство: [Х,о +аг]= [Х,У]+д[Х,К]. У) Правило Лейбница: для любых двух полей Х и У и функции у' Е У [Лу) имеет место равенство: [Х, 1У] = 1[Х, У] + Х[1)У, [1Х, У] = 1[Х, У] — 1 [ДХ.
Тензор кривизны 125 и) Тождество, Якоби: длл любых полей Х, 1' и Е имеет место равенспьво: ~Х,~1;ЕО'+ ~1; ~Е,Х))+ ~Е,~Х,1')1 = О. б) Если (х1,...,хп) произвольнпл система локальных координоип нп многообразии, ид,, ид„. - координатные векторные поля, то ~д...д,) О. Доказательство. Доказательство этого предложения немедленно вытекает из определения коммутатора и остааяяется в качестве обязательного упражнения. Замечание.
Пусть в области П гладкого и-мерного многообразия М задано семейство векторных полей ~Хы..., Х„), такое что в каждой точке Р Е Г векторы 1Х(Р) 1 образуют базис в касательном пространстве ТрМ. Возникает естественный вопрос; существует ли в П система координат (х",..., х"), такая что д . = Х,у Утверждение 5 предложения 6.1 представляет собой необходимое условно существования таких координат: коммутаторы полей Х; должны равняться нулкь в каждой точке. Несложно проверить, что это условие является так же и достаточным, а именно, если коммутаторьл ~Х„Х ) векторньлх полей равны нулю, то в некоторой области Г с П существуют координаты (х1,...,.х"), длл копьорых дя* = Х,.
Упражнение. Докажите утверждение из предыдущего замечания. 6.2 Инвариантное определение тензора кривизны для симметричной связности Теперь все готово, чтобы дать инвариантное определение тензора кривизны. Пусть М гладкое многообразие с симметричной аффинной связностью Г, и Х, У и Е - - векторные поля на М. Построим оператор кривизны Я, положив Л(Х,Г)г =~хЧкг-~к~ Е-~,х,)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
